第六章 实数
6.1 平方根、立方根
课时1 平方根
【基础堂清】
知识点1 平方根的概念
14的平方根是 ( )
A.2 B.-2 C.±2 D.16
2下列说法中,不正确的是 ( )
A.负数没有平方根
B.9的平方根是3
C.-5是25的平方根
D.平方根等于自己本身的数是0
3 正数a的平方根可表示为 ,其中 表示a的正的平方根, 表示a的负的平方根.
知识点2 求一个数的平方根
40.01的平方根是 ( )
A.0.1 B.-0.1 C.0.000 1 D.±0.1
5求下列各数的平方根.
(1).(2)16.(3)(-3)2.
知识点3 平方根的性质及应用
6下列各数没有平方根的是 ( )
A.-4 B.0 C.3 D.
7 若一个正数的两个不同的平方根分别是3a-4和-2a,则a的值为 ( )
A.4 B.8 C.-4 D.±4
【能力日清】
8已知|b-4|+(a-1)2=0,则的平方根是 ( )
A.± B.
C. D.±
9已知实数a-1有两个平方根,则a的取值范围是 .
102的平方根是 .
11解方程:
(1)25x2-49=0;
(2)2(x+1)2-49=1.
【素养提升】
12已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.
13 已知a-1和5-2a都是m的平方根,求a与m的值.
参考答案
基础堂清
1.C 2.B 3.± -
4.D
5.解:(1)的平方根是±.
(2)16的平方根是±4.
(3)(-3)2的平方根是±3.
6.A 7.A
能力日清
8.A 9.a>1 10.±
11.解:(1)25x2-49=0,
x2=,
x=±,
所以x=或x=-.
(2)2(x+1)2-49=1,
(x+1)2=25,
x+1=±5,
所以x=4或x=-6.
素养提升
12.解:由题意得2a-1=9,3a+b-1=16,解得a=5,b=2,所以a+2b=9.因为9的平方根是±3,所以a+2b的平方根是±3.
13.解:根据题意,可分为以下两种情况:
①当a-1与5-2a是m的同一个平方根时,
a-1=5-2a,解得a=2.
此时,m=12=1.
②当a-1与5-2a是m的不同平方根时,
a-1+5-2a=0,解得a=4.
此时,m=(4-1)2=9.
综上所述,当a=2时,m=1;当a=4时,m=9.课时2 算术平方根
【基础堂清】
知识点1 算术平方根的概念
1100的算术平方根是 ( )
A.10 B.-10 C.±10 D.
2化简的结果是 ( )
A.-4 B.4 C.±4 D.±2
3 若a+3是4的算术平方根,则a的值为 ( )
A.2 B.-1
C.-5 D.-1或-5
4的算术平方根是 .
知识点2 用计算器求一个正数的算术平方根
5在计算器上依次按键16-7=后显示的结果是( )
A.3 B.-3 C.-1 D.1
知识点3 算术平方根的应用
6 如图,用两个面积为15 cm2的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形.
(1)求大正方形的边长.
(2)想在这个大正方形的四周粘上彩纸,请问20 cm长的彩纸够吗 请说明理由
【能力日清】
7 若=x-1,则x的取值范围是 .
8 提高安全意识,谨防高空坠物.自由落体的公式h=gt2(g为重力加速度,g=10 m/s2),若某物体下落的高度为60 m,则该物体下落的时间是 s.
9已知|2a+b|与互为相反数,求2a-3b的算术平方根.
【素养提升】
10 在一个奇幻花园的设计中,设计师面临着各种有趣的挑战.
问题一:花园中有一块正方形的草坪,其面积为144平方米,求这块草坪的边长.
问题二:花园中有一个圆形的喷泉,喷泉的占地面积是28.26平方米,求这个圆形喷泉的半径.(π取3.14)
问题三:花园中还有一个长方形的花坛,长是宽的2倍,面积为128平方米,求这个长方形花坛的宽.
参考答案
基础堂清
1.A 2.B 3.B
4.2 5.B
6.解:(1)因为大正方形的面积为30 cm2,
所以大正方形的边长为 cm.
(2)不够,理由如下:
因为分到每条边的彩纸长为20÷4=5(cm),且5 cm< cm,
所以20 cm长的彩纸不够.
能力日清
7.x≥1 8.
9.解:由题意得|2a+b|+=0,解得a=2,b=-4,则2a-3b=16,所以2a-3b的算术平方根为4.
素养提升
10.解:问题一:设正方形草坪的边长为x米.由题意可得x2=144,解得x=±12.
