6.1 课时1 二元一次方程
【基础堂清】
知识点1 二元一次方程的概念
1下列方程中,属于二元一次方程的是 ( )
A.xy-3=1 B.4x-2y=3
C.x+=4 D.x2-4y=1
2 若方程■x-2y=x+5是二元一次方程,“■”是被弄污的x的系数,则“■”的值不可能是 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
3若x2m-1-2yn-1=3是关于x,y的二元一次方程,则(m-n)2 025的值为 .
知识点2 二元一次方程的解
4下列各组数中,是二元一次方程2x-3y=1的解的是 ( )
A. B.
C. D.
5 写出一个以为解的二元一次方程: .
【能力日清】
6若方程x-y=3与下面方程中的一个组成的方程组的解为则这个方程是 ( )
A.3x-4y=16 B.x+2y=5
C.-x+3y=8 D.2(x-y)=6y
7已知是方程ax+2y=5的解,则a的值为 ( )
A.- B. C.- D.
8(中考真题)国家“双减”政策实施后,某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元,碳素笔每支2元,共花费28元,则购买方案共有 ( )
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
9 (1)填表,使上下每对x,y的值都是方程3x+y=5的解.
x -2 0.4
y 0 3
(2)写出二元一次方程3x+y=5的正整数解: .
【素养提升】
10 观察图形,解答后面的问题.
梯形个数 1 2 3 4 5 6 …
周长 5 8 11 14 …
(1)请在上表中的空格中填上适当的数据.
(2)写出周长y和梯形个数x之间的二元一次方程.
(3)当x=674时,求y的值.
参考答案
1.B 2.B
3.-1
4.B
5.y=3x(答案不唯一)
6.D 7.A 8.B
9.(1)补全表格如下:
x -2 0.4
y 11 3.8 0 3
(2)x=1,y=2.
10.(1)17,20.
(2)由表格可知,从第二个梯形起,每一个梯形的周长比前一个梯形周长多了3,
∴y=5+3(x-1)=3x+2.
(3)当x=674时,y=2 024.6.1 课时2 二元一次方程组
【基础堂清】
知识点1 二元一次方程组的概念
1下列方程组中,是二元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
2若方程组是二元一次方程组,则“…”可以是 ( )
A.x=0 B.x-z=2
C.2y-z=1 D.x-y+z=3
知识点2 二元一次方程组的解
3若一个二元一次方程组的解是则这个方程组可能是 ( )
A. B.
C. D.
4 若方程组的解为则□,〇所代表的两个数分别为 ( )
A.5,1 B.1,5 C.1,2 D.2,1
5 若关于x,y的二元一次方程组的解为则整式A可以是 .
6已知是方程组的解,则m+n 的值是 .
【能力日清】
7已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x=y,则k的值是 .
8 若方程组是关于x,y的二元一次方程组,则mn= .
9观察下列方程组:
①②③….若第④个方程组满足上述方程组的数字规律,则第④个方程组为 .
【素养提升】
10 甲、乙两人共同解方程组甲由于看错了方程①中的a,得到方程组的解为乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为试计算a2 025+-b2 026的值.
参考答案
1.D 2.A 3.C 4.A
5.x-1(答案不唯一)
6.0
7.1
8.1
9.
10.把代入②,得-12+b=-2,
解得b=10;
把代入①,得5a+20=15,
解得a=-1.
则a2 025+-b2 026=(-1)2 025+-×102 026=-1+1=0.6.1 课时3 列二元一次方程组
【基础堂清】
知识点1 根据条件列二元一次方程
1若甲数的比乙数的4倍多1,设甲数为x,乙数为y,列出的二元一次方程应是 ( )
A.x-4y=1 B.4y-=1
C.y-4x=1 D.4x-y=1
2一个两位数,个位数字是x,十位数字是y,将个位和十位数字对调后,所得到的新的两位数与原两位数相加的和是110,则可列方程 .
