5.1 从实际问题到方程
【基础堂清】
知识点1 方程的定义
1下列式子中,方程有 ( )
①3×3+1=5×2;②(y-2)2≥0;③3x+1=5y;④7x-1=x+4;⑤x+y+z.
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2在式子①2x-1,②2x+1=3x,③3+5=5+3,④t+1=3中,等式有 ,方程有 .(填式子的序号)
知识点2 方程的解
3下列方程中,解为x=2的是 ( )
A.2x=6 B.x+2=0
C.x-1=3 D.3x-6=0
4已知x=3是关于x的方程ax+2x-3=0的解,则a的值为 .
知识点3 根据实际问题列方程
5已知甲、乙两个运输队,甲队32人,乙队28人,若从乙队调走x人到甲队,此时甲队人数是乙队人数的2倍,则下列方程正确的是 ( )
A.32-x=28×2 B.32×2=28-x
C.32=2(28-x) D.32+x=2(28-x)
6(1)某数的与-1的差等于10,设该数为x,则列出的方程是 .
(2)一根铁丝用去后还剩下3 m.设这根铁丝的长为x m,则列出的方程是 .
【能力日清】
7 小亮在做作业,不小心将方程2(x-3)-■=x+1中的一个常数污染了.于是他翻开书后的答案,发现方程的解是x=9,则这个被污染的常数是 .
8检验括号中的数是不是方程的解:
(1)2x=10-3x(x=0,x=2,x=3);
(2)(x-2)(x+1)=0(x=-1,x=1,x=2).
【素养提升】
9 在一次植树活动中,甲班植树的株数比乙班多20%,乙班植树的株数比甲班的一半多10株,设乙班植树x株.
(1)列两个不同的含x的代数式,分别表示甲班植树的株数.
(2)根据题意列出含未知数x的方程.
(3)检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株.
参考答案
1.A
2.②③④ ②④
3.D
4.-1
5.D
6.(1)x-(-1)=10
(2)x-x=3
7.2
8.(1)将x=0代入,左边=0,右边=10,左边≠右边,∴x=0不是方程的解.
将x=2代入,左边=4,右边=10-6=4,左边=右边,∴x=2是方程的解.
将x=3代入,左边=6,右边=10-9=1,左边≠右边,∴x=3不是方程的解.
(2)将x=-1代入,左边=0,右边=0,左边=右边,∴x=-1是方程的解.
将x=1代入,左边=-2,右边=0,左边≠右边,
∴x=1不是方程的解.
将x=2代入,左边=0,右边=0,左边=右边,
∴x=2是方程的解.
9.(1)根据甲班植树的株数比乙班多20%,得甲班植树的株数为(1+20%)x株;根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株,得甲班植树的株数为2(x-10)株.
(2)(1+20%)x=2(x-10).
(3)把x=25分别代入方程的左边和右边,得左边=(1+20%)×25=30,右边=2×(25-10)=30,因为左边=右边,所以25是方程(1+20%)x=2(x-10)的解,这就是说乙班植树的株数是25株,从上面的检验过程可得甲班植树的株数是30株,而不是35株.5.2.1 课时1 等式的性质
【基础堂清】
知识点1 等式的基本性质1
1 已知a=b,下列变形不一定正确的是 ( )
A.a+5=b+5 B.a-5=b-5
C.a+c=b+d D.1-a=1-b
知识点2 等式的基本性质2
2 下面的框图表示小明解方程3(x-1)=5+x的流程,其中,步骤④的依据是 ( )
3(x-1)=5+x3x-3=5+x3x-x=5+32x=8x=4
A.等式的基本性质1 B.等式的基本性质2
C.去括号法则 D.乘法分配律
3下列变形一定正确的是 ( )
A.如果ax=b+x,那么a=b
B.如果(a+1)x=a+1,那么x=1
C.如果x=y,那么x-5=5-y
D.如果(a2+1)x=1,那么x=
4将等式3x-3=2+2x的两边同加3、减2x得 ,根据是 .
5将等式-3x=15的两边同除以 ,得x=-5,根据是 .
6小邱认为,若ac=bc,则a=b.你认为小邱的观点正确吗 并写出你的理由.
【能力日清】
7 根据等式的性质,下列变形正确的是 ( )
A.若=,则a=b
B.若+=1,则3a+4b=1
C.若x-2=3,则x=1
D.若2x=1,则x=2
8已知2x=3y(x≠0,y≠0),则下面结论成立的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=6
9已知代数式2(x-2y)=6,求代数式2-x+2y的值.
10若a+b=3,c=5,求2a+2b+3c的值.