因为x>0,
所以x=12.
答:这块草坪的边长是12米.
问题二:设圆形喷泉的半径为r米.由题意可得,πr2=28.26,解得r=±3.
因为r>0,
所以r=3.
答:这个圆形喷泉的半径为3米.
问题三:设长方形花坛的宽为y米,则长为2y米.由题意可得2y·y=128,解得y=±8.
因为y>0,
所以y=8.
答:这个长方形花坛的宽是8米.课时3 立方根
【基础堂清】
知识点1 立方根与开立方
1-27的立方根是 ( )
A.3 B.-3 C.±3 D.-9
2下列说法中,不正确的是 ( )
A.-1的立方根是-1
B.-8的立方根是-2
C.0的立方根是0
D.64的立方根是±4
3若=-2,则b的值为 ( )
A.8 B.-8 C.4 D.-4
4已知x-2是-8的立方根,则x的值是 ( )
A.2 B.-2 C.0 D.4
5立方根与它本身相同的数是 .
知识点2 用计算器求立方根
6 若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,依次按键2ndf 3 =,则对应的计算是 ( )
A.23 B.32 C. D.
知识点3 立方根的应用
7 一个正方体的体积是16 cm3,另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍,求另一个正方体的表面积.
【能力日清】
8“魔方”图是一种立方体形状的益智玩具,它由三层完全相同的小立方块组成,若“魔方”的体积为216 cm3,则组成它的每个小立方块的棱长为 cm.
第8题图 第9题图
9玩具厂商生产如图所示的“3D迷宫球”外面的球壳,已知“3D迷宫球”的体积为36π cm3,则该球壳的半径为 cm.球的体积V=πr3,r是球的半径
10已知按一定规律排列的一组数:0,1,,,,,,,2…则第21个数是 .
11求下列各式中x的值:
(1)8(x+1)3-27=0;
(2)2(x-1)3=-.
12已知=0,y是-8的立方根.
(1)求x,y的值.
(2)求yx的平方根.
13 我们知道,当a+b=0时,a3+b3=0也成立.若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立.
(2)已知与互为相反数,求的值.
【素养提升】
14探究:(1)填表:
a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000
(2)根据你发现的规律填空:
①已知 =1.442,则= ,= ;
②已知=0.076 97,则= .
(3)由上表和练习,请用文字语言叙述你发现的规律吧!
参考答案
基础堂清
1.B 2.D 3.B 4.C
5.0,1或-1 6.C
7.解:另一个正方体的体积为64 cm3,则每条棱的棱长为4 cm,所以每个面的面积为16 cm2,表面积为96 cm2.
能力日清
8.2 9.3 10.
11.解:(1)方程整理得(x+1)3=,
开立方得x+1=,
解得x=.
(2)两边都除以2,得
(x-1)3=-,
所以x-1=-,
解得x=-.
12.解:(1)因为=0,y是-8的立方根,
所以x=4,y=-2.
(2)yx=(-2)4=16,
所以yx的平方根为±4.
13.解:(1)因为2+(-2)=0,且23=8,(-2)3=-8,有8+(-8)=0,所以结论成立.
(2)由(1)验证的结果知1-2x+3x-5=0,所以x=4.所以==2.
素养提升
14.解:(1)0.01 0.1 1 10 100
(2)①14.42 0.144 2
②7.697
(3)被开方数扩大1 000倍或缩小,结果会扩大10倍或缩小6.2 无理数和实数
课时1 无理数与实数的概念
【基础堂清】
知识点1 无理数的概念
1下列实数中,是无理数的是 ( )
A. B.
C.3.303 003 000 3 D.
2 以下说法正确的是 ( )
A.无限小数都是无理数
B.无限不循环小数是无理数
C.无理数是带根号的数
D.分数是无理数
3有下列各数:0.,π,,,1.414,,3.14,0.212 112 111 211 112……(两个2之间依次增加一个1),其中无理数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2 实数及其分类
4下列实数中,是有理数的为 ( )
A. B. C. D.
5 是 ( )
A.无理数 B.正有理数
C.分数 D.正分数
6 下列说法正确的是 ( )
A.实数包括有理数、无理数和0
B.有理数包括正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
【能力日清】
7下列数中是无理数的是 ( )
A. B.0.314
C. D.
8在下列说法中:①的算术平方根是4;②3是9的平方根;③在实数范围内,一个数如果不是有理数,则一定是无理数;④两个无理数之和还是无理数.其中正确的个数是 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
9已知a和b都是无理数,且a≠b,下面提供的4个数a+b,a-b,ab,中可能成为有理数的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
10写出一个满足-2
11把下列各数填在相应的大括号内:
20%,0,,3.14,-,-0.55,8,-2,-0.525 225 222 5……(每两个5之间依次增加一个2).