知识点2 根据条件列二元一次方程组
3将7个全等的小长方形按如图所示的方式摆放拼成一个大长方形ABCD,且AB=26.设小长方形的长为x,宽为y,依题意列二元一次方程组,正确的是 ( )
A. B.
C. D.
4小明与哥哥的年龄和是24岁,小明对哥哥说:“当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是24岁.”如果现在小明的年龄是x岁,哥哥的年龄是y岁,那么下列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
5 《九章算术》是中国古代第一部数学专著,其中“方程”章的第一个问题译成现代汉语类似这样:上等谷2束,下等谷1束,可得粮食13斗;上等谷1束,下等谷1束,可得粮食8斗,问上、下两等谷每束各可得粮食几斗 设上等谷每束可得粮食x斗,下等谷每束可得粮食y斗,则可列方程组 .
【能力日清】
6 科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克.设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克.依据题意,可列方程组 .
【素养提升】
7 某县正在创建省级卫生文明县城,对县城内的河道进行整治.现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米,乙工程队每天整治12米,两个工程队共用时20天.要求整治任务完成后甲、乙工程队分别算出各自整治河道的长度.
小明、小华两位同学提出的解题思路如下:
小明同学:设整治任务完成后甲工程队整治河道x米,乙工程队整治河道y米.
根据题意,得
小华同学:设整治任务完成后,m表示 ,n表示 ,
得
请你补全小明、小华两位同学的解题思路.
参考答案
1.A
2.10x+y+10y+x=110
3.D 4.D
5.
6.
7.(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下:
小明同学:设整治任务完成后甲工程队整治河道x米,乙工程队整治河道y米.
根据题意得
小华同学:设整治任务完成后,m表示甲工程队整治河道用的天数,n表示乙工程队整治河道用的天数.
得6.2 课时1 代入消元法
【基础堂清】
知识点1 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
1对于二元一次方程y-2x=7,用含y的方程表示x为 ( )
A.x= B.x=
C.x=7+2y D.x=7-y
2把方程2x-3y=x+2y改写成用含x的式子表示y的形式: .
知识点2 代入消元法
3 解方程组把②代入①,计算结果正确的是 ( )
A.3x-15x+1=3
B.3x-15x+5=3
C.3(3x-1)-5y=3
D.3x-15x-5=3
4用代入消元法解下列方程组.
(1)
(2)
【能力日清】
5已知x=2-t,y=3+2t,下列用只含x的代数式表示y正确的是 ( )
A.y=-2x+7 B.y=-2x+5
C.y=-x-7 D.y=2x-1
6若|x-2y+1|+(x+y-5)2=0,则(x-y)2 025的值为 .
【素养提升】
7 善于思考的小军在解方程组
时,采用了一种“整体代换”的解法.
解:将方程②变形为4x+10y+y=5,
即2(2x+5y)+y=5,③
把方程①代入③得2×3+y=5,∴y=-1.
把y=-1代入①得x=4,
∴原方程组的解为
请你模仿小军的“整体代换”的解法来解方程组
参考答案
1.A
2.y=x
3.B
4.(1)把①代入②,得7x+5x+15=9,
解得x=-.
把x=-代入①,得y=,
则原方程组的解为
(2)由②得y=x+2,③
将③代入①,得2x+x+2=2,
解得x=0.
将x=0代入③,得y=2,
则原方程组的解为
5.A
6.1
7.(1)由②得3(3x-2y)+2y=19,③
把①代入③,得15+2y=19,
解得y=2,
把y=2代入①,得x=3,
∴方程组的解为6.2 课时2 加减消元法
【基础堂清】
知识点1 直接加减消元
1方程组的解为 ( )
A. B.
C. D.
2已知方程组则2a+3b的值是 .
知识点2 方程变形后加减消元
3 用加减法解方程组时,①×2-②得 ( )
A.3x=-1 B.-2x=13
C.17x=-1 D.8x=17
4已知x,y既满足x+2y=2,又满足3x+4y=26,则x+y的值为 .
5用加减消元法解下列方程组:
(1)
(2)
【能力日清】
6已知方程组则x+y的值为 ( )
A.-1 B.0 C.2 D.3
7在方程y=kx+b中,当x=2时,y=1;当x=3时,y=4.当x=5时,y的值为 ( )
A.8 B.10 C.-10 D.12
8已知关于x,y的方程组则x-y的值为 .
【素养提升】
9 在解关于x,y的方程组
时,可以通过步骤①×2-②消去未知数x,也可以通过步骤①×4+②×3消去未知数y,试求a,b的值.
参考答案
1.C
2.3
3.D
4.12
5.(1)令
②×2,得8x+2y=14,③
①+③,得11x=22,解得x=2.
