8.1.1 课时1 认识三角形
【基础堂清】
知识点1 三角形的概念
1一位同学用三根木棒拼成下列图形,则其中符合三角形概念的是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
知识点2 三角形的边、角的概念
2如图,以AB为边的三角形共有 ( )
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
3如图,∠1是△ABC一个外角的是 ( )
A B C D
4如图,在△ABC中,∠C的对边是 ;在△ABD中,∠B的对边是 ,在△ACD中,AC边所对的内角是 .
5(1)如图,以点A,B,C,D,E中的任意3点为顶点的三角形共有 个.
(2)在第(1)小题所画出的图形中,以DE为一边的三角形共有 个,它们是 .
【能力日清】
6若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,如图,则以BC为公共边的“共边三角形”有 ( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
7三角形纸片内有100个点,连同三角形的顶点共有103个点,其中任意三点都不共线.现以这些点为顶点作三角形,并把纸片剪成小三角形,这样的小三角形的个数是 ( )
A.299 B.201 C.205 D.207
8如图,过点P任意画一条直线,最多可以得到 个三角形.
【能力日清】
9 已知△ABC的周长为24 cm,三边长a,b,c满足a∶b=3∶4,c=2a-b,求△ABC的三边长.
参考答案
1.D 2.C 3.D
4.AB AD ∠ADC
5.(1)9.
(2)3;△DEA,△DEB,△DEC.
6.B 7.B
8.6
9.∵a∶b=3∶4,∴设a=3x,b=4x,则c=2a-b=2x,
∴3x+4x+2x=24,解得x=,
∴3x=8,4x=,2x=,
即△ABC的三边长分别为8 cm, cm, cm.8.1.1 课时2 三角形的分类
【基础堂清】
知识点1 按角分类
1如图,图中直角三角形共有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2将一个三角形纸片剪开分成两个三角形,这两个三角形不可能 ( )
A.都是锐角三角形
B.都是直角三角形
C.都是钝角三角形
D.一个是锐角三角形,另一个是钝角三角形
3有下列说法:①在一个三角形中,只能有一个角是钝角;②在一个三角形中,不可能有两个或两个以上的直角;③在一个三角形中,至少有两个锐角.其中正确的是 .(填序号)
知识点2 按边分类
4三角形按边分类可分为 ( )
A.不等边三角形、等边三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D.不等边三角形、等腰三角形
5图①②均表示三角形的分类,下列判断正确的是 ( )
A.①对,②不对 B.①不对,②对
C.①、②都不对 D.①、②都对
【能力日清】
6下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是 ( )
A B C D
7已知三角形ABC三边长a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,则三角形ABC的形状是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【素养提升】
8 如图,在△ABC中,A1,A2,A3,…,An为AC边上不同的n个点,且都不与点A,C重合首先连结BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连结BA2,图中出现了6个不同的三角形……
(1)完成下表:
连结点的个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形的个数
(2)若出现了45个三角形,则共连结了多少个点 请直接写出答案.
(3)若一直连结到An,则图中共有 个三角形.
参考答案
1.C 2.A
3.①②③
4.D 5.B 6.C 7.C
8.(1)填表如下.
连结点的个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形 的个数 3 6 10 15 21 28
(2)8个点.
(3)(n+1)(n+2).
提示:1+2+3+…+(n+1)
=[1+2+3+…+(n+1)+1+2+3+…+(n+1)]
=(n+1)(n+2).8.1.1 课时3 三角形的三条重要线段
【基础堂清】
知识点1 三角形的中线
1如图,AD是△ABC的中线,则下列结论一定成立的是 ( )
A.AB=AC B.AB=AD
C.BD=CD D.CD=AC
知识点2 三角形的角平分线
2如图,∠BAC=60°,∠BAD=30°,则△ABC的角平分线是 .
知识点3 三角形的高
3下列图形中,表示AD是△ABC中BC边上的高的图形为 ( )
A B C D
【能力日清】
4如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法不正确的是 ( )
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△BDE的高
5如图,在△ABC中,AD,AE分别是边CB上的中线和高,AE=6 cm,S△ABD=12 cm2,则BC的长为 cm.
6如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则阴影部分的面积为 cm2.
【素养提升】
7 如图,有三个车站A,B,C构成三角形,一辆公共汽车从B站前往C站.