(1)正数:{ ,…}.
(2)非负整数:{ ,…}.
(3)无理数:{ ,…}.
(4)负分数:{ ,…}.
12 我们都知道无限不循环小数是无理数,而无限循环小数是可以化成分数的,例如0.333……(3为循环节)是可以化成分数的,方法如下:
令a=0.333……, ①
则10a=3.333……, ②
由②-①得10a-a=3,即9a=3,解得a=.
请你阅读上面材料完成下列问题:
(1)0.化成分数是 .
(2)0.化成分数是 .
(3)请你将0.2化成分数(写出过程).
【素养提升】
13 如图,这是一个无理数筛选器的工作流程图.
(1)当输入x为16时,y值为 .
(2)是否存在输入有意义的x值后,却输不出y值 如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由.
(3)当输出的y值是时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个.
参考答案
基础堂清
1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D
能力日清
7.C 8.C 9.D
10.-
11.解:(1)正数:{ 20%,,3.14,8,…}.
(2)非负整数:{ 8,0,…}.
(3)无理数:{,-0.525 225 222 5……(每两个5之间依次增加一个2),…}.
(4)负分数:{-,-0.55,…}.
12.解:(1)设x=0., ①
则10x=7., ②
由②-①得9x=7,解得x=,
所以0.=.
故答案为.
(2)设x=0., ①
则100x=23., ②
由②-①得99x=23,解得x=,
所以0.=,
故答案为.
(3)设x=0.2, ①
则1 000x=125.2, ②
由②-①得999x=125,解得x=,
所以0.2=.
素养提升
13.解:(1).
(2)当x=0,1时,始终输不出y值.因为0,1的算术平方根是0,1,一定是有理数.
(3)x的值不唯一.x=3或x=9.课时2 实数的性质
【基础堂清】
知识点1 实数与数轴上的点对应关系
1如图,在数轴上表示的点可能是 ( )
A.点P B.点Q
C.点N D.点M
2 如图,数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是 ( )
A.- B.-
C. D.
知识点2 实数的相反数、倒数、绝对值的意义
3-的绝对值是 ( )
A. B.-
C. D.-
4-|-|的相反数是 ( )
A.- B.
C.- D.
5下列结果为-3的是 ( )
A.-3的相反数 B.|-3|
C. D.
6-的倒数是 ( )
A.- B.
C. D.-
7计算:|-|= .
8若m,n互为相反数,则式子|m-+n|= .
9在数轴上离原点的距离为3的点表示的数是 .
【能力日清】
10若与互为相反数,且x≠0,y≠0,求的值.
11已知实数:-,0,|-2|.
(1)分别求出它们的相反数.
(2)将它们的相反数表示在数轴上.
12 如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示-,设点B所表示的数为m.
(1)实数m的值是 .
(2)求|m+1|+|m-1|的值.
(3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有|2c+d|与互为相反数,求c-d的值.
【素养提升】
13 数轴上两点A,B在数轴上分别表示数a,b,那么A,B两点之间的距离可表示为AB=|a-b|.
(1)当点A表示的数为4,点B表示的数为9时,AB= ;
当点A表示的数为-2,点B表示的数为时,AB= ;
当点A表示的数为x,点B表示的数为,且AB=3时,点A表示的数x为 .
(2)当|x+|+|x-|取最小值时,求x的取值范围,并求出|x+|+|x-|的最小值.
参考答案
基础堂清
1.D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A
7. 8. 9.±3
能力日清
10.解:由题意可得3y-1+1-2x=0,
则3y=2x,
所以=.
11.解:(1)-的相反数是,0的相反数是0,|-2|的相反数是-2.
(2)它们的相反数在数轴上表示如下:
12.解:(1)-+2.
(2)因为m=-+2,所以m+1>0,m-1<0,所以|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2.
(3)因为|2c+d|与互为相反数,所以|2c+d|+=0,所以|2c+d|=0,且=0,解得c=-2,d=4或c=2,d=-4.①当c=-2,d=4时,c-d=-2-4=-6;②当c=2,d=-4时,c-d=2-(-4)=6.答:c-d的值为-6或6.
素养提升
13.解:(1)5;+2;-3或+3.