把x=2代入②,得8+y=7,解得y=-1,
所以原方程组的解是
(2)方程组可化为
②×2,得4x+2y=16,③
①+③,得7x=21,
解得x=3.
把x=3代入②,得6+y=8,解得y=2,
所以原方程组的解是
6.D 7.B
8.0
提示:令方程组
①-②,得8x-8y=0,
所以x-y=0.故答案为0.
9.由①×2-②,得(2a-2b+1)x+(2b+a-4)y=-2,
由①×4+②×3,得4ax+4(b-2)y+3x(2b-1)-3ay=4+12,
整理得(4a+6b-3)x+(4b-3a-8)y=16,
则
解得6.2 课时3 解方程组综合训练
【基础堂清】
知识点 选择适当的方法解方程组
1已知x,y满足方程组则x-y等于 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2解下列方程组①②
③④其中 适宜用代入消元法, 适宜用加减消元法.(填序号)
3小刚解出了方程组的解为因不小心滴上了两滴墨水,刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数,则▲的值为 ,◆的值为 .
4解下列方程组:
(1)(2)
【能力日清】
5 定义一种新运算“※”,规定x※y=ax+by2,其中a,b为常数,且-1※1=0,2※1=3,则2※5= .
6已知方程组则代数式+的值为 .
7已知关于x,y的二元一次方程组(a是常数),若不论a取什么有理数,代数式kx-2y(k是常数)的值始终不变,则k的值为 .
【素养提升】
8 如果关于x,y的二元一次方程组
的解是那么关于x,y的方程组的解是多少 试根据两个方程组的特点加以分析并求解.
分析:本题常规思路是先解第一个方程组求出a,b的值,然后代入第二个方程组求解,但较为烦琐.
我们可以根据两个方程组的特点,利用换元法解第二个方程组.
参考答案
1.B
2.①④ ②③
3.17 9
4.(1)
由①×3-②×2,得y=2.
把y=2代入①,得3x+8=17,解得x=3,
则原方程组的解为
(2)原方程组整理得
由①-②得4y=28,解得y=7,
把y=7代入①,得3x-7=8,解得x=5,
则原方程组的解为
5.27
6-
7.-2 提示:关于x,y的二元一次方程组
①×4+②,得5x+5y=10,
∴x+y=2,
∴-2x-2y=-4.
∵不论a取什么有理数,代数式kx-2y(k是常数)的值始终不变,
∴k=-2.
故答案为-2.
8.令x+y=m,x-y=n,则第二个方程组可化为因为关于x,y的二元一次方程组的解是所以关于m,n的方程组的解是
所以解得
所以关于x,y的方程组的解是6.2 课时4 解方程组相关问题
【基础堂清】
知识点1 利用二元一次方程组求字母的值
1若方程组的解是方程7x+my=16的一个解,则m的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
知识点2 利用二元一次方程组求代数式的值
2已知是方程组的解,则3a-b的值为 .
知识点3 方程组的错解利用
3两位同学在解方程组时,甲同学由正确解得乙同学因把c写错而解得则a+b+c的值为 ( )
A.0 B.1 C.3 D.7
知识点4 同解方程组
4 已知关于x,y的方程组与的解相同,则ab的值为 .
【能力日清】
5已知关于x,y的二元一次方程3x-4y+mx+2m+8=0,若无论m取任何有理数,该二元一次方程都有一个固定的解,则这个固定的解为 .
6若关于x,y的方程组的解x与y的值之和等于2,求m2-4m+4的值.
7若方程组和方程组有相同的解,求a,b的值.
【素养提升】
8 阅读下列解方程组的方法,然后解决问题.
解方程组时,我们如果直接考虑消元,那将是比较繁杂的,而采用下面的解法则比较简便:
解:①-②,得3x+3y=3,所以x+y=1.③
将③×16,得16x+16y=16.④
②-④,得x=-2,由③得y=3,
所以原方程组的解是
(1)请采用上面的方法解方程组
(2)求关于x,y的方程组的解.
参考答案
1.C
2.5
3.D
4.2
5.
6.令
由①-②,得x+2y=2③.
∵x,y 的值的和等于2,∴x+y=2④.
由③-④,得y=0,
把y=0代入④,得x=2,
把x=2,y=0代入②,得m=4,
∴m2-4m+4=4.