(1)当汽车运动到点D时,刚好BD=CD,连结线段AD,AD这条线段是什么线段 这样的线段在△ABC中有几条 此时有面积相等的三角形吗
(2)汽车继续向前运动,当运动到点E时,发现∠BAE=∠CAE,那么AE这条线段是什么线段 在△ABC中,这样的线段又有几条呢
(3)汽车继续向前运动,当运动到点F时,发现∠AFB=∠AFC=90°,则AF是什么线段 这样的线段在△ABC中有几条
参考答案
1.C
2.AE
3.D 4.C
5.8
6.1
7.(1)AD是△ABC中BC边上的中线,三角形中有三条中线.此时△ABD与△ADC的面积相等.
(2)AE是△ABC中∠BAC的平分线,三角形中角平分线有三条.
(3)AF是△ABC中BC边上的高线,高线有时在三角形的外部,三角形中有三条高线.8.1.2 课时1 三角形的内角和
【基础堂清】
知识点1 三角形的内角和
1如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C的度数为 ( )
A.100° B.80° C.60° D.40°
2在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2∶3∶4,则∠B的度数为 ( )
A.120° B.80° C.60° D.40°
3在△ABC中,若∠A=∠B=∠C,则△ABC的形状是 .
知识点2 三角形的内角和与平行线的综合
4如图,在△ABC中,DE∥BC,∠AED=60°,∠A=75°,则∠B的度数为 ( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
5如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=60°,AD∥BC,则∠DAC的度数为 ( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
知识点3 三角形内角和与三角形的高、角平分线的综合
6如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C的度数是 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
7(中考真题)如图,在△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是 °.
【能力日清】
8如图,在△ABC中,∠ACB>90°,AD平分∠BAC,AE为BC边上的高,∠ACB-∠B=90°,若∠CAE∶∠CAD=5∶4,则∠B的度数为 .
9 在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“三倍角三角形”.若△ABC是“三倍角三角形”,且∠B=60°,则△ABC中最小内角的度数为 .
【素养提升】
10 如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线的交点为D,探究∠D与∠A之间的数量关系,并说明理由.
参考答案
1.B 2.C
3.直角三角形
4.D 5.D 6.C
7.100
8.25°
9.20°或30°
提示:当∠B=60°是最小角的三倍时,三角形的三个角分别为100°,60°,20°,故最小角的度数为20°;
当∠B=60°,另外两个角的关系满足3倍关系时,
设最小角的度数为x°,则x+3x+60=180,解得x=30,此时最小角的度数为30°.
故答案为20°或30°.
10.∠D=90°+∠A.
理由:∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,
∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)
=180°-(∠ABC+∠ACB)
=180°-(180°-∠A)
=90°+∠A.8.1.2 课时2 三角形外角的性质
【基础堂清】
知识点1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
1如图,∠ACD是△ABC的外角,若∠ACD=135°,∠A=75°,则∠B的度数为 ( )
A.60° B.90° C.120° D.140°
2如图,平面上直线a,b分别经过线段AB的两个端点,则直线a,b相交所成的锐角为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3在△ABC中,∠A,∠C与∠B的外角度数如图所示,则x的值是 ( )
A.80 B.70 C.65 D.60
4如图,若∠BDC=98°,∠C=38°,∠A=37°,则∠B的度数是 ( )
A.33° B.23° C.27° D.37°
知识点2 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
5如图,下列关系正确的是 ( )
A.∠2<∠1
B.∠2>∠1
C.∠2≥∠1
D.∠2=∠1
【能力日清】
6如图,∠1=∠2=25°,∠3=∠4,∠5=∠6,则∠7的度数为 .
【素养提升】
7 如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上运动,BE平分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.
(1)当A,B移动后,∠BAO=45°时,则∠C的度数为 .
(2)当A,B移动后,∠BAO=60°时,则∠C的度数为 .
(3)由(1)、(2)猜想∠C是否随A,B的移动而发生变化,并说明理由.
参考答案
1.A 2.B 3.B 4.B 5.B
6.100°
7.(1)45°.
提示:根据三角形的外角性质,∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+45°=135°.
∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO,
∴∠ABE=∠ABN=67.5°,∠BAC=∠BAO=22.5°,
∴∠C=∠ABE-∠BAC=67.5°-22.5°=45°.
(2)45°.
提示:根据三角形的外角性质,∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+60°=150°.
∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO,
∴∠ABE=∠ABN=75°,∠BAC=∠BAO=30°,
∴∠C=∠ABE-∠BAC=75°-30°=45°.
(3)∠C不会随A,B的移动而发生变化.
理由:根据三角形的外角性质,∠ABN=∠AOB+∠BAO.
