第8章 整式乘法与因式分解
8.1 幂的运算
课时1 同底数幂的乘法
【基础堂清】
知识点1 同底数幂的乘法运算
1 计算:x3·x2等于 ( )
A.2 B.x5 C.2x5 D.2x6
2 若x+y=2,则3x·3y的值为 .
3计算:x4·(-x)5+(-x)4·x5.
知识点2 同底数幂的乘法运算的逆用
4若3×32m×33m=321,则m的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5已知2m=4,2n=16,则m+n= .
6已知am=8,an=32,求am+n的值.
【能力日清】
7 = ( )
A.nam B.am+n C.amn D.mna
8 若x,y是正整数,且2x·2y=32,求满足条件的x,y的值.
9规定运算:a*b=10a×10b.例如:2*1=102×101=103.
计算:(1)5*4.
(2)(n-2)*(5+n).
10计算:
(1)-(-p)3·(-p)3·(-p)2.
(2)(x+y)3·(x+y)·(x+y)2.
(3)(m-n)2·(n-m)2·(n-m)3.
(4)x3·xn-1-xn-2·x4+xn+2.
【素养提升】
11 阅读材料:求1+2+22+23+24+…+2100的值.
解:设S=1+2+22+23+24+…+299+2100,将等式两边同时乘2得2S=2+22+23+24+25+…+2100+2101,
将下式减去上式得2S-S=2101-1,
即S=2101-1,
即1+2+22+23+24+…+2100=2101-1.
请你仿照此法计算:
(1)计算1+2+22+23+24+…+210的值为 .
(2)求1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数)的值.
参考答案
基础堂清
1.B 2.9
3.解:x4·(-x)5+(-x)4·x5=-x9+x9=0.
4.C 5.6
6.解:因为am=8,an=32,所以am+n=am·an=8×32=256.
能力日清
7.C
8.解:因为32=25,所以x+y=5.
又因为x,y是正整数,
所以
9.解:(1)原式=105×104=109.
(2)原式=10n-2×105+n=102n+3.
10.解:(1)原式=-p3+3+2=-p8.
(2)原式=(x+y)3+1+2=(x+y)6.
(3)原式=(n-m)2+2+3=(n-m)7.
(4)原式=xn+2-xn-2+4+xn+2=xn+2.
素养提升
11.解:(1)211-1. 提示:设S=1+2+22+23+24+…+210,
将等式两边同时乘2得2S=2+22+23+24+…+210+211,
将下式减去上式得2S-S=211-1,即S=211-1,
则1+2+22+23+24+…+210=211-1.
(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n,①
两边同时乘3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1,②
②-①得3S-S=3n+1-1,
即S=(3n+1-1),
则1+3+32+33+34+…+3n=(3n+1-1).课时2 幂的乘方
【基础堂清】
知识点1 幂的乘方法则
1计算-(m2)3的结果是 ( )
A.-m5 B.m5
C.-m6 D.m6
2计算:(32)4= .
3计算:(a3)2·(a4)3+(a2)5.
知识点2 幂的乘方法则的逆用
4若a3=b,b4=m,则m为 ( )
A.a7 B.a12 C.a81 D.a64
5若(a2)3·a10=am,则m= .
6计算:(1)(103)3.
(2)(a3)4·(a2)6.
【能力日清】
7 已知a=8131,b=2741,c=961,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.a
c>a
8已知正方体的棱长是102 cm.
(1)求正方体的表面积.
(2)求正方体的体积.
9已知(xn+1)3=x15,求n的值.
10 (1)已知m+4n-3=0,求2m·16n的值.
(2)已知n为正整数,且x2n=4,求(x2n)3-2(x2)2n的值.
【素养提升】
11 阅读下列材料:
若a3=2,b5=3,比较a,b的大小.
解:因为a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3=33=27,32>27,所以a15>b15,所以a>b.
依照上述方法解答下列问题:
已知x7=2,y9=3,试比较x与y的大小.
参考答案
基础堂清
1.C 2.38
3.解:原式=a6·a12+a10=a18+a10.
4.B 5.16
6.解:(1)(103)3=103×3=109.
(2)(a3)4·(a2)6=a3×4·a2×6=a12·a12=a24.
能力日清
7.A
8.解:(1)由题意可得,正方体的表面积=6×(102)2=6×104(cm2).