7.将3x-y=7和2x+y=8组成方程组,得解得
将分别代入ax+y=b和x+by=a,得解得
8.(1)
①-②,得3x+3y=3,
∴x+y=1.③
将③×2 021,得2 021x+2 021y=2 021,④
②-④,得x=-1.
把x=-1代入③,得y=2,
所以原方程组的解为
(2)
①-②,得7x+7y=7,
∴x+y=1,③
将③×(a-5),得(a-5)x+(a-5)y=a-5,④
②-④,得-2y=5.
解得y=-.
把y=-代入③,得x=,
所以原方程组的解为6.2 课时5 二元一次方程组的实际应用(1)
【基础堂清】
知识点1 分量与总量问题
1为庆祝六一儿童节,某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个,单价分别为2元和4元,则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个.
知识点2 配套问题
2用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身25个,或制盒底40个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现在又有36张白铁皮.设用x张制作盒身,y张制作盒底可以使盒身和盒底正好配套,则可列方程组 .
【能力日清】
3在课后兴趣小组开展的手工制作活动中,美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒,准备把这些卡纸分成两部分,一部分做侧面,另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面,或者裁出3个底面,如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒,这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ( )
A.6 B.8 C.12 D.16
4(中考真题)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.(列方程组求解)
5 《孙子算经》里有一道题,请你解答:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何
题意:今有若干人乘车,每3人共乘1辆车,最终剩余2辆车;若每2人共乘1辆车,最终剩余9人无车可乘,则有多少人乘车及共有多少辆车 (列方程组求解)
【素养提升】
6 如图,某化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.该工厂从A地购买一批每吨2 000元的原料运回工厂,制成每吨5 000元的产品运到B地.已知公路的运价为2元/(吨·千米),铁路的运价为1.5元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运输费14 000元,铁路运输费87 000元.问:
(1)该工厂从A地购买了多少吨原料 制成运往B地的产品多少吨
(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元
参考答案
1.10 20
2.
3.C
4.设白色琴键的个数为x,黑色琴键的个数为y.
由题意得解得
答:白色琴键的个数为52,黑色琴键的个数为36.
5.设有x人乘车,共有y辆车.
由题意得解得
答:有39人乘车,共有15辆车.
6.(1)设该工厂从A地购买了x吨原料,制成运往B地的产品y吨.
由题意得
解得
答:该工厂从A地购买了300吨原料,制成运往B地的产品200吨.
(2)5 000×200-2 000×300-14 000-87 000=299 000(元).
答:这批产品的销售款比原料费与运输费的和多299 000元.6.2 课时6 二元一次方程组的实际应用(2)
【基础堂清】
知识点1 数字问题
1一个两位数,十位上数字比个位上数字大2,且十位上数字与个位上数字之和为12,则这个两位数为 ( )
A.46 B.64 C.57 D.75
2一天,小民去问爷爷的年龄,爷爷说:“我若是你现在这么大,你还要40年才出生呢,你若是我现在这么大,我已经是老寿星了,125岁了,哈哈!”则小民爷爷现在的年龄为 岁.
知识点2 图形问题
3如图,周长为68 cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形,则长方形ABCD的面积为 ( )
A.40 cm2 B.128 cm2
C.280 cm2 D.140 cm2
4如图,这是1个由7个形状、大小都相同的小长方形和1个正方形无缝隙拼合而成的图形,则图中阴影部分的面积为 .
知识点3 方案问题
5 在“双减”政策下,王老师把班级里43名学生分成若干小组,每组只能是4人或5人,则分组方案有 种.
【能力日清】
6在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形,所标尺寸如图所示,则图中阴影部分的面积之和为 ( )
A.48 cm2 B.72 cm2
C.36 cm2 D.24 cm2
7一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为7,若这个两位数加上45恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数,求原来的两位数.
【素养提升】
8 “脐橙结硕果,香飘引客来”,某地脐橙以其“外表光洁美观,肉质脆嫩,风味浓甜芳香”的特点饮誉中外.现欲将一批脐橙运往外地销售,若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走10吨;用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走11吨.现有脐橙31吨,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满脐橙.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨
(2)请你帮该物流公司设计租车方案.
(3)若1辆A型车租金为100元/次,1辆B型车租金为120元/次,请选出费用最少的租车方案,并求出租车费的最小值.
