苏教版高一下册数学必修第二册11.3 余弦定理、正弦定理的应用 同步练习(含详解)

苏教版高一下册数学必修第二册-11.3 余弦定理、正弦定理的应用 同步练习
[A　基础达标]
1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　)
A．500米　　 B．600米
C．700米 D．800米
2．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80 m到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(　　)
A．110 m B．112 m
C．220 m D．224 m
3．有一坡面长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长(　　)
A．5 m B．10 m
C．10 m D．10 m
4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是(　　)
A．5 n mile/h B．5 n mile/h
C．10 n mile/h D．10 n mile/h
5．(2021·无锡检测)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(　　)
A．5 000(＋1)m B．5 000(－1)m
C．5 000(3－)m D．5 000(5－)m
6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝________．
7．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到公路的距离是________km.
8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________ m．
9.如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3.
(1)求△ADC的面积；
(2)求边AB的长．
10．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，在此处测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度．
[B　能力提升]
11.如图，A，B两船相距10 n mile，B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行驶，A船以B船速度的倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船，A船行驶的角度为(　　)
A．南偏西30°
B．南偏西15°
C．南偏东30°
D．南偏东15°
12.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为(　　)
A．80 B．80
C．160 D．80
13．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．
[C　拓展探究]
15．如图，在海岛A上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选C．由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米．故选C．
2．解析：选A．如图，设CD为金字塔，AB＝80 m．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109.从选项来看110最接近，故选A．
3．解析：选C．如图，∠BDA＝75°，∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，BD＝10 m．由正弦定理，得＝，所以CD＝＝＝10(m).
4．解析：选D．如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10 n mile，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5 n mile，所以这艘船的速度是10 n mile/h.故选D．
5．解析：选C．如图，过点C作CD⊥AB于点D.
由题意知∠A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°，AB＝900×80×＝20(km).
所以在△ABC中，由正弦定理，得BC＝10 km.
因为CD⊥AD，所以CD＝BC sin ∠CBD＝BC×sin 75°＝10sin 75°＝5＋5(km).
山顶的海拔为[20－(5＋5)]km＝5 000(3－)m.故选C．
6．
解析：在△ABC中，由余弦定理得
cos ∠ACB＝＝－.
因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.
答案：
7．解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.由正弦定理得＝，BC＝＝(km).设C到直线AB的距离为d，则d＝BC sin 75°＝×＝(km).
答案：
8.
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.
设AB＝h，则BC＝h，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
所以BD＝h.
在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m，
由余弦定理可得
40 000＝h2＋3h2－2h·h·，
解得h＝200(负值舍去)，
所以塔高AB＝200 m.
答案：200
9.解：(1)在△ADC中，由余弦定理得
cos ∠ADC＝＝＝－.
因为∠ADC为三角形的内角，所以∠ADC＝120°，所以sin ∠ADC＝.
所以S△ADC＝AD·DC·sin ∠ADC＝×5×3×＝.
(2)在△ABD中，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，
所以AB＝×＝5.
10．解：如图，设CD＝x m，
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
所以AC＝CD＝x m.
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CB＝＝x(m).
在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，
由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos ∠ACB，
所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·.
解得x＝38(负值舍去).所以气球的高度为38 m．
[B　能力提升]
11.解析：选B．设B船的速度为v，A船的速度为v，经过t时，A船在C点追上B船，则BC＝tv，AC＝tv，∠ABC＝135°，如图所示：
在△ABC中，由正弦定理得，＝，所以sin ∠BAC＝＝tv·×＝.因为0°12.解析：选D．在△ADC中， ∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝135°＋15°＝150°，
所以∠DAC＝180°－∠ACD－∠ADC＝15°，所以AD＝DC＝80，
在△BDC中，∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝120°＋15°＝135°，
所以∠DBC＝180°－∠BCD－∠BDC＝30°.
所以＝，所以BD＝＝80.
在△BDA中， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos 135°
＝802＋(80)2－2×80×80×(－)＝802×5，所以AB＝80，故选D．
13．解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝3.
因此AD＝.
答案：
14．解析：设△ABC 的对应边边长分别为a＝13里，b＝14里，c＝15里，cos C＝ ＝，
所以sin C＝，所以S＝×13×14××250 000＝21×106平方米＝21平方千米．
答案：21
[C　拓展探究]
15．解：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1 km，
所以AB＝AP tan 60°＝(km).
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，
所以AC＝AP tan 30°＝(km).
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以BC＝＝ ＝(km).
则船的航行速度为÷＝2(km/h).
(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，
sin ∠DCA＝sin (180°－∠ACB)＝sin ∠ACB＝＝＝，
sin ∠CDA＝sin (∠ACB－30°)
＝sin ∠ACB·cos 30°－cos ∠ACB·sin 30°
＝×－　＝.
由正弦定理得＝，
所以AD＝
＝＝(km).
故此时船距岛A有 km.