9.3.1 课时1 图形的旋转(1)
【基础堂清】
知识点1 生活中的旋转现象
1有下列现象:①地下水位逐年下降;②传送带的移动;③方向盘的转动;④将水龙头开关顺时针转动;⑤钟摆的运动;⑥荡秋千运动.其中属于旋转的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2下列各图中,能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一个三角形的图形是 ( )
A B C D
3关于以下四个图形,下列说法正确的是 ( )
A.图②可以由图①平移得到
B.图④可以由图①旋转得到
C.图④可以由图②旋转得到
D.图③可以由图④平移得到
【能力日清】
4 一辆玩具赛车,先前进1 m,然后沿原地逆时针方向旋转,旋转角为α(0<α<90°),被称为一次操作,若五次操作后,发现赛车回到出发点,则旋转角α为 ( )
A.108° B.120° C.72° D.36°
5在俄罗斯方块游戏中,若某行被小方格块填满,则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案,屏幕上方又
出现一小方格块正向下运动,为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失,你可以将图形进行以下的操作 ( )
A.先逆时针旋转90°,再向左平移
B.先顺时针旋转90°,再向左平移
C.先逆时针旋转90°,再向右平移
D.先顺时针旋转90°,再向右平移
6…依次观察左边的三个图形,并判断照此规律从左向右的第四个图形是 ( )
A B C D
【素养提升】
7 如图1,魔术师把4张扑克牌放在桌子上,然后蒙住眼睛,请一位观众上台,把某一张牌旋转180°.魔术师解除蒙具后,看到4张扑克牌如图2所示,他很快确定了哪一张牌被旋转过.请你说明其中的原因.
参考答案
1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.D
7.图1与图2中扑克牌完全一样,说明被旋转过的牌旋转前后不会有变化,
而图中只有方块4满足这一条件,故方块4被旋转过.9.3.1 课时2 图形的旋转(2)
【基础堂清】
知识点1 与图形旋转有关的概念
1如图,小明坐在秋千上,秋千旋转了某个角度,小明的位置也从点A运动到了点A',则旋转中心是 ,旋转的方向是 旋转,旋转角是 .
2如图,△ACB绕点C旋转到△A'CB'的位置.
(1)写出∠A,∠B的对应角和有关的对应线段.
(2)写出旋转中心,旋转方向及旋转角.
知识点2 旋转角的确定
3如图,△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置,若∠AOB=45°,则∠AOD等于 度.
4如图,将△ABC绕点B逆时针旋转95°,得到△EBD,若点E恰好落在AD的延长线上,则∠CAD= °.
【能力日清】
5分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示,将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合,则这个旋转角的最小度数是 度.
6如图,在△ABC中,∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4 cm,△ABC按逆时针方向旋转一定角度α(0°<α<180°)后与△ADE重合,且C恰好成为AD的中点.
(1)写出旋转中心,并求出旋转的度数.
(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
【素养提升】
7 如图1,摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢,车厢按顺时针方向分别编号为1号到36号,且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转,旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形,则此时经过多少分钟后,3号车厢才会运行到最高点
图1 图2
参考答案
1.点O 顺时针 ∠A'OA
2.(1)对应角:∠A与∠A',∠B与∠B'.
对应线段:CB与CB',CA与CA',BA与B'A'.
(2)旋转中心是点C,顺时针方向,旋转角为∠ACA'(或∠BCB').
3.35
4.85
5.90
6.(1)旋转中心是点A.
∵∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=140°,
∴旋转的度数是140°.
(2)∵△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠EAD=140°,
∴∠BAE=360°-140°×2=80°.
∵C为AD的中点,
∴AE=AC=AD=AB=×4=2 cm.
7.因为×30=15(分钟),
所以经过15分钟后,3号车厢才会运行到最高点.9.3.2 旋转的特征
【基础堂清】
知识点1 旋转的性质
1如图,△ABC经过旋转或轴对称得到△AB'C',其中△ABC绕点A逆时针旋转60°得到的图形大致是 ( )
A B
C D
2如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB=70°,将△ABC绕点C旋转,得到△DEC,点A的对应点D在BC的延长线上,则旋转方向和旋转角可能为 ( )
A.顺时针,110° B.逆时针,110°
C.顺时针,60° D.逆时针,60°
知识点2 利用旋转的性质计算
3(中考真题)如图,在△ABC中,∠B=80°,∠C=65°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时,∠BAC'的度数为 ( )
A.65°
B.70°
C.80°
D.85°
4如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是 ( )
A.24° B.26°
C.30° D.36°
5如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E.当点E恰好在AC上时,∠ADE的度数是 ( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
知识点3 旋转作图
6如图,把△ABC绕点A顺时针旋转50°到△ADE的位置,若AD⊥BC于点F,求∠D的度数.
7如图,在9×8的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求作图.
(1)将△ABC向右平移3个单位长度,得到△A1B1C1.
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°,得到△AB2C2.
(3)在(1)(2)的条件下,AC2与A1C1的位置关系为 .