参考答案
1.D
2.70
3.C
4.36
5.2
6.B
7.设原来的两位数的十位数字为x,个位数字为y.
由题意得
解得
即原来的两位数为16.
答:原来的两位数为16.
8.(1)设1辆A型车载满脐橙一次可运送x吨,1辆B型车载满脐橙一次可运送y吨.
由题意得解得
答:1辆A型车载满脐橙一次可运送3吨,1辆B型车载满脐橙一次可运送4吨.
(2)由题意得3a+4b=31.
因为a,b均为正整数,
所以或或
所以一共有3种租车方案,方案一:租A型车1辆,B型车7辆;方案二:租A型车5辆,B型车4辆;方案三:租A型车9辆,B型车1辆.
(3)方案一所需租金为100×1+120×7=940(元);
方案二所需租金为100×5+120×4=980(元);
方案三所需租金为100×9+120×1=1 020(元).
因为940<980<1 020,
所以最省钱的租车方案是方案一,即租A型车1辆,B型车7辆,租车费的最小值为940元.6.2 课时7 二元一次方程组的实际应用(3)
【基础堂清】
知识点1 行程问题
1小明每天骑自行车从家到学校,要经过一段上坡与一段平路,如果保持上坡的速度为每小时10 km,平路的速度为每小时15 km,下坡的速度为每小时20 km,那么从家到学校需24分钟,从学校到家需要18分钟.设坡路长x km,平路长y km,依题意,所列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2A地至B地的航线T1长9 750 km,一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5 h,它逆风飞行同样的航线要13 h,则飞机在无风时的平均速度是 ( )
A.720 km/h B.750 km/h
C.765 km/h D.780 km/h
知识点2 工程问题
3某工程队承包了某标段全长1 800米的过江隧道施工任务,甲、乙两组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进2米,经过5天施工,两组共掘进了60米,则甲组平均每天掘进 米,乙组平均每天掘进 米.
【能力日清】
4一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行,从甲地到乙地顺流航行用6小时,逆流航行比顺流航行多用4小时.
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度.
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同,问甲、丙两地相距多少千米
【素养提升】
5 某家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3 520元,若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付费用共3 480元.
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少钱
(2)已知甲组单独完成需12天,乙组单独完成需24天,单独请哪个组施工,商店所付费用较少
(3)在(2)的条件下,现有三种施工方案:①单独请甲组装修;②单独请乙组装修;③请甲、乙两组合做.若装修过程中,商店不但要支付装修费用,而且每天因装修损失收入200元,你认为如何安排施工更有利于商店 请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)
参考答案
1.A 2.C
3.7 5
4.(1)设该轮船在静水中的速度是x千米/时,水流速度是y千米/时,
由题意得解得
答:该轮船在静水中的速度是12千米/时,水流速度是3千米/时.
(2)设甲、丙两地相距a千米,则乙、丙两地相距(90-a)千米.
由题意得=,
解得a=.
答:甲、丙两地相距千米.
5.(1)设甲组工作一天商店应付x元,乙组工作一天商店应付y元.
由题意得
解得
答:甲组工作一天商店应付300元,乙组工作一天商店应付140元.
(2)单独请甲组需要的费用为300×12=3 600(元);
单独请乙组需要的费用为140×24=3 360(元).
∵3 600>3 360,
∴单独请乙组施工,商店所付费用较少.
(3)单独请甲组施工,需费用3 600元,少盈利200×12=2 400(元),相当于损失6 000元;
单独请乙组施工,需费用3 360元,少盈利200×24=4 800(元),相当于损失8 160元;
请甲、乙两组合做,需费用3 520元,少盈利200×8=1 600(元),相当于损失5 120元.
∵5 120<6 000<8 160,
∴甲、乙合做损失费用最少.
答:安排甲、乙两个装修组同时施工更有利于商店.6.2 课时8 二元一次方程组的实际应用(4)
【基础堂清】
知识点1 图表信息问题
1 小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏,各投5支镖,规定在同一环内得分相同,中靶和得分情况如图,则大壮的得分是 ( )
A.20 B.22 C.23 D.25
知识点2 市场营销问题
2 开学后某书店向学校推销两种图书,如果原价买这两种书共需要850元.书店推销时第一种书打八折,第二种书打七五折,结果买两种书共少用200元,则第一种书与第二种书分别需要 ( )
A.250元,600元 B.600元,250元
C.250元,450元 D.450元,200元
【能力日清】
3某服装店用20 000元购进甲、乙两种新式服装共450件,这两种服装的进价、标价如下表所示.