(2)由题意可得,正方体的体积=(102)3=106(cm3).
9.解:由题可得3(n+1)=15,
解得n=4.
10.解:(1)因为m+4n-3=0,
所以m+4n=3.
原式=2m·24n
=2m+4n
=23
=8.
(2)原式=(x2n)3-2(x2n)2
=43-2×42
=32.
素养提升
11.解:因为x63=(x7)9=29=512,y63=(y9)7=37=2 187,2 187>512,
所以x63所以x【基础堂清】
知识点1 积的乘方法则
1计算(ab)3的结果是 ( )
A.ab3 B.a3b C.a3b3 D.3ab
2若k为正整数,则()k= ( )
A.k2k B.k2k+1 C.2kk D.k2+k
3如果(ambn)3=a9b12,那么m,n的值等于 ( )
A.m=9,n=4 B.m=3,n=4
C.m=4,n=3 D.m=9,n=6
4计算:(2x2)3-x2·x4.
知识点2 积的乘方法则的逆用
5计算0.125100×8101= .
6若xn=3,yn=8,则(xy)n= .
7(1)已知2x+5y-3=0,求4x·32y的值.
(2)已知n为正整数,且x2n=2,求(3x3n)2-4(x2)2n的值.
【能力日清】
8下列运算正确的是 ( )
A.x2+x2=x4
B.x2·x3=x6
C.(-2x3)2=-4x6
D.(x3)2=x6
9计算:(-x)2·x3·(-2y)3+(-2xy)2·(-x)3y.
【素养提升】
10在数学中,我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题,例如:“若am=4,=20,求an的值.”这道题我们可以这样思考:逆向运用同底数幂的乘法公式,即=am·an,所以20=4·an,所以an=5.
(1)若am=2,=24,请你也利用逆向思考的方法求出an的值.
(2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题,请你参考小贤的方法解答下面的问题:
小贤的作业
计算:89×(-0.125)9.
解:89×(-0.125)9=(-8×0.125)9=(-1)9=-1.
①小贤的求解方法逆用了哪一条幂的运算性质,直接写出该逆向运用的公式: .
②计算:52 025×(-0.2)2 024.
参考答案
基础堂清
1.C 2.A 3.B
4.解:(2x2)3-x2·x4=8x6-x6=7x6.
5.8 6.24
7.解:(1)因为2x+5y-3=0,
所以2x+5y=3,
所以4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.
(2)原式=9x6n-4x4n=9(x2n)3-4(x2n)2,
当x2n=2时,原式=9×23-4×22=56.
能力日清
8.D
9.解:原式=x2·x3·(-8y3)+4x2y2·(-x3)y=-8x5y3-4x5y3=-12x5y3.
素养提升
10.解:(1)因为am=2,=24,
所以·an=24,
所以(am)2·an=24,
所以22·an=24,
所以4an=24,
所以an=6.
(2)①逆用积的乘方,其公式为an·bn=(ab)n,
故答案为an·bn=(ab)n.
②52 025×(-0.2)2 024
=5×52 024×(-0.2)2 024
=5×(-0.2×5)2 024
=5×(-1)2 024
=5×1
=5.课时4 同底数幂的除法
【基础堂清】
知识点1 同底数幂的除法法则
1计算a8÷a2的结果是 .
2计算:x7÷x4= ;x5÷(-x)2= .
3计算:y4+(y2)4÷y4-(-y2)2.
知识点2 同底数幂的除法法则的逆用
4a6可以表示为 ( )
A.a3·a2 B.(a2)3
C.a12÷a2 D.a7-a
5计算:a4÷a= ;已知am=3,an=2,则a2m-n的值为 .
6若xm=2,xn=3,求x3m-n的值.
【能力日清】
7人们以分贝为单位来表示声音的强弱.通常说话的声音是50分贝,它表示声音的强度是105;摩托车发出的声音是110分贝,它表示声音的强度是1011.飞机发动机的声音是130分贝,则飞机发动机的声音强度是说话声音强度的 倍.
8计算:
(1)-a8÷(-a)5;
(2)x10÷(x2)3;
(3)(x-2y)4÷(2y-x)2÷(x-2y);
(4)(am)n×(-a3m)2n÷(amn)5;
(5)a19÷(a12÷a3).
9已知:9a=6,3b=2求33b-2a的值.