(2)|x+|+|x-|表示数轴上数x的对应点到表示-,两点的距离之和,
∴当-≤x≤时,|x+|+|x-|有最小值,最小值是+.课时3 实数的运算
【基础堂清】
1下列运算正确的是 ( )
A.=±5 B.=-2
C.=2 D.+=
2下列整数中,最接近的是 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
3计算-的结果为 ( )
A.7 B.-3
C.±7 D.3
4下列各组数中,两数相乘,积为1的是 ( )
A.2和-2 B.-2和
C.和 D.和-
【能力日清】
5下列计算错误的是 ( )
A. =2 B. (±)2=4
C. =-2 D. |-|=-
6 现规定一种运算:a※b=ab+a-b,其中a,b为实数.例如,1※(-5)=1×(-5)+1-(-5)=1,则※的值为 .
7 如图,这是小明设计的一个关于实数的运算程序图,当输入a的值为81时,则输出的数值为 .
8计算:(1)|-2|-+(-1)×(-3);
(2)-12+|-|-×.
9已知实数a,b,c,d,e,f,且a,b互为倒数,c,d互为相反数,e的绝对值为,f的算术平方根是8,求ab++e2+的值.
【素养提升】
10 座钟的摆针摆动一个来回所需要的时间称为一个周期,其计算公式为T=2π,其中T表示周期(单位:s),l表示摆长(单位:m),假如一台座钟的摆长为0.2 m.(π取3,g=9.8 m/s2)
(1)求摆针摆动的周期.
(2)若座钟每摆动一个来回发出一次滴答声,则在1分钟内,该座钟大约发出了多少次滴答声
11 请你先阅读下面的材料,然后再根据要求解答提出的问题:
问题情境:已知任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.
已知a,b是有理数,且满足a+b=3-2,求a,b的值.
解:由题意可得(a-3)+(b+2)=0.
因为a,b是有理数,
所以a-3,b+2也是有理数.
因为是无理数,
所以a-3=0,b+2=0,解得a=3,b=-2.
问题解决:若x,y都是有理数,且满足x3+y=2-27,求xy的算术平方根.
参考答案
基础堂清
1.C 2.C 3.A 4.C
能力日清
5.D 6.-1 7.8
8.解:(1)原式=2-2+3=3.
(2)原式=-1+-(-3)×
=-1+-1
=-2+.
9.解:由题意可知ab=1,c+d=0,e=±,f=64,
所以e2=(±)2=2,==4,
所以ab++e2+=+0+2+4=6.
素养提升
10.解:(1)因为T=2π,l=0.2 m,g=9.8 m/s2,π=3,
所以T=2π=2×3×=(s).
(2)60÷=70(次).
答:在1分钟内,该座钟大约发出了70次滴答声.
11.解:由题意可得(x3+27)+(y-2)=0.
因为x,y是有理数,
所以x3+27,y-2也是有理数.
因为是无理数,
所以x3+27=0,y-2=0,解得x=-3,y=2,
所以xy=(-3)2=9.
因为9的算术平方根为3,
所以xy的算术平方根是3.课时4 实数的大小比较
【基础堂清】
1下列各数中,最小的数是 ( )
A.-5 B.
C.0 D.-π
2若-1A.m>n B.mC.m=n D.不能确定
3实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图所示,若实数b,d互为相反数,则这四个实数中,绝对值最小的是 ( )
A.a B.b C.c D.d
4 估计+1的值 ( )
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
5 若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.bC.c6比较大小:2.(填“>”“<”或“=”)
【能力日清】
7已知a=2,b=3,则a与b的大小关系是 .
8写出一个比2大比3小的无理数: .(用含根号的式子表示)
9若的整数部分为a,小数部分为b,则a= ,b= .
10把数-3,4,,-1.5表示在如图所示的数轴上,并用“<”号把这些数连接起来.
11观察下列等式,并回答问题:
第1个等式:|1-|=-1.
第2个等式:|-|=-.
第3个等式:|-|=-.
第4个等式:|-|=-.
……
(1)请写出第5个等式: .
(2)写出你猜想的第n个等式: .(用含n的式子表示)
(3)化简:= .
12已知有理数a,b,c在数轴上对应的位置如图所示:
(1)用“<”或“>”填空:a+c 0,b+c 0,b-c 0,a-b-c 0.
(2)化简:|a+c|-|a-b-c|-|b-c|+|b+c|.
13 阅读下面的文字,解答问题.
由于是无理数,无理数是无限不循环的小数,所以的小数部分我们不能全部写出来,但是因为1<<2,所以的整数部分为1,小数部分为-1,根据以上内容,解答:
(1)1+的整数部分为 ,小数部分为 .