【素养提升】
11 下列天平中放有球、圆柱、正方体.若三个天平分别都保持平衡,则第三个天平中,右侧秤盘上所放的正方体有几个 请写出答案并说明理由.(每种相同的物体的质量都相等)
参考答案
1.C 2.B 3.D
4.x=5 等式的基本性质1
5.-3 等式的基本性质2
6.若ac=bc,则a=b不一定成立,即小邱的观点不正确.
理由:当c=0时,a可以不等于b.
7.A 8.A
9.由2(x-2y)=6,得x-2y=3,
∴原式=2-(x-2y)=2-3=-1.
10.2a+2b+3c=(2a+2b)+3c=2(a+b)+3c.
∵a+b=3,c=5,
∴2(a+b)=2×3=6,3c=3×5=15,
∴2a+2b+3c=2(a+b)+3c=6+15=21.
11.第三个天平中,右侧秤盘上所放的正方体有5个.
理由:设一个球的质量为x,一个圆柱的质量为y,一个正方体的质量为z.
由题意得2x=5y,2z=3y.
因为6x=15y,10z=15y,
所以6x=10z.
所以3x=5z.
所以第三个天平中,右侧秤盘上所放的正方体有5个.5.2.1 课时2 方程变形的基本规则
【基础堂清】
知识点1 方程变形的规则1
1(中考真题)若代数式x-3的值为5,则x等于 ( )
A.8 B.-8
C.2 D.-2
2 方程2x-1=-x,根据方程变形规则1可得 ( )
A.2x-x=1 B.2x+x=-1
C.2x+x=1 D.2x-x=-1
知识点2 方程变形的规则2
3下列方程中,符合方程的变形规则的是 ( )
A.若2x-3=7,则2x=7-3
B.若3x-2=x+1,则3x-x=1-2
C.若-3x=5,则x=5+3
D.若-x=1,则x=-8
4下列方程中,运用方程变形规则正确的是 ( )
A.由-2x=3,得x=-
B.由-2y-3=y+1得y+2y=3+1
C.由-1=x,得2x-1-1=3x
D.由-=1,得3(x+1)-2(2x-1)=6
【能力日清】
5 若在等式3a-5=2a+6的两边同时减去一个多项式可以得到等式a=11,则这个多项式是 .
6下列方程的变形是否正确 为什么
(1)由3+x=5,得x=5+3.
(2)由7x=-4,得x=-.
(3)由y=0,得y=2.
(4)由3=x-2,得x=-2-3.
【素养提升】
7 小亮对等式5m-2=3m-2进行变形,得出“5=3”的错误结论,但他找不到错误原因,聪明的你能帮助他找到原因吗 小亮同学的具体过程如图所示:
将等式5m-2=3m-2变形, 得5m=3m,(第一步) 所以5=3.(第二步)
(1)第 步变形产生错误.
(2)请你分析产生错误的原因.
参考答案
1.A 2.C 3.D 4.D
5.2a-5
6.(1)由3+x=5,得x=5+3,变形不正确.
∵方程左边减3,方程的右边加3,
∴变形不正确.
(2)由7x=-4,得x=-,变形不正确.
∵左边除以7,右边乘,
∴变形不正确.
(3)由y=0,得y=2,变形不正确.
∵左边乘2,右边加2,
∴变形不正确.
(4)由3=x-2,得x=-2-3,变形不正确.
∵左边加x减3,右边减x减3,
∴变形不正确.
7.(1)二.
(2)错误的原因:等式两边同时除以一个可能等于零的m,等式不成立.5.2.1 课时3 利用等式的性质解方程
【基础堂清】
知识点1 移项
1解方程时,移项的依据是 ( )
A.加法交换律
B.加法结合律
C.方程的变形规则1
D.方程的变形规则2
2 方程3x-4=3-2x的解答过程的正确顺序是 ( )
①合并同类项,得5x=7;
②移项,得3x+2x=3+4;
③系数化为1,得x=.
A.①②③ B.③②①
C.②①③ D.③①②
3 解方程2x-4=-3x-1,移项,得 .
知识点2 利用等式的性质解方程
4 已知A=a+3,B=2a.若A=B+1,则a的值为 ( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
5利用等式的性质解下列方程.
(1)x+3=2.
(2)-x-2=3.
(3)9x=8x-6.
【能力日清】
6某同学在解关于x的方程3a=2x+15时,在移项过程中2x没有改变符号,得到方程的解为x=3.求a的值及原方程的解.