类型 价格 甲种 乙种
进价/(元/件) 40 50
标价/(元/件) 60 80
(1)求这两种服装各购进的件数.
(2)如果甲种服装按标价的8折出售,乙种服装按标价的7折出售,那么这批服装全部售完后,该服装店共盈利多少元
【素养提升】
4综合与实践
如何设计购买方案
素材1 某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承,研学之旅”活动,已知该景区有A,B两场历史演出活动,且购买2张A演出门票比1张B演出门票多10元,购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多
素材2 考虑场地和安全原因,要求A演出、B演出两种门票都要购买,且该班购买A演出的门票要多于B演出的门票
问题解决
任务1 确定演出门票价格 (1)请分别求出A演出和B演出的门票单价
任务2 拟定购买方案 (2)若购买门票的总预算为600元(全部花完),且要使购买门票的总数量尽量多,请你设计一种最佳的购买方案
参考答案
1.C 2.A
3.(1)设甲种服装购进了x件,乙种服装购进了y件.
由题意得
解得
答:甲种服装购进了250件,乙种服装购进了200件.
(2)由题意,得250×(60×0.8-40)+200×(80×0.7-50)=250×8+200×6=3 200(元).
答:这批服装全部售完后,该服装店共盈利3 200元.
4.(1)设一张A演出门票为x元,一张B演出门票为y元.
由题意得解得
答:一张A演出门票30元,一张B演出门票50元.
(2)设购买A演出门票m张,购买B演出门票n张.
由题意得30m+50n=600,
∴m=.
∵m,n均为正整数,且m>n≥1,
∴或
又∵15+3=18(张),10+6=16(张),18>16,
∴要使购买门票的总数量尽量多,应购买15张A演出门票,3张B演出门票.
答:购买15张A演出门票,3张B演出门票.6.3 课时1 代入消元法解三元一次方程组
【基础堂清】
知识点1 三元一次方程组的概念
1下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
知识点2 三元一次方程组的解
2下列四组数值中,为方程组的解的是 ( )
A. B.
C. D.
知识点3 代入消元法解三元一次方程组
3若(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,则x+y+z的值为 ( )
A.- B.
C.2 D.-2
【能力日清】
4三元一次方程组的解为 .
5方程组的解为 .
6 三元一次方程组的解是 .
【素养提升】
7 善于思考的小明在解方程组
时,采用了一种“整体代换”的思想,解法如下:
将方程8x+22y=10变形为2(4x+10y)+2y=10,③
把方程①代入③,得2×6+2y=10,则y=-1,把y=-1代入①,得x=4,所以方程组的解为
请你运用“整体代换“的思想解决下列问题:
(1)解方程组
(2)已知x,y,z满足求z的值.
参考答案
1.D 2.D 3.A
4.
5.
6.
7.(1)
由②得3(2x-3y)+4y=25,③
把方程①代入③,得3×7+4y=25,
解得y=1,
把y=1代入①,得x=5,
所以方程组的解为
(2)
由②知x+4y=19-z,③
由①可变形为3×(x+4y)-2z=47,
将③代入①,得3×(19-z)-2z=47,
解得z=2.6.3 课时2 加减消元法解三元一次方程组
【基础堂清】
知识点1 加减消元法解三元一次方程组
1三元一次方程组消去未知数y后,得到的方程组可能是 ( )
A. B.
C. D.
2方程组的解是 .
知识点2 三元一次方程组的应用
3 蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只 若设蜘蛛有x只,蜻蜓有y只,蝉有z只,则可以列方程组 .
4 小明从家到学校的路程为3.3千米,其中有一段上坡路、平路、和下坡路.如果保持上坡路每小时行3千米,平路每小时行4千米,下坡路每小时行5千米,那么小明从家到学校用一个小时,从学校到家要44分钟,问小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米
【能力日清】
5 已知方程组则x∶y∶z= .
6解方程组:
【素养提升】
7 解二元一次方程组的关键是“消元”,即把“二元”转化为“一元”,同样,我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组.下面,我们就来解一个三元一次方程组:
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下:
解: + ,得3x+4y=10,④
+ ,得5x+y=11,⑤
与 联立,得方程组
(1)请补全小曹同学的解答过程.