(2)若设2+的整数部分为x,小数部分为y,求y-x的值.
【素养提升】
14小明的作业中出现了如下解题过程:
= 第一步
=+ 第二步
=3+ 第三步
=3. 第四步
解答下列问题:
(1)以上解题过程中,从第几步开始出现了错误
(2)比较与3的大小,并写出你的判断过程.
参考答案
基础堂清
1.A 2.A 3.C 4.D 5.C
6.>
能力日清
7.a10.解:
-3<-1.5<<4.
11.解:(1)|-|=-.
(2)|-|=-.
(3)=.
12.解:(1)由图可知,c0,a-b-c>0.故答案为<;<;>;>.
(2)原式=-(a+c)-(a-b-c)-(b-c)-(b+c)=-a-c-a+b+c-b+c-b-c=-a-a+b-b-b-c+c+c-c=-2a-b+0=-2a-b.
13.解:(1)2;-1.
(2)由题意得x=3,y=-1,
所以y-x=-1-3=-4.
素养提升
14.解:(1)以上解题过程中,从第二步开始出现了错误.
(2)结论:<3.
因为<,
所以<,
所以<3.第6章复习课
【基础堂清】
知识点1 平方根、算术平方根、立方根
1下列叙述正确的是 ( )
A.0.9的平方根是±0.3
B.的算术平方根是2
C.-27的立方根是-3
D.±6是36的算术平方根
24的平方根是 .
3若一个数的立方根是-2,则这个数是 .
4若+|y+2|=0,则= .
5若+=0,求-2x的平方根.
知识点2 实数的有关概念
6下列说法错误的是 ( )
A.的平方根是±2
B.是无理数
C.是有理数
D.是分数
7绝对值最小的实数是 ;2+的相反数是 ; 的倒数是.
8如图,数轴的正半轴上有A,B,C三点,表示1和 的对应点分别为A,B,点B到点A的距离与点C到点O的距离相等,设点C所表示的数为x.请你直接写出x的值.
知识点3 实数的大小比较
9已知a,b是有理数,它们在数轴上的对应点的位置如图所示,把a,-a,b,-b按照从小到大的顺序排列,正确的是 ( )
A.a<-bC.a<-b<-a10 如图,在做浮力实验时,小华用一根细线将一个正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中,量筒量得溢出水的体积为34 mL,则该铁块棱长大小的范围是 ( )
A.2 cm~3 cm B.3 cm~4 cm
C.4 cm~5 cm D.5 cm~6 cm
11比较下列各组实数的大小.
(1)2和3.
(2)-和-.
知识点4 无理数的估算
12已知a是的整数部分,那么a的值为 .
知识点5 实数的运算
13计算:|-2|+()2+-.
14计算:--.
【能力日清】
15 (1)已知的整数部分为a,小数部分为b,求a2+ab-b的值.
(2)已知2a的平方根是±2,3是3a+b的立方根,求a-2b的值.
16已知正数x的两个平方根分别为3-a和2a+7.
(1)求a的值.
(2)求44-x的立方根.
【素养提升】
17课堂上,老师出了一道题,比较与的大小.小明的解法如下:
解:-==,因为42=16<19,所以>4,所以-4>0,所以>0,所以>,我们把这种比较实数大小的方法称为作差法.
利用上述方法比较实数与的大小.
参考答案
基础堂清
1.C 2.±2 3.-8 4.2
5.解:因为+=0,
所以2x-1+x+7=0,
解得x=-2,
所以-2x=-2×(-2)=4,
所以-2x的平方根是±=±2.
6.D 7.0 --2 2 025
8.解:因为点A,B分别表示1,,所以AB=-1,即x=-1.
9.A 10.B
11.解:(1)因为2=, 3=,
所以 3>2.
(2)因为=,=,>,
所以-<-.
12.5
13.解:原式=-2+7-3-=2.
14.解:--
=5-6-4
=-5.
能力日清
15.解:(1)的整数部分为a=2,小数部分为b=-2,所以原式=4+2-4-+2=+2.
(2)根据题意得2a=4,3a+b=27,解得a=2,b=21,所以原式=2-42=-40.
16.解:(1)由题可得3-a+2a+7=0,
解得a=-10.
(2)由(1)知a=-10,
所以x=(3+10)2=169,
则44-169=-125,
-125的立方根为-5.
素养提升
17.解:-
=
=.
∵6=,
∴<6,
∴-6<0,
∴-<0,
∴<.