【素养提升】
7 阅读下列材料:
问题:怎样将0.表示成分数
小明的探究过程如下:
设x=0.,①
10x=10×0.,②
10x=7.,③
10x=7+0.,④
10x=7+x,⑤
9x=7,⑥
x=.⑦
根据以上信息,回答下列问题:
(1)从步骤①到步骤②,变形的依据是 ;从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是 .
(2)仿照上述探究过程,请你将0.表示成分数的形式.
参考答案
1.C 2.C
3.2x+3x=-1+4
4.C
5.(1)x+3-3=2-3,x=-1.
(2)-x-2+2=3+2,-x=5,x=-10.
(3)9x-8x=8x-6-8x,x=-6.
6.根据题意知,x=3是关于x的方程2x=15-3a的解,所以2×3=15-3a,解得a=3.把a=3代入原方程,得3×3=2x+15.所以2x=-6,即x=-3.因此,a的值是3,原方程的解是x=-3.
7.(1)等式的基本性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等;等式的基本性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
(2)设x=0.,①
则100x=23.,②
100x=23+0.,③
100x=23+x,④
99x=23,⑤
x=.⑥
所以0.=.5.2.2 课时1 解一元一次方程(1)
【基础堂清】
知识点1 一元一次方程的定义
1下列各式中,是关于x的一元一次方程的是 ( )
A.3x-5 B.+1=0
C.2x= D.5x2-3y=0
2若2xk-1+3=-1是关于x的一元一次方程,则k的值为 .
3 若(a-1)x|a|+4=-6是关于x的一元一次方程,则a的值为 .
知识点2 去括号法解一元一次方程
4解下列方程时,去括号正确的是 ( )
A.由2(x-1)=x+3,得2x-1=x+3
B.由-5(1-x)=4,得-5-5x=4
C.由3(2-4x)=3,得6-12x=3
D.由3=4(1-x),得-3=4-4x
5若2(a+3)的值与-5互为相反数,则a的值为 ( )
A.- B.- C.- D.5
6 若2x-11的值与5(2-x)的值相等,则x的值为 .
7解方程.
(1)6x=-2(3x-5)+10.
(2)-2(x+5)=3(x-5)-6.
【能力日清】
8 若“☆”表示一种新的运算符号,且有如下运算规律:2☆3=2+3+4,7☆2=7+8,3☆5=3+4+5+6+7,9☆4=9+10+11+12,….按此规律,如果n☆3=33,那么n的值为 .
9 阅读解题过程,回答问题.
解:解方程:3(x-2)+1=2x-(3x-4).
去括号,得3x-6+1=2x-3x-4,①
即3x-5=-x-4,②
移项,得3x-x=5-4,③
合并同类项,得2x=1,④
将未知数的系数化为1,得x=.⑤
指出以上解答过程哪一步出错,并给出正确解答.
【素养提升】
10 定义一种新运算“ ”:a b=2a-3b,比如:1 5=2×1-3×5=-13.
(1)求(-2) 3的值.
(2)若(3x-2) (x+1)=2,求x的值.
参考答案
1.C
2.2
3.-1
4.C 5.C
6.3
7.(1)去括号,得6x=-6x+10+10,
移项,得6x+6x=10+10,
合并同类项,得12x=20,
将未知数的系数化为1,得x=.
(2)去括号,得-2x-10=3x-15-6,
移项,得-2x-3x=-15-6+10,
合并同类项,得-5x=-11,
将未知数的系数化为1,得x=.
8.10
9.第①步和第③步出错.
正确解答如下:
解:去括号,得3x-6+1=2x-3x+4,
即3x-5=-x+4,
移项,得3x+x=5+4,
合并同类项,得4x=9,
将未知数的系数化为1,得x=.
10.(1)∵a b=2a-3b,
∴(-2) 3=2×(-2)-3×3=-4-9=-13.
(2)∵a b=2a-3b,
∴(3x-2) (x+1)=2(3x-2)-3(x+1)=2,
∴6x-4-3x-3=2,
∴6x-3x=2+4+3,
解得x=3.5.2.2 课时2 解一元一次方程(2)
【基础堂清】
知识点1 去分母法解一元一次方程
1解方程-=3时,去分母正确的是 ( )
A.2(3x+1)-5x-2=3
B.2(3x+1)-5x+2=3
C.2(3x+1)-5x-2=12
D.2(3x+1)-5x+2=12
2小华在解关于x的方程-=-1时,去分母的过程中,方程右边的常数项-1漏乘了公分母12,因而求得方程的解为x=-13,则a的值为 .
知识点2 解一元一次方程的步骤
3 将方程-=1去分母得到2(2x-1)-3x+1=6,错在 ( )
A.找错分母的最小公倍数
B.去分母时漏乘项
C.去分母时分子部分没有加括号
D.去分母时各项所乘的数不同
4解方程:-=5.
