8.3 三角形的三边关系
【基础堂清】
知识点1 三角形的三边关系
1下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( )
A.2,3,4 B.2,3,5
C.2,2,4 D.2,2,5
2(中考真题)用一根小木棒与两根长度分别为3 cm、5 cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是 ( )
A.9 cm B.7 cm C.2 cm D.1 cm
3若等腰三角形的两边长分别为2 cm和7 cm,则此等腰三角形的周长是 .
4若△ABC的三条边长分别为a,b,c,则(a+b-c)(a-c-b) 0.(填“>”“=”或“<”)
知识点2 三角形的稳定性
5 空调安装在墙上时,一般都会采用如图所示的方法固定,这种方法应用的几何原理是 ( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
6下列图形具有稳定性的是 ( )
A.正方形 B.长方形
C.平行四边形 D.钝角三角形
【能力日清】
7如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在 ( )
A.A,C两点之间
B.E,G两点之间
C.B,F两点之间
D.G,H两点之间
8已知a,b,c是三角形的三边长,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|的结果为 .
9已知P是△ABC内任意一点.
(1)如图1,连结PB,PC,延长BP交AC于D,试说明:AB+AC>PB+PC.
(2)如图2,连结PA,PB,PC,试比较(AB+AC+BC)与PA+PB+PC的大小关系,并说明理由.
图1 图2
【素养提升】
10 已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.
(1)直接写出c和x的取值范围.
(2)若x是小于18的偶数.
①求c的长;
②判断△ABC的形状.
参考答案
1.A 2.B
3.16 cm
4.<
5.C 6.D 7.B
8.3c+a-b
提示:∵a,b,c为三角形三边的长,
∴a-b
b,
∴a-b-c<0,b-c-a<0,a+c-b>0,
∴原式=-(a-b-c)-(b-c-a)+c+a-b
=-a+b+c-b+c+a+c+a-b
=3c+a-b.
9.(1)在△ABD中,AB+AD>BD,即AB+AD>PB+PD.
在△PCD中,PD+DC>PC,
所以AB+AD+PD+DC>PB+PD+PC,
所以AB+AD+DC>PB+PC,
即AB+AC>PB+PC.
(2)PA+PB+PC>(AB+BC+AC).
理由:在△ABP中,PA+PB>AB,
同理PB+PC>BC,PA+PC>AC,
∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,
即PA+PB+PC>(AB+BC+AC).
10.(1)因为a=4,b=6,
所以2故周长x的取值范围为12(2)①因为周长是小于18的偶数,
所以x=16或x=14.
当x=16时,c=6;
当x=14时,c=4.
②当c=6时,b=c,△ABC为等腰三角形;
当c=4时,a=c,△ABC为等腰三角形.
综上所述,△ABC是等腰三角形.8.3.1用相同的正多边形
【基础堂清】
知识点 用相同的正多边形铺设地面
1若用相同的正六边形地砖铺满地面,则每个顶点处的正六边形地砖有 ( )
A.2块 B.3块 C.4块 D.6块
2如图,这是某小区花园内用正n边形铺设的小路的局部示意图,若用3块正n边形围成的中间区域是一个小正三角形,则n的值为 ( )
A.12
B.10
C.8
D.6
3商店出售下列形状的地砖:
①长方形;②正方形;③正五边形;④正六边形.若只选购其中某一种地砖镶嵌地面,可供选择的地砖共有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
4使用给定的某种正多边形,当围绕一点拼在一起的几个该正多边形的内角和为 时,则此正n边形可铺满整个地面,没有空隙.
5有下列说法:①任意一种正多边形都能铺满地面;②任意一种等腰三角形都能铺满地面;③任意一种四边形都能铺满地面;④只要多边形的各边相等,就一定能铺满地面.其中正确的是 .(只填序号)
【能力日清】
6 用4个完全一样的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图1,用n个完全一样的正六边形按这种方式进行拼接,如图2,若围成一圈后中间形成一个正多边形,则n的值为 .
7我们知道,正五边形不能进行平面镶嵌.如图,将三个全等的正五边形拼接在一起,则∠1的度数是 .
【素养提升】
8 在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形.
(1)请根据下列图形,填写表中空格:
正多边 形边数 3 4 5 6 …… n
正多边形 每个内角 的度数 ……
(2)如果只限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形
参考答案
1.B 2.A
3.C
4.360°
5.②③
6.6
7.36°
8.(1)60°,90°,108°,120°,180-°.
提示:正三角形每个内角的度数是60°,
正四边形每个内角的度数是90°,
正五边形每个内角的度数是108°,
正六边形每个内角的度数是120°,
正n边形每个内角的度数是180-°.
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,那么由一顶点的周围角的和等于360°,得正三角形、正四边形(或正方形)、正六边形都能镶嵌成一个平面图形.8.3.2 用多种正多边形
【基础堂清】
知识点1 用两种正多边形铺设地面
1用两种正多边形镶嵌,不能与正三角形匹配的正多边形是 ( )
A.正方形 B.正六边形
C.正八边形 D.正十二边形
2某中学新科技馆铺设地面,已有正方形地砖,现打算购买另一种正多边形地砖(边长与正方形的相等),与正方形地砖作平面镶嵌,则该学校可以购买的地砖形状是 ( )
A.正五边形 B.正六边形
C.正八边形 D.正十二边形
3如果用正三角形和正十二边形的组合作平面镶嵌,可能的情形有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
4选择边长相等的正多边形铺地面,下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 .
①正三角形和正四边形;②正六边形和正三角形;③正方形和正八边形;④正三角形和正八边形.