【素养提升】
10 已知3a=4,3b=10,3c=25.
(1)求32a的值.
(2)求3c+b-a的值.
(3)试说明:2b=a+c.
参考答案
基础堂清
1.a6 2.x3 x3
3.解:y4+(y2)4÷y4-(-y2)2
=y4+y8÷y4-y4
=y4+y4-y4
=y4.
4.B 5.a3 4.5
6.解:x3m-n=x3m÷xn
=(xm)3÷xn.
因为xm=2,xn=3,
所以原式=23÷3
=8÷3
=.
能力日清
7.108
8.解:(1)原式=a8-5=a3.
(2)原式=x10÷x6=x10-6=x4.
(3)原式=(x-2y)4÷(x-2y)2÷(x-2y)=(x-2y)1=x-2y.
(4)原式=amn+6mn-5mn=a2mn.
(5)原式=a19÷a9=a10.
9.解:9a=(32)a=32a=6,(3b)3=33b=23=8,
所以33b-2a=33b÷32a=8÷6=.
素养提升
10.解:(1)32a=(3a)2=42=16.
(2)3c+b-a=3c·3b÷3a=25×10÷4=62.5.
(3)因为32b=(3b)2=102=100,3a+c=3a×3c=4×25=100,
所以32b=3a+c,
所以2b=a+c.课时5 零指数幂和负整数指数幂
【基础堂清】
知识点1 零次幂
1如果(a-1)0=1成立,那么a的取值范围是 ( )
A.a≠1 B.a=0
C.a=2 D.a=0或a=2
2计算:(π+2)0= .
3计算:(-2)2+2-(π-3)0.
知识点2 负整数指数幂
4 计算(-π)0÷-2的结果是 ( )
A. B.0 C.9 D.
5把下列各数写成负整数指数幂的形式:
(1)= .
(2)-0.001= .
6计算:-32+(-0.25)100×4100+-×-2.
【能力日清】
7下列运算正确的是 ( )
A.(-3)-2=9 B.3-2=-
C.(-2)0=0 D.2-1=
8计算:(1)(2×105)÷(8×10-5);
(2)-23+×(π-3)0---2.
9 已知a=2-3 333,b=3-2 222,c=5-1 111,请用“<”把它们按从小到大的顺序连接起来,并说明理由.
【素养提升】
10 (1)你发现了吗 2=×,-2==×=×.由上述计算,我们发现2 -2.
(2)仿照(1),请你通过计算,判断3与-3之间的关系.
(3)我们可以发现:-m m(ab≠0).
(4)计算:-4×4.
参考答案
基础堂清
1.A 2.1
3.解:原式=4+-1=3.
4.D
5.(1)2-3 (2)(-10)-3
6.解:原式=-9+1+×36
=-9+1+6
=-2.
能力日清
7.D
8.解:(1)原式=×1010.
(2)原式=-8+×1-9
=-.
9.解:a=2-3 333=(2-3)1 111=1 111,b=3-2 222=(3-2)1 111=1 111,c=5-1 111=(5-1)1 111=1 111.
因为>>,
所以1 111<1 111<1 111,
所以b素养提升
10.解:(1)=.
(2)3=××,-3==××=××,所以3=-3.
(3)=.
(4)原式=×-4×4
=-4×-4×4
=×-4+4
=16×1=16.课时6 用科学记数法表示绝对值小于1的数
【基础堂清】
1数据0.000 007 7用科学记数法表示为 ( )
A.7.7×10-5 B.77×10-6
C.77×10-5 D.7.7×10-6
2数据0.000 06用科学记数法表示为6×10n,则n的值是 ( )
A.-4 B.-5
C.-6 D.5
3一个数用科学记数法表示为2.03×10-2,则这个数是 ( )
A.-203 B.203
C.0.020 3 D.0.002 03
4勿忘草是多年生草本植物,它拥有世界上最小的花粉,勿忘草的花粉直径为0.000 004米,用科学记数法表示该植物的直径为 ( )
A.4×105米 B.4×106米
C.4×10-5米 D.4×10-6米
5牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中系统地介绍了万有引力定律,即宇宙间任何两个质点都存在相互吸引力,其大小与两质点的质量m1,m2的乘积成正比,与它们之间距离r的平方成反比,用数学公式表示为F=G·,其中G=0.000 000 000 066 7 N·m2/kg,为万有引力常数,将数据“0.000 000 000 066 7”用科学记数法可表示为 .