【能力日清】
5若代数式与代数式k+3的值相等时,则k的值为 .
6 小斌在解方程x-=1-时,墨水把其中一个数字污染成了“■”,他翻阅了答案知道这个方程的解为x=5,于是他推算确定污染了的数字“■”应该是 .
7根据题意列方程,并求解.
(1)当a为何值时,与(2a-9)互为相反数
(2)已知比小1,求k的值.
【素养提升】
8 下面是小颖同学解一元一次方程的过程,请认真阅读并解答问题.
解方程:-=1.
解:去分母,得2(2x+1)-(5x-1)=1,……第一步
去括号,得4x+2-5x+1=1,……第二步
移项,得4x-5x=1-1-2,……第三步
合并同类项,得-x=-2,……第四步
将未知数的系数化为1,得x=2.……第五步
任务一:①以上求解过程中,第三步的依据是 ;
②从第 步开始出现错误,错误的原因是 .
任务二:请直接写出该方程的正确解: .
参考答案
1.D
2.2
3.C
4.去分母,得2x-3(30-x)=60,
去括号,得2x-90+3x=60,
移项,得2x+3x=60+90,
合并同类项,得5x=150,
将未知数的系数化为1,得x=30.
5.8
6.5
7.(1)根据题意,得+(2a-9)=0,
去分母,得a+(2a-9)=0,
去括号,得a+2a-9=0,
移项,得a+2a=9,
合并同类项,得3a=9,
将未知数的系数化为1,得a=3.
(2)根据题意,得-=1,
去分母,得2(2k+1)-(5k-1)=6,
去括号,得4k+2-5k+1=6,
移项,得4k-5k=6-2-1,
合并同类项,得-k=3,
将未知数的系数化为1,得k=-3.
8.任务一:①等式的基本性质.
②一;等号右边的1没有乘6.
任务二:x=-3.
提示:-=1.
解:去分母,得2(2x+1)-(5x-1)=6,……第一步
去括号,得4x+2-5x+1=6,……第二步
移项,得4x-5x=6-1-2,……第三步
合并同类项,得-x=3,……第四步
将未知数的系数化为1,得x=-3.……第五步
故答案为x=-3.5.2.2 课时3 一元一次方程的实际应用(1)
【基础堂清】
知识点1 列一元一次方程解决“调运问题”
1甲煤场有煤390吨,乙煤场有煤96吨,为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍,应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场 若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场,则下列方程中,正确的是 ( )
A.390-x=2(96+x)
B.390+x=2(96-x)
C.390-x=2×96
D.390-2x=96
2如图,天平的两个盘内分别盛有79 g和96 g的糖,问应从A盘中拿出多少糖放到B盘中,才能使天平平衡
知识点2 列一元一次方程解决“配套问题”
3某中学通过图书循环活动培养学生环保意识,八年级(1)班把他们使用过的部分图书提供给七年级(1)班的同学阅读,若每人分4本,则剩余13本;若每人分5本,则还缺25本,设七年级(1)班有学生x人,则下列方程正确的是 ( )
A.5x-4x=25-13
B.4x+25=5x+13
C.4x+13=5x-25
D.4x-13=5x+25
4 某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉的工人为 名.
【能力日清】
5某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人,如果从第二车间调10人到第一车间,那么第一车间人数就是第二车间人数的,求原来每个车间的人数.
【素养提升】
6 在手工制作课上,老师组织七年级(2)班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七年级(2)班共有学生50人,其中男生人数比女生人数少2人,并且每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个.
(1)七年级(2)班男生、女生各有多少人
(2)原计划男生负责剪筒底,女生负责剪筒身,要求1个筒身配2个筒底,那么男生应向女生支援多少人,才能使每小时剪出的筒身与筒底配套
参考答案
1.A
2.设应从A盘中拿出x g糖放到B盘中,才能使天平平衡.
由题意可得79+x=96-x,
解得x=8.5.
答:应从A盘中拿出8.5 g糖放到B盘中,才能使天平平衡.
3.C
4.10
5.设原来第二车间有x人.
由题意得x-30+10=(x-10),
解得x=250,则×250-30=170(人).
答:原来第一车间的人数为170,第二车间的人数为250.
6.(1)设七年级(2)班男生有x人,则女生有(x+2)人.
由题意得x+x+2=50,解得x=24,
所以24+2=26.
答:七年级(2)班男生有24人,女生有26人.
(2)设男生应向女生支援y人.
由题意得120×(24-y)=(26+y)×40×2,
解得y=4.