∵BE平分∠NBA,AC平分∠BAO,
∴∠ABE=∠ABN,∠BAC=∠BAO,
∴∠C=∠ABE-∠BAC=(∠AOB+∠BAO)-∠BAO=∠AOB.
∵∠MON=90°,
∴∠AOB=∠MON=90°,
∴∠C=45°.8.1.2 课时3 三角形的外角和
【基础堂清】
1若一个三角形的三个内角的度数之比是5∶3∶1,则其相邻外角的度数之比为 ( )
A.5∶3∶1 B.1∶3∶5
C.1∶4∶9 D.2∶3∶4
2如果一个三角形的两个外角之和为270°,那么这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
3如图,∠1=140°,∠2=100°,则∠3的度数为 ( )
A.100° B.120° C.130° D.140°
4如图,在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,BG,CG分别平分三角形的两个外角∠EBC,∠FCB,∠G=48°,则∠D= °.
【能力日清】
5一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示(正方形的四个角均为90°,等边三角形的三个角均为60°),若∠3=50°,则∠1+∠2等于 ( )
A.90° B.100° C.130° D.180°
6(中考真题)如图,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD=∠E1AB,∠E2BD=∠E1BD,……以此规律作下去,若∠C=m°,则∠En= 度.
7如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 .
8 如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D.
(1)若∠ABC=75°,∠ACB=45°,求∠D的度数.
(2)如图2,若把∠A截去,得到四边形MNCB,猜想∠D,∠M,∠N的数量关系,并说明理由.
参考答案
1.D 2.B 3.B
4.132
5.B
6.nm
7.360°
8.(1)∵∠ACE=∠A+∠ABC,
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE,∠DCE=∠D+∠DBC.
又∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∴∠ABD=∠DBE,∠ACD=∠ECD,
∴∠A=2(∠DCE-∠DBC),∠D=∠DCE-∠DBC,
∴∠A=2∠D.
∵∠ABC=75°,∠ACB=45°,
∴∠A=60°,
∴∠D=30°.
(2)∠D=(∠M+∠N-180°).
理由:如图,延长BM,CN交于点A,
则∠A=∠BMN+∠CNM-180°.
由(1)知∠D=∠A,
∴∠D=(∠M+∠N-180°).8.1.2 课时4 平行线与三角形综合
【基础堂清】
1如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 ( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
2已知直线l1∥l2,将一块直角三角板ABC(其中∠A是30°,∠C是60°)按如图所示的方式放置.若∠1=84°,则∠2的度数为 ( )
A.56° B.64° C.66° D.76°
3如图,在△ABC中,EF∥BC,∠ACG是△ABC的外角,∠BAC的平分线交BC于点D,若∠1=150°,∠2=110°,则∠3的度数为 .
4如图,在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC,且BE∥AD,∠BAD=20°,求∠AEB的度数.
【能力日清】
5如图,在四边形ABCD中,点E在BC上,AB∥DE,∠B=78°,∠C=60°,则∠EDC的度数为 ( )
A.42° B.60° C.78° D.80°
6如图,在△ABC中,若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C= °.
【素养提升】
7 如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC上的点,且∠ADE=90°,∠DEF=90°,P是FC上一点,直线DP交直线EF于点G,试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系.
(1)请你完成这道思考题.
(2)若将题中的条件“∠ADE=90°,∠DEF=90°,P是FC上一点”改为“∠AED=∠C,∠B=∠DEF,P是线段BC上一点(点P不与点F重合)”,其他条件均不变,则(1)中的结论是否仍然成立 请在备用图上画出图形,并说明理由.
参考答案
1.B 2.C
3.70°
4.∵BE∥AD,∴∠ABE=∠BAD=20°.
∵BE平分∠ABC,∴∠EBC=∠ABE=20°.
∵∠C=90°,
∴∠AEB=∠C+∠CBE=90°+20°=110°.
5.A
6.55
7.(1)结论:∠BDP+∠EGP=180°.
理由:∵∠ADE=∠DEF=90°,
∴AB∥EF,
∴∠BDG=∠DGE.
∵∠DGE+∠EGP=180°,
∴∠BDP+∠EGP=180°.
(2)结论仍然成立.
理由:如图,∵∠AED=∠C,
∴DE∥BC,
∴∠ADE=∠B.
∵∠B=∠DEF,
∴∠ADE=∠DEF,
∴AB∥EF,
∴∠BDG=∠DGE.
∵∠DGE+∠EGP=180°,
∴∠BDP+∠EGP=180°.