知识点2 用三种(或三种以上)正多边形铺设地面
5下列组合不能密铺平面的是 ( )
A.正三角形、正方形和正六边形
B.正三角形、正方形和正十二边形
C.正三角形、正六边形和正十二边形
D.正方形、正六边形和正十二边形
6在一个顶点处用边长相等的三个正多边形进行密铺,其中两个是正方形和正六边形,则另一个必须是正 边形.
【能力日清】
7利用边长相等的正三角形和正六边形地砖能够铺满地板,若在每个顶点处有a块正三角形和b块正六边形(a>b>0),则a+b的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8如图,这是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设.若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处,则这块正多边形地砖的边数是 .
【素养提升】
9 在数学活动课上,研究用正多边形镶嵌平面.请解决以下问题:
(1)用一种正多边形镶嵌平面
例如,用6个全等的正三角形镶嵌平面,摆放方案如图所示:
若用m个全等的正n边形镶嵌平面,求出m,n应满足的关系式.
(2)用两种正多边形镶嵌平面
若这两种正多边形分别是边长相等的正三角形和正方形,请画出两种不同的摆放方案.
(3)用多种正多边形镶嵌平面
若镶嵌时每个顶点处的正多边形有n个,设这n个正多边形的边数分别为x1,x2,…,xn,求出x1,x2,…,xn应满足的关系式.(用含n的式子表示)
参考答案
1.C 2.C 3.A
4.①②③
5.C
6.十二
7.B
8.6
9.(1)∵正n边形的内角和为180°(n-2),
∴每个内角的度数为.
由题意得m·=360°,
整理得m(n-2)=2n,
即2m+2n=mn.
(2)边长相等的正三角形和正方形镶嵌平面,两种不同的摆放方案,如图所示.
(3)由题意得++…+=360°,
整理得++…+=2,
即++…+=.第8章 三角形 复习练
【基础堂清】
1下列物品不是利用三角形稳定性的是 ( )
A.自行车的三角形车架
B.三角形房架
C.高架桥的三角形结构
D.伸缩晾衣架
2下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是 ( )
A.5,6,10 B.2,5,8
C.5,6,11 D.3,4,8
3如果一个多边形的内角和是外角和的3倍,那么这个多边形的边数是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4如图,将正五边形ABCDE绕其顶点A沿逆时针方向旋转,若使点C落在AE边所在的直线上,则旋转的角度可以是 ( )
A.54° B.72° C.108° D.144°
5如图,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=45°,∠C =73°,则∠DAE的度数是 ( )
A.62° B.31° C.17° D.14°
6将一副直角三角尺按如图所示的方式放置,使两直角重合,则∠1的度数为 .
7在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=∠ACB=30°,若将若干个这样的三角形按如图所示的方式拼接在一起,使每个等腰三角形的顶角的顶点与前一个三角形的底角顶点重合,一腰在前一个等腰三角形的底边上,直至最后一个三角形的底角顶点与点A重合,则这样拼成的多边形的形状为 .
【能力日清】
8小李同学将10 cm,12 cm,16 cm,22 cm的四根木棒首尾相接,组成一个凸四边形,若凸四边形对角线长为整数,则对角线最长为 ( )
A.25 cm B.27 cm
C.28 cm D.31 cm
9如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,延长BA至点E,连结CE交AD于点F,∠EAD和∠ECD的平分线相交于点P.若∠E=60°,∠APC=70°,则∠D的度数是 ( )
A.80° B.75° C.70° D.60°
10正六边形ABCDEF与正五边形BGHIJ按如图方式摆放,点A,B,G在同一条直线上,则∠JBC的度数为 .
11小亮在学习中遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D.
猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,并说明理由.
(1)小亮阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路.于是尝试带入∠B,∠C的值来求∠EAD的值,得到下面几组对应值:
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 a 30
则表中a的值为 .
(2)猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,并说明理由.
(3)小亮突发奇想,交换B,C两个字母的位置,如图2,过EA延长线上的一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D,当∠B=80°,∠C=20°时,∠F的度数为 °.
【素养提升】
12 如图,在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°.
(1)如图1,若∠B=∠C,则∠C= 度.
(2)如图2,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数.
(3)①如图3,若∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数;
②在①的条件下,若延长BA,CD交于点F(如图4).将原来条件“∠A=140°,∠D=80°”改为“∠F=40°”.其他条件不变,则∠BEC的度数为 .
参考答案
1.D 2.A 3.C 4.C 5.D
6.165°
7.正十二边形
8.B 9.A
10.48°
11.(1)20.
(2)猜想:∠EAD=(∠C-∠B).
理由:∵AD⊥BC,
∴∠DAC=90°-∠C.
∵AE平分∠BAC,∠BAC=180°-∠B-∠C,
∴∠EAC=∠BAC=90°-∠B-∠C,
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-∠B-∠C-(90°-∠C)=(∠C-∠B).
(3)30.
提示:如图,过点A作AH⊥CD于点H.
∵AH⊥CD,FD⊥CD,
∴AH∥DF,
∴∠F=∠EAH=(∠B-∠C)=×(80°-20°)=30°.
12.(1)70.
提示:∵在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°,
∴∠B+∠C=360°-(140°+80°)=140°.
∵∠B=∠C,
∴∠C=70°.
(2)∵BE∥AD,
∴∠ABE+∠A=180°,
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°.
∵∠ABC的平分线BE交DC于点E,
∴∠ABC=80°,
∴∠C=360°-(140°+80°+80°)=60°.
(3)①∵在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°,
∴∠B+∠C=360°-(140°+80°)=140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,
∴∠EBC+∠ECB=70°,
∴∠BEC=180°-70°=110°.
②110°.
提示:∵∠F=40°,
∴∠FBC+∠BCF=180°-40°=140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,
∴∠EBC+∠ECB=70°,
∴∠BEC=180°-70°=110°.