答:男生应向女生支援4人,才能使每小时剪出的筒身与筒底配套.5.2.2 课时4 一元一次方程的实际应用(2)
【基础堂清】
知识点1 列一元一次方程解决“工程问题”
1某工程甲独做需8天完成,乙独做需10天完成.现在由甲先做3天,然后甲和乙合作共同完成.若设完成此项工程共需x天,则下列方程正确的是 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2一项工程,甲单独做15小时完成,乙单独做10小时完成.若甲先单独做9小时后因事离开,余下的任务由乙单独完成,则乙还需要 小时才能完成此工作.
3(中考真题)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4 h;若爸爸单独完成,需2 h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务,小峰和爸爸这次一共打扫了3 h,求这次小峰打扫了多长时间.
知识点2 列一元一次方程解决“路程问题”
4(中考真题)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:“良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之 ”其大意是快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,问快马几天可追上慢马 则快马追上慢马的天数是 ( )
A.5天 B.10天 C.15天 D.20天
5已知某座桥长800米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟,这列火车完全在桥上的时间为40秒,则火车的速度和车长分别是 ( )
A.20米/秒,200米 B.18米/秒,180米
C.16米/秒,160米 D.15米/秒,150米
【能力日清】
6A,B两地之间的公路长108千米,小光骑自行车从A地到B地,小明骑自行车从B地到A地,两人都沿这条公路匀速前进,其中两人的速度都小于27千米/时.若同时出发3小时相遇,则经过 小时两人相距36千米.
【素养提升】
7某学校七年级学生组织步行到郊外春游,701班学生组成前队,速度为每小时4千米,702班同学组成后队,速度为每小时6千米,前队出发1小时后,后队才出发,同时,后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络,骑车的速度是每小时12千米(队伍长度忽略不计).
(1)后队出发多长时间后可以追上前队
(2)后队刚好追上前队时,联络员共骑行了多少千米
(3)联络员从出发到他第一次追上前队的过程中,何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等
参考答案
1.C
2.4
3.设这次小峰打扫了x h,则爸爸打扫了(3-x)h.
由题意得+=1,
解得x=2.
答:这次小峰打扫了2 h.
4.D 5.C
6.2或4
7.(1)设后队追上前队所用时间为t小时,则前队被追上时所走时间为(t+1)小时.
由题意得6t=4(t+1),解得t=2.
答:后队出发2小时后可以追上前队.
(2)由(1)可得联络员骑行的路程为s=12×2=24(千米).
答:联络员共骑行了24 千米.
(3)设联络员出发a小时后与前队和后队的距离相等,
联络员出发a小时后,前队所走的路程为4(a+1)千米,
后队所走的路程为6a千米.
联络员所走的路程为12a千米,
联络员与前队的距离为4(a+1)-12a.
联络员与后队距离为12a-6a,
由联络员与前后队距离相等,
得12a-6a=4(a+1)-12a,
解得a=.
答:联络员骑行小时后离前队的距离与他离后队的距离相等.5.2.2 课时5 一元一次方程的实际应用(3)
【基础堂清】
知识点1 列一元一次方程解决“利率(增长率)”问题
1王先生到银行存了一笔三年期的定期存款,年利率是1.55%.若到期后取出能得到本息(本金+利息)共31 395元.设王先生存入的本金为x元,则下面所列方程正确的是 ( )
A.x+3×1.55%x=31 395
B.x+1.55%x=31 395
C.3×1.55%x=31 395
D.3(x+1.55x)=31 395
2某工厂二月份产值为1 980万元,比一月份增加380万元,求该工厂二月份产值的增长率(列方程求解).
知识点2 列一元一次方程解决“营销问题”
3(中考真题)某新能源车企今年5月交付新车35 060辆,且今年5月交付新车的数量比去年5月交付新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆,由题意,可列方程 ( )
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2(x+1 100)=35 060
D.x-1 100=35 060×1.2
4 根据图中两人的对话,小亮买平板电脑的预算是 ( )
A.3 800元 B.4 800元
C.5 800元 D.6 800元
5一个书包的标价为115元,按8折出售仍可获利15%,该书包的进价为 元.
6一家商店将某种服装每件按进价加价40%作为标价,随后又打出八折优惠大促销,结果每件服装还可获利60元.问这种服装每件的进价是多少元
【能力日清】
7某商场将两件商品清仓销售,售价均为120元,其中一件商品获利20%,另一件商品亏损20%,则该商场销售完这两件商品的盈亏情况为 ( )
A.盈利10元 B.亏损10元
C.不盈不亏 D.亏损12元
8 小亮把3 000元存入银行,存五年,年利率为x%,到期后取回本金和利息共3 270元,根据题意可列方程 .(年存储利息=本金×年利率×年数)
9 每年的“双十一”购物活动,商家都会利用这个契机进行打折满减的促销活动.某商家平时的优惠方式是按所有商品的标价打七折.“双十一”活动期间的优惠方式是购买的所有商品先按标价总和打七五折,然后再享受折后每满200元减30元的优惠.