(2)若m,n,p,q满足方程组则m+n-2p+q的值为 .
参考答案
1.A
2.
3.
4.设从家到学校上坡路是x千米,平路是y千米,下坡是z千米.根据题意得
根据解得
答:上坡路长2.25千米、平路长0.8千米、下坡路长0.25千米.
5.2∶3∶1
6.①+②,得4x+8z=12,④
②×2+③,得8x+9z=17,⑤
④×2-⑤,得7z=7,解得z=1,
将z=1代入④,得x=1,
将x=1,z=1代入①,得y=2.
故原方程组的解是
7.(1)①,②;②,③;⑤,④.
提示:方程组
小曹同学的部分解答过程如下:
解:①+②,得3x+4y=10,④
②+③,得5x+y=11,⑤
⑤与④联立,得方程组
解得
把代入①得2+1+z=2,
解得z=-1,
∴原方程组的解是
(2)-2.
提示:
②-①×2得p-3q=8,④
③-①×3得-5p-2q=-6,⑤
由④与⑤组成方程组
解得
代入①得m+n=4.
∴m+n-2p+q=-2.6.4 实践与探索
【基础堂清】
知识点1 列二元一次方程(组)解决实际问题
1母亲节到了,小红、小丽和小华到花店买花送给自己的母亲.小红买了3支玫瑰,5支康乃馨,付了21元;小丽买了4支玫瑰,7支康乃馨,付了29元.小华想买上面两种花各2支,则他应付 元.
2如图,三个形状、大小完全相同的小长方形沿“横—竖—横”排列在一个边长分别为23.45、12.34的大长方形中,则图中一个小长方形的周长为 .
知识点2 列三元一次方程(组)解决实际问题
3一个三位数的三个数字的和是17,百位数字与十位数字的和比个位数字大3,如果把个位数字与百位数字的位置对调,那么所得的三位数比原数大495,则原来的三位数是 .
【能力日清】
4 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,记载了许多有趣而又不乏技巧的有关方程的题目.其中有一道如下:“今有甲、乙二人,持钱各不知数.甲得乙中半,可满四十八.乙得甲太半,亦满四十八.问甲、乙二人原持钱各几何 ”译文:“甲,乙两人各有若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱48文.如果乙得到甲所有钱的,那么乙也共有钱48文.问甲、乙二人原来各有多少钱 ”答:甲原有的钱数是 文,乙原有的钱数是 文.
【素养提升】
5 某公司有A,B两种型号的商品需运出,这两种商品的体积和质量如下表所示:
型号 体积/(m3/件) 质量/(t/件)
A种型号 0.8 0.5
B种型号 2 1
(1)已知一批商品有A,B两种型号,体积一共是20 m3,质量一共是10.5 t,问A,B两种型号商品各有多少件
(2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5 t,容积为6 m3,其收费方式有以下两种:
按车收费:每辆车运输货物到目的地收费900元;
按吨收费:每吨货物运输到目的地收费300元.
现要将(1)中的商品一次或分批运输到目的地,该公司应如何选择运送方式,使所付运费最少 并求出该方式下的运费是多少元.
参考答案
1.10
2.23.86
3.287
4.36 24
5.(1)设A,B两种型号商品各有x件和y件.
由题意得解得
答:A,B两种型号商品各有5件和8件.
(2)①按车收费:10.5÷3.5=3(辆),
但车辆的容积为6×3=18<20,
∴3辆车不够,需要4辆车,
此时运费为4×900=3 600元.
②按吨收费:300×10.5=3 150元.
③先用3辆车运送A商品5件,B商品7件,共18 m3,按车付费3×900=2 700(元).
剩余1件B型产品,再运送,按吨付费300×1=300(元).
共需付2 700+300=3 000(元).
∵3 000<3 150<3 600,
∴先按车收费用3辆车运送18 m3,再按吨收费运送1件B型产品,此方式下的运费最少,运费最少为3 000元.