6某种原子中电子与原子核之间的距离约为4.23×10-7毫米,则4.23×10-7用小数可表示为 .
【能力日清】
7在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10-5 cm,2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是 ( )
A.10-2 cm B.10-1 cm
C.10-3 cm D.10-4 cm
8用科学记数法表示下列数:
(1)0.000 01;
(2)0.000 02;
(3)0.000 000 567;
(4)0.000 000 301.
【素养提升】
9一粒米微不足道,平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭,甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉.针对这种浪费粮食的现象,老师组织同学们进行了实际测算,称得500粒大米重约10克.现在请你来计算:
(1)一粒大米重约 千克.(结果用科学记数法表示)
(2)按我国现有人口14亿,每年365天,每人每天三餐计算,若每人每餐节约一粒大米,一年大约能节约大米多少千克 若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米,一年节约下来的大米可供多少名贫困地区儿童生活一年 (结果用科学记数法表示)
参考答案
基础堂清
1.D 2.B 3.C 4.D
5.6.67×10-11 6.0.000 000 423
能力日清
7.B
8.解:(1)0.000 01=1×10-5.
(2)0.000 02=2×10-5.
(3)0.000 000 567=5.67×10-7.
(4)0.000 000 301=3.01×10-7.
素养提升
9.解:(1)1克=1×10-3(千克).
10克=1×10-2(千克),1×10-2÷500=2×10-5(千克).
一粒大米重约2×10-5千克,
故答案为2×10-5.
(2)2×10-5×1×3×365×1 400 000 000=3.066×107(千克).
3.066×107÷(0.4×365)=2.1×105(名).
答:一年大约能节约大米3.066×107千克,可供2.1×105名贫困地区儿童生活一年.课时7 幂的运算习题课
【基础堂清】
1下列计算错误的是 ( )
A.-2=4
B.32×3-1=3
C.20÷2-2=
D.(-3×102)3=-2.7×107
2下列运算正确的是 ( )
A.m6÷m2=m3
B.x3·x2=x6
C.(3m2)3=27m6
D.m·2m2=m2
3计算(-2x2)3的结果是 ( )
A.-6x5 B.6x5 C.8x6 D.-8x6
4已知5x=m,5y=n,则52x+3y等于 ( )
A.2m+3n B.m2+n3
C.6mn D.m2n3
5若x=2n+1+2n,y=2n-1+2n-2,其中n为整数,则x与y的数量关系为 .
6已知2×4m×8m=216,则m= .
【能力日清】
7已知9m=,n=(-3)-2,下列结论正确的是 ( )
A.-2n+4m=2 B.-n-3=-2n
C.n+2m=3 D.2m=3n
8 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用,已知每个光量子的波长约为688纳米,1纳米=0.000 000 001米,则每个光量子的波长可用科学记数法表示为 ( )
A.6.88×10-11米 B.6.88×10-7米
C.0.688×10-3米 D.0.688×10-6米
9计算:2-2×43+-0-(-2)4.
10设m=2100,n=375,为了比较m与n的大小,小明想到了如下方法:m=2100=(24)25=1625,即25个16相乘的积;n=375=(33)25=2725,即25个27相乘的积,显然m【素养提升】
11 小明学习了“第8章 幂的运算”后做这样一道题:若(a-1)a+2=1,求a的值.他解出来的结果为a=2,小明的解答过程如下:
解:因为1的任何次幂为1,
所以a-1=1,解得a=2,
故(a-1)a+2=(2-1)2+2=1,
所以a=2.
老师说小明考虑问题不全面,聪明的你能帮助小明解决这个问题吗
请你写出正确的解答过程.
参考答案
基础堂清
1.C 2.C 3.D 4.D
5.x=4y 6.3
能力日清
7.D 8.B
9.解:原式=×64+1-16=16+1-16=1.
10.解:因为x=4-30=(4-3)10=10,
y=3-40=(3-4)10=10,
所以x>y.
素养提升
11.解:当a+2=0时,则a=-2,此时原式=(-2-1)-2+2=1;当a-1=1时,则a=2,此时原式=(2-1)2+2=1;
当a-1=-1时,则a=0,此时原式=(0-1)0+2=1.
综上所述,a的值为-2或2或0.