如标价为300元的商品,折后为225元,再减30元,即实付300×0.75-30=195(元).
(1)该商店标价总和为1 000元的商品,在“双十一”活动期间购买,最后实际付款多少元
(2)小明妈妈在这次活动中打算购买某件商品,打折满减后,应付金额是507元,求该商品的标价.
【素养提升】
10为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野,学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊.若购买400本甲类书刊和300本乙类书刊共需要6 400元.其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表:
类型 甲类书刊 乙类书刊
进价/(元/本) m m-2
售价/(元/本) 20 13
(1)问甲、乙两类书刊的进价各是多少元
(2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本,全部售完后总利润(利润=售价-进价)为5 750元,求小卖部甲、乙两类书刊分别购进了的数量.
(3)第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊,由于两类书刊的进价都比上次优惠了10%,小卖部准备对甲类书刊进行打折出售,让利于学生,乙类书刊价格不变,全部售完后总利润比上次还多赚10元,问甲书刊打了几折
参考答案
1.A
2.设该工厂二月份产值的增长率为x.
由题意,得(1 980-380)x=380,解得x=0.237 5=23.75%.
答:该工厂二月份产值的增长率为23.75%.
3.A 4.C
5.80
6.设这种服装每件的进价是x元,
依题意,得0.8×(1+40%)x-x=60,
解得x=500.
答:这种服装每件的进价是500元.
7.B
8.3 000+3 000×5×x%=3 270
9.(1)打折后:1 000×0.75=750(元).
然后再享受每满200元减30元的优惠:3×30=90(元).
最后实付:750-90=660(元).
故最后实际付款660元.
(2)标价总和打七五折后:
满200元,不到400元,可减30元,不合题意;
满400元,不到600元,可减60元,符合题意;
满600元,不到800元,可减90元,不合题意.
则该商品折后应该可以享受两次“满200元减30元”.
设原标价为x元.
由题意得0.75x-60=507,
解得x=756.
答:该商品原标价为756元.
10.(1)由题意得400m+300(m-2)=6 400,
解得m=10,
∴m-2=10-2=8.
答:甲类书刊的进价是10元/本,乙类书刊的进价是8元/本.
(2)设甲类书刊购进了x本,则乙类书刊购进了(800-x)本.
由题意得(20-10)x+(13-8)(800-x)=5 750,
解得x=350,
∴800-x=800-350=450.
答:甲类书刊购进350本,乙类书刊购进450本.
(3)设甲类书刊打了a折.
800本书的进价为(350×10+450×8)×(1-10%)=6 390,
800本书的售价为350×20×+450×13=700a+5 850,
800本书的总利润为700a+5 850-6 390=5 750+10,
解得a=9.
答:甲类书刊打了九折.5.3 实践与探索
【基础堂清】
知识点1 列一元一次方程探索“形积问题”
1一个长方形周长是32 cm,长与宽的差是1 cm,那么长与宽分别是 ( )
A.3 cm,5 cm B.3.5 cm,4.5 cm
C.7.5 cm,8.5 cm D.8.5 cm,9.5 cm
2如图,小红将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条,且剪下的两个长条的面积相等.问这个正方形的边长应为多少厘米 设正方形的边长为x cm,则可列方程 .
知识点2 列一元一次方程解决“数字问题”
3若11个连续奇数的和是1 991,把这些数按从大到小的顺序排列起来,第六个数是 ( )
A.185 B.183 C.181 D.179
知识点3 列一元一次方程解决“积分问题”
4某篮球俱乐部组织的比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,今年某队在38场比赛中得到70分,那么这个队今年胜的场次是 ( )
A.6场 B.31场 C.32场 D.35场
知识点4 列一元一次方程解决“日历问题”
5如图,这是某月的日历表,在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数(如3,9,10,11,17).照此方法,若圈出的5个数中,最大数与最小数的和为38,则这5个数中的最大数为 ( )
A.24 B.25 C.26 D.27
知识点5 列一元一次方程解决“幻方问题”
6 把1~9这9个数填入3×3方格中,使其任意一行,任意一列及两条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”,它源于我国古代的“洛书”(图1),“洛书”是世界上最早的“幻方”.图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则x的值为 .