答:先按车收费用3辆车运送18 m3,再按吨收费运送1件B型产品,此方式下的运费最少,运费最少为3 000元.第6章 一次方程组 复习练
【基础堂清】
1已知是二元一次方程y-kx=7的解,则k的值是 ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
2用加减消元法解方程组时,下列步骤可以消去未知数y的是 ( )
A.①×2-②×3
B.①×3-②×2
C.①×3+②×2
D.①×2+②×3
3已知关于x,y的方程2x-3y=5和x+3y=-2的解相同,则x+2y的值为 ( )
A.-1 B.1 C.3 D.4
4 明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一道题:有83 000根短竹,每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个,怎样安排用于制作笔管或笔套的短竹的数量,使制成的1个笔管与1个笔套正好配套 设用于制作笔管的短竹数为x根,用于制作笔套的短竹数为y根,则可列方程组 .
5由-=1可以得到用x表示y的式子是 .
6若是方程组的解,则a-b的值是 .
7把四张完全相同的小长方形纸片(阴影部分)和两本完全相同的长方形课本(空白部分)按如图所示的方式摆放.根据图中标注的尺寸,可得小长方形纸片的长与宽之差为 .
8解方程组:
9已知关于x,y的方程组的解是求a+b的值.
10当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,又可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银的质量.
【能力日清】
11已知方程组的解x,y互为相反数,则m的值为 ( )
A.1 B.0 C.2 D.-2
12用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品;用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品.要生产甲种产品37件,乙种产品18件,则恰好需用A,B两种型号的钢板共 块.
13若关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=-7的一组解,求原方程组的解.
14 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题:“甲乙隔沟牧放,二人暗里参详.甲云得乙九只羊,多乙一倍之上.乙说得甲九只,两家之数相当.”翻译成现代文,其大意如下:甲乙两人隔一条沟放牧,二人心里暗中合计.甲对乙说:“我得到你的九只羊,我的羊就比你多一倍.”乙对甲说:“我得到你的九只羊,咱俩家的羊就一样多.”问甲、乙各有多少只羊
【素养提升】
15 根据以下信息,完成任务:
选择招聘方案
素材1 某工艺品厂设计出一款国庆纪念工艺品,计划在一个月(按22个工作日计算)内生产2 024件限量工艺品.由于抽调不出足够的熟练工来完成工艺品的生产,为顺利完成任务,工厂决定招聘一些新工人,经过培训上岗可以独立进行生产.
素材2 调研部门发现:2名熟练工和3名新工人每天共加工28件产品;3名熟练工和2名新工人每天共加工32件产品.
素材3 工厂给的每名熟练工每天发300元工资,每名新工人每天发160元工资.
问题解决
任务一: 分析数 量关系 每名熟练工和新工人每天分别可以生产多少件工艺品
任务二: 确定可 行方案 如果工厂新招聘工人至少2人,且不得超过抽调熟练工的人数,那么工厂有哪几种工人招聘方案,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一个月(按22个工作日计算)的生产任务
任务三: 选取最 优方案 在上述方案中,为了节省成本,应该招聘新工人多少名
参考答案
1.D 2.D 3.A
4.
5.y=x-2
6.
7.5
8.
9.将代入方程组得
解得
所以a+b=.
10.设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克.
根据题意得解得
答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克.
11.D
12.11
13.
①-②得3y=3k,
∴y=k.
把y=k代入②,
得x-k=k,
∴x=2k.
∵原方程组的解也是方程2x+3y=-7的一组解,
∴2×2k+3k=-7,
解得k=-1,
∴x=-2,y=-1,
∴原方程组的解为
14.设甲有羊x只,乙有羊y只.
由题意得解得
答:甲有羊63只,乙有羊45只.
15.任务一:设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品和y件工艺品.
由题意得解得
答:每名熟练工和新工人每天分别可以生产8件工艺品和4件工艺品.
任务二:设使用熟练工a人,招聘新工人b人.
由题意得(8a+4b)×22=2 024,
化简得2a+b=23.
∵2≤b≤a,且a,b都为正整数,
∴b=3,5,7,
∴共有三种方案:①抽调熟练工10人,招聘新工人3人;②抽调熟练工9人,招聘新工人5人;③抽调熟练工8人,招聘新工人7人.
任务三:①10×300+3×160=3 000+480=3 480(元);
②9×300+5×160=2 700+800=3 500(元);
③8×300+7×160=2 400+1 120=3 520(元).
∴3 480<3 500<3 520,为了节省成本,应该招聘新工人3名.