【能力日清】
8一副三角尺按如图所示的位置摆放(顶点C与F重合,边CA与边FE叠合,顶点B,C,D在一条直线上).将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°(0
9如图,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转56°到△ECD的位置,若点A、C、E在同一直线上,且AB=4,AC=1,求∠BAD的度数和AE的长.
10如图,C是AB上一点,分别以AC,BC为边,在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE.
(1)写出△ACE以点C为旋转中心,按顺时针方向旋转60°后得到的三角形.
(2)若AE与BD交于点O,求∠AOD的度数.
【素养提升】
11 如图,点O在直线AB上,OC⊥AB.在直角△ODE中,∠ODE=90°,∠DOE=30°,先将△ODE一边OE与OC重合(如图1),然后将△ODE绕点O按顺时针方向旋转(如图2),当OE与OB重合时停止旋转.
(1)当∠AOD=80°时,则旋转角∠COE的度数为 .
(2)当OD在OC与OB之间时,求∠AOD-∠COE的值.
(3)在△ODE的旋转过程中,若∠AOE=4∠COD时,求旋转角∠COE的度数.
参考答案
1.D 2.A 3.B 4.A 5.B
6.∵把△ABC绕点A顺时针旋转50°到△ADE的位置,
∴∠B=∠D,∠BAD=50°.
∵AD⊥BC,∴∠D=∠B=40°.
7.(1)△A1B1C1如图所示.
(2)△AB2C2如图所示.
(3)互相垂直.
8.75
9.∵把△ABD绕点D按顺时针方向旋转56°到△ECD的位置,
∴∠ADE=56°,AD=DE,∠BAD=∠DEC,AB=CE=4.
∵点A、C、E在同一直线上,
∴∠BAD=∠DEC=×(180°-56°)=62°,AE=AC+CE=1+4=5.
10.(1)将△ACE以点C为旋转中心,按顺时针方向旋转60°后得到△DCB.
(2)∵△ACE以点C为旋转中心,按顺时针方向旋转60°后得到△DCB,
∴∠DBC=∠AEC.
又∵∠AOD是△AOB的外角,
∴∠AOD=∠DBC+∠CAE=∠AEC+∠CAE=∠ECB=60°.
11.(1)20°.
提示:∠AOE=∠AOD+∠DOE=80°+30°=110°,
则∠COE=∠AOE-∠AOC=110°-90°=20°.
(2)∠AOD-∠COE
=(∠AOC+∠COD)-(∠COD+∠DOE)
=∠AOC+∠COD-∠COD-∠DOE
=∠AOC-∠DOE
=90°-30°
=60°.
(3)设∠COE=x.
当OD在OA与OC之间时,∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+x,∠COD=30°-x.
由题意得90°+x=4(30°-x),
解得x=6°;
当OD在OC与OB之间时,∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+x,∠COD=x-30°.
由题意得90°+x=4(x-30°),
解得x=70°.
综上所述,当∠AOE=4∠COD时,旋转角∠COE的度数为6°或70°.9.3.3 旋转对称图形
【基础堂清】
知识点1 旋转对称图形的概念
1 在下列英文字母中,是旋转对称图形的是 ( )
A.C B.S C.L D.K
2下列图形中,不是旋转对称图形的是 ( )
A.正三角形 B.等腰梯形
C.正五边形 D.正六边形
3风力发电是一种绿色可持续的能源获取方式,我国近年来在西部地区大力发展风电产业,如图所示的风力发电转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合,那么n的值可能是 ( )
A.60 B.90 C.120 D.150
4当一个图形在旋转中第一次与自身重合时,我们称此图形转过的角度为旋转对称角,将下列图中图形按旋转角从小到大的顺序排列是 .
知识点2 旋转对称图形与旋转图形、轴对称图形的区别与联系
5下列图形中既是轴对称图形,又是旋转对称图形的是 ( )
A.①② B.①②③
C.②③④ D.①②③④
【能力日清】
6如图,五边形ABCDE是正五边形,该图形绕它的中心至少旋转角α可以跟自身重合,则角α等于 ( )
A.60° B.120° C.75° D.72°
7 有一个正n(n为大于6的整数)边形,绕某一点旋转90°后能与自身重合,请写出一个n可能的值: .
8已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O,把这个三角形绕点O顺时针旋转 后,所得图形与原来的图形重合.(填写小于180°的度数)
【素养提升】
9 如图,正方形ABCD的边长为2 cm,以各边中心为圆心,1 cm为半径依次作圆,将正方形分成四部分.
(1)这个图形 (填“是”或“不是”)旋转对称图形;若是,则旋转中心是点 ,最小旋转角是 度.
(2)求图形OBC的周长和面积.(结果保留π)
参考答案
1.B 2.B 3.C
4.C5.C
6.D
7.8(答案不唯一)
8.120°
9.(1)是;O;90.
(2)图形OBC的周长为BC+×2 π=(2+π)cm;
图形OBC的面积为S正方形ABCD=×4=1 cm2.