知识点6 列一元一次方程解决“盈不足术问题”
7 《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载;今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数鸡价各几何 译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少 设人数为x,则可列方程 ( )
A.9x+11=6x+16 B.9x-11=6x-16
C.9x+11=6x-16 D.9x-11=6x+16
【能力日清】
8如图,在水平桌面上有甲、乙两个内部是圆柱形的容器,内部底面积分别为80 cm2、60 cm2.现将甲容器装满水,乙容器是空的.若将甲容器中的水全部倒入乙中,则乙中的水位高度比原先甲的高度高了8 cm,设甲容器的容积为x cm3,则可列方程 ( )
A.80x=60x+8
B.80x=60x-8
C.-8=
D.=-8
9 某区中学生足球赛共赛8轮(即每队均参赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分,在这次足球赛中,育才中学远大足球队只输了一场球,共得17分,则该足球队胜了 ( )
A.6场 B.5场 C.4场 D.3场
10有一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大1,如果把这两位数的个位数字与十位数字对调,那么所得的新数与原数的和是121,求这个原两位数.若设原两位数十位上的数字为x,则可列方程 .
11 对联是中华传统文化的瑰宝,对联装裱后,如图所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边.一般情况下,天头长与地头长的比是6∶4,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联,对联的长为100 cm,宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍,求边的宽和天头长.
12某班组织交通安全知识竞赛,共设有20道选择题,各题分值相同,每题必答.下表记录了5位参赛者的得分情况,根据表中信息回答下列问题:
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
(1)这次竞赛中答对一题得 分,答错一题扣 分.
(2)参赛者F得分为82分,问参赛者F答错了几道题
(3)参赛者G说他的得分为75分,你认为可能吗 请判断并说明理由.
【素养提升】
13 某中学为了给学生营造良好舒适的休息环境,决定改造校园内的一个小花园,下图是该花园的平面示意图,它是由6个正方形拼成的长方形,每个小正方形用来种植六种不同的植物.已知中间最小的正方形A的边长是2米.请根据图形特点求出该花园的总面积.
【素养提升】
1.C
2.4x=5(x-4)
3.C 4.C 5.C
6.1
7.D 8.D 9.B
10.10x+(x+1)+10(x+1)+x=121
11.设天头长为6x cm,地头长为4x cm,则左、右边的宽为x cm.
由题意得100+(6x+4x)=4×(27+x+x),
解得x=4,
∴天头长6x=6×4=24(cm),
答:边的宽为4 cm,天头长为24 cm.
12.(1)5;1.
提示:由题意得答对一题的得分是100÷20=5(分),
答错一题的扣分为19×5-94=1(分).
故答案为5;1.
(2)设参赛者F答对了x道题,则答错了(20-x)道题.
由题意得5x-(20-x)=82,
x=17,
所以20-17=3.
答:参赛者F答错了3道题.
(3)不可能.
理由:假设他可能得75分,设答对了y道题,则答错了(20-y)道题.
由题意得5y-(20-y)=75,
y=.
因为y为整数,
所以参赛者G不可能得75分.
13.设图中最大的正方形B的边长是x米.
∵最小的正方形的边长是2米,
∴正方形F的边长为(x-2)米,正方形E的边长为(x-4)米,正方形C的边长为米.
∵MQ=PN,
∴x-2+x-4=x+,
解得x=14,
则QM=12+10=22(米),PQ=12+14=26(米).
故该花园的总面积为22×26=572(平方米).
答:该花园的总面积是572平方米.第5章 一元一次方程 复习练
【基础堂清】
1有下列等式变形:①如果x=y,那么ax=ay;②如果x=y,那么=;③如果ax=ay,那么x=y;④如果=,那么x=y.其中正确的是 ( )
A.①④ B.③④ C.①② D.②③
2已知关于x的方程(2k-1)x2-(2k+1)x+3=0是一元一次方程,则k的值为 ( )
A.0 B.1 C. D.2
3有一位工人师傅将底面直径是10 cm,高为80 cm的“瘦长”形圆柱,锻造成底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱,则“矮胖”形圆柱的高是 ( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
4小明根据方程5x+2=6x-8编写了一道应用题,请你把空缺的部分补充完整.
某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师,如果每人做5个,那么就比计划少2个; ,请问手工小组有几人 (设手工小组有x人)
5已知方程x-2=2x+1的解与方程k(x-2)=的解相同,则k的值是 .
6解方程:-1=2+.
【能力日清】
7 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“清明游园,共坐八船,大船满六,小船满四,三十八学子,满船坐观.请问客家,大小几船 ”其大意如下:清明时节出去游园,所有人共坐了8只船,大船每只坐6人,小船每只坐4人,38人刚好坐满,问大小船各有几只 设有x只小船,则可列方程 .
