8.3 完全平方公式与平方差公式
课时1 完全平方公式
【基础堂清】
知识点1 完全平方公式的理解
1下列计算结果正确是 ( )
A.(a-b)2=a2+2ab-b2
B.(a-b)2=a2-b2
C.(-a-b)2=a2+2ab+b2
D.(a-b)2=a2-2ab-b2
2已知a,b满足a2+b2=5,ab=2,则(a+b)2等于 ( )
A.5 B.7 C.9 D.11
3若4a2+ka+1是完全平方式,则k= .
4若x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,则m= .
知识点2 完全平方公式的应用
5若a-b=1,a2+b2=13,则ab等于 ( )
A.6 B.7 C.-6 D.-7
6 图1是一个长为2a、宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿它的所有对称轴剪开,把它分成四块,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间阴影部分的面积是 ( )
A.a2-b2 B.ab
C.(a+b)2 D.(a-b)2
7用简便方法计算:992.
【能力日清】
8计算:(1)(a-b)2+b(a-b);
(2)(2x+1)2-(x+2)2.
9已知a+b=1,ab=-6,求下列各式的值.
(1)a2+b2.
(2)a2-ab+b2.
【素养提升】
10 图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2所示).
图1
图2
(1)图2中阴影部分的面积为 .
(2)观察图2,请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系: .
(3)根据(2)中的结论,若x+y=5,xy=4,求x-y的值.
参考答案
基础堂清
1.C 2.C
3.±4 4.-1或7
5.A 6.D
7.解:992=(100-1)2
=1002-2×100+12
=10 000-200+1
=9 801.
能力日清
8.解:(1)原式=a2-2ab+b2+ab-b2
=a2-ab.
(2)原式=4x2+4x+1-x2-4x-4
=3x2-3.
9.解:因为a+b=1,ab=-6,
所以(1)a2+b2=(a+b)2-2ab
=1+12=13.
(2)a2-ab+b2=a2+b2-ab
=13-(-6)=19.
素养提升
10.解:(1)阴影部分是边长为(b-a)的正方形,所以阴影部分的面积为(b-a)2.
(2)题图2中,用边长为(a+b)的正方形的面积减去边长为(b-a)的正方形等于4个长、宽分别为a,b的矩形面积,
所以(a+b)2-(a-b)2=4ab.
(3)由(2)得(x+y)2-(x-y)2=4xy,
把x+y=5,xy=4代入得(x-y)2=9,
则x-y=±3.课时2 平方差公式
【基础堂清】
知识点1 平方差公式几何背景
1如图,在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,把余下的部分沿虚线剪开,拼成一个矩形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证的等式是 ( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.a2+ab=a(a+b)
2根据图1到图2的变化过程可以写出一个整式的乘法公式,这个公式是 .
3如图,从边长为(a+5)的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形,剩余部分沿虚线剪开再拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是 .
知识点2 利用平方差公式计算
4下列各式中不能用平方差公式计算的是 ( )
A.(x-y)(-x+y)
B.(-x+y)(-x-y)
C.(-x-y)(x-y)
D.(x+y)(-x+y)
5运用乘法公式计算(a+3)(a-3)的结果是 ( )
A.a2-6a+9 B.a2-3a+9
C.a2-9 D.a2-6a-9
6已知a+b=2,a-b=-3,则a2-b2的值为 ( )
A.6 B.-6
C.- D.-5
【能力日清】
7(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是 ( )
A.x4+16 B.-x4-16
C.x4-16 D.16-x4
8若(x+y+1)(x+y-1)=8,则x+y的值为 ( )
A.3 B.-3 C.±3 D.±5
9计算:
(1)(2x2+3y)(2x2-3y);
(2)(2x-y)(-2x-y);
(3)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x-y);
(4)(a-3)(a+3)(a2+9).
10先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.
11 某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)
=a2+2ab-a2-b2(第二步)
=2ab-b2.(第三步)
(1)该同学的解答过程从第 步开始出错,错误的原因是 .
(2)写出此题正确的解答过程.
【素养提升】
12 从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)上述操作能验证的等式是 .
(2)运用你从(1)中写出的等式,完成下列各题:
①已知a-b=3,a2-b2=21,求a+b的值;
②计算:1-×1-×1-×…×1-×1-×1-.
参考答案
基础堂清
1.A
2.(a+b)(a-b)=a2-b2 3.a+10
4.A 5.C 6.B
能力日清
7.C 8.C
9.解:(1)原式=4x4-9y2.
(2)原式=(-y)2-(-2x)2=y2-4x2.
(3)原式=x2-y2+4x2-y2=5x2-2y2.
(4)原式=(a2-9)(a2+9)=a4-81.
10.解:原式=4x2-y2-(4y2-x2)
=4x2-y2-4y2+x2
=5x2-5y2.
当x=1,y=2时,
原式=5×12-5×22=5-20=-15.
11.解:(1)二;去括号时没有变号.
(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)
=a2+2ab-a2+b2
=2ab+b2.
素养提升
12.解:(1)a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)①因为a-b=3,a2-b2=21,a2-b2=(a+b)(a-b),
所以21=(a+b)×3,
所以a+b=7.
②1-×1-×1-×…×1-×1-×1-
=1-×1+×1-×1+×1-×1+×…×1-×1+×1-×1+×1-×1+
=××××××…××××××
=×
=.课时3 乘法公式习题课
【基础堂清】
1下列各式能用完全平方公式计算的是 ( )
A.(3a+2b)(3a-2b)
B.(3a+2b)(2b-3a)
C.(3a-2b)(2b-3a)
D.(3a-2b)(-3a-2b)
2下列各式中,能用平方差公式计算的是 ( )
①(7ab-3b)(7ab+3b);②73×94;③(-8+a)(a-8);④(-15-x)(x-15).
A.①③ B.②④ C.③④ D.①④
3若|x+y-5|+(xy-3)2=0,则x2+y2的值为 ( )
A.19 B.31 C.27 D.23
4化简:(x+y)2+(x+y)(x-y)= .
5若m=n-1,则m2-2mn+n2的值是 .
【能力日清】
6解方程:x+2-(x+1)(x-1)=1.
7先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=.
【素养提升】
8工厂接到订单,需要边长为(a+3)和3的两种正方形卡纸.
(1)仓库只有边长为(a+3)的正方形卡纸,现决定将部分边长为(a+3)的正方形卡纸,按图甲所示裁剪成边长为3的正方形.
①如图乙,求裁剪正方形后剩余部分的面积(用含a的代数式来表示);
②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的边长是多少 (用含a的代数式来表示)
(2)若将裁得的正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部,按如图1、图2所示两种方式放置(图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠),盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2,测得盒子底部长方形长比宽多3,则S2-S1的值为 .
参考答案
基础堂清
1.C 2.D 3.A
4.2x2+2xy 5.1
能力日清
6.解:由原方程,得x2+x+-x2+1=1,移项、合并同类项,得x=-.
7.解:原式=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2
=4ab.
当a=-2,b=时,原式=4ab=-4.
素养提升
8.解:(1)①裁剪正方形后剩余部分的面积=(a+3)2-32=(a+3-3)(a+3+3)=a(a+6)=a2+6a.
②拼成的长方形的宽为a+3-3=a、长为a+6,则拼成的长方形的边长分别为a和a+6.
(2)9 提示:设AB=x,则BC=x+3,
所以图1中阴影部分的面积S1=x(x+3)-(a+3)2-32+3(a+6-x-3),
图2中阴影部分的面积S2=x(x+3)-(a+3)2-32+3(a+6-x),
所以S2-S1=3(a+6-x)-3(a+6-x-3)=3×3=9.