8我们知道,无限循环小数都可以转化为分数.例如:将0.转化为分数时,可设0.=x,则x=0.3+x,解得x=,即0.=.仿此方法,将0.7化成分数是 .
9小红在解关于x的方程+1=时,方程左边的“1”忘记乘以10,因此求得方程的解为x=4,试求a的值及原方程的正确解.
10小刚和小强从环形公路的A地出发,小刚骑自行车,小强步行,沿同一条路线反向匀速而行.出发后2 h两人相遇.相遇时小刚比小强多行进24 km,相遇后0.5 h小刚回到A地.
(1)两人的行进速度分别是多少
(2)相遇后经过多少时间小强到达A地
11某学校为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生,购买了钢笔30支,毛笔45支,共用了2 055元,其中每支毛笔比钢笔贵4元.
(1)求钢笔和毛笔的单价.
(2)该学校还需购买上面的两种笔共105支(每种笔的单价不变).陈老师做完预算后,对财务处王老师说:“我这次买这两种笔需支领2 859元.”王老师算了一下,说:“如果你用这些钱只买这两种笔,那么账肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了.
【素养提升】
12有一堆糖果平均分给若干个小朋友,规定按下面的规则取,第一个小朋友取10颗,再取余下的;接着第二个小朋友取20颗,再取余下的;如此继续下去,最后糖果被全部取光.问原来有多少颗糖果 小朋友有多少人
13(1)依据下列解方程=的过程,请在前面的括号内填写变形步骤,在后面的括号内填写变形依据.
解:原方程可变形为=( ),
去分母,得3(3x+5)=2(2x-1)( ),
去括号,得9x+15=4x-2( ),
( ),得9x-4x=-15-2( ),
( ),得5x=-17,
将未知数的系数化为1,得x=-( ).
(2)根据(1)中解方程的思路解方程:-=3.
参考答案
1.A 2.C 3.B
4.如果每人做6个,那么就比计划多8个
5.
6.去分母,得2(x+1)-4=8+2-x,
去括号,得2x+2-4=8+2-x,
移项,得2x+x=8+2-2+4,
合并同类项,得3x=12,
将未知数的系数化为1,得x=4.
7.6(8-x)+4x=38
8.
9.∵去分母时,只有方程左边的1没有乘以10,
∴2(2x-1)+1=5(x+a),
把x=4代入上式,解得a=-1.
∴原方程为+1=,
去分母,得2(2x-1)+10=5(x-1),
去括号,得4x-2+10=5x-5,
移项、合并同类项,得-x=-13,
将未知数的系数化为1,得x=13,
故a=-1,x=13.
10.(1)设小刚的速度为x km/h,
则相遇时小刚走了2x km,小强走了(2x-24)km.
由题意得2x-24=0.5x,
解得x=16,
则小强的速度为(2×16-24)÷2=4(km/h).
答:两人的行进速度分别是16 km/h,4 km/h.
(2)2×16÷4=8(h).
答:相遇后经过8 h小强到达A地.
11.(1)设钢笔的单价为x元,则毛笔的单价为(x+4)元.
根据题意得30x+45(x+4)=2 055,
解得x=25,
所以x+4=25+4=29.
答:钢笔的单价为25元,毛笔的单价为29元.
(2)设购买y支钢笔,则购买(105-y)支毛笔.
根据题意得25y+29(105-y)=2 859,
解得y=46.5.
因为y=46.5不是整数,所以陈老师的账算错了.
12.设共有x颗糖果,
则第一个小朋友取走的糖果为10+(x-10)颗,
第二个小朋友取走的糖果为20+x-10-(x-10)-20×=20+(7x-230)颗.
因为糖果是平均分配的,因此可得10+(x-10)=20+(7x-230),
解得x=490,
每个小朋友分得10+60=70颗糖果,
有小朋友490÷70=7个.
答:有490颗糖果,7个小朋友.
13.(1)原方程可变形为=(分数的基本性质),
去分母,得3(3x+5)=2(2x-1)(等式的基本性质),
去括号,得9x+15=4x-2(乘法分配律),
(移项),得9x-4x=-15-2(等式的基本性质),
(合并同类项),得5x=-17,
将未知数的系数化为1,得x=-(等式的基本性质).
(2)原方程可变形为-=3,
去分母,得5(10x-20)-2(10x+10)=30,
去括号,得50x-100-20x-20=30,
整理得5x-10-2x-2=3,
移项,得5x-2x=3+10+2,
合并同类项,得3x=15,
将未知数为系数化为1,得x=5.
