苏教版高一下册数学必修第二册12.3 复数的几何意义 同步练习(含详解)

苏教版高一下册数学必修第二册-12.3 复数的几何意义同步练习
[A　基础达标]
1．已知复数z＝，则在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1＝2－i，则复数＝(　　)
A．－1 B．1
C．－＋i D．－i
3．已知复数z＝m－1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
4．设复数z满足＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
5．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1＋的虚部为(　　)
A．1 B．3
C．－1 D．2
6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________．
7．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是－2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为________．
8．复数z1，z2满足＝3，＝2，＝，则＝________．
9．复数z＝(1－i)2－3a＋2＋i(a∈R).
(1)若z为纯虚数，求实数a的值，及z在复平面内对应的点的坐标；
(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围．
10．设复数z的共轭复数为，已知＝4＋3i.
(1)求复数z及；
(2)求满足＝的复数z1对应的点的轨迹方程．
[B　能力提升]
11．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　)
A．|z|＝
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为－1＋2i
D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
12．设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则复数＋z2＋在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
13．设复数z满足＝，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y－3＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．2x－4y＋3＝0
[C　拓展探究]
14．(多选)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是(　　)
A．eπi＋1＝0
B．＝1
C．cos x＝
D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限
15．在①<0，②复平面上表示z1z2的点在直线x＋y＋2＝0上，③z2＋2＝－2.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数z，以及.已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋2i，________．若＝＋，求复数z，以及.
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选B．依题意z＝＝＝－4－3i，所以＝－4＋3i，对应点为，在第二象限．故选B．
2．解析：选C．因为z1＝2－i，z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，则z2＝－2－i，所以＝＝＝＝＝－＋i.故选C．
3．解析：选A．由题意可得解得1所以||＝||＝||＝|＋i|＝＝.故选A．
4．解析：选C．z＝x＋yi(x，y∈R)，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝＝1，则x2＋(y－1)2＝1.故选C．
5．解析：选B．由题图可得，z1＝1＋2i，z2＝2－i，
则z1＋＝1＋2i＋＝1＋2i＋＝1＋2i＋＝1＋3i，所以复数z1＋的虚部为3.故选B．
6．解析：|z|＝≤2，解得－≤m≤.
答案：
7．解析：因为向量对应的复数是－2＋i，所以A(－2，1)，又点A关于实轴的对称点为点B，所以B(－2，－1).所以向量对应的复数为－2－i，该复数的模为|－2－i|＝＝.故答案为.
答案：
8．解析：因为|z1|＝3，|z2|＝2，|z1－z2|＝，所以z－2z1z2＋z＝7，即2z1z2＝6，
则|z1＋z2|2＝z＋z＋2z1z2＝9＋4＋6＝19，则|z1＋z2|＝.故答案为.
答案：
9．解：由题意得，z＝(1－i)2－3a＋2＋i＝(2－3a)－i.
(1)若z为纯虚数，则2－3a＝0，解得a＝，
此时z＝－i，z在复平面内对应的点的坐标为(0，－1)，
所以z为纯虚数时实数a＝，z在复平面内对应的点的坐标为(0，－1).
(2)若z在复平面内对应的点位于第三象限，
则解得a>.
所以z在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是(，＋∞).
10．解：(1)因为＝4＋3i，
所以＝＝＝＝2－i，
所以z＝2＋i，
所以＝＝＝＝＋i.
(2)设z1＝x＋yi，因为|z1－1|＝|z|，
所以2＋y2＝22＋12＝5，
即复数z1对应的点的轨迹方程为2＋y2＝5.
[B　能力提升]
11．解析：选AC．|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC．
12．解析：选D．复数＋z2＋|z|＝＋(1－i)2＋|1－i|＝－2i＋＝－i＋，
在复平面内对应的点(，－1)，位于第四象限．故选D．
13．解析：选B．设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2i|＝|z＋1|，所以x2＋(y－2)2＝(x＋1)2＋y2，解得2x＋4y－3＝0.故选B．
[C　拓展探究]
14．解析：选AB．eπi＋1＝cos π＋isin π＋1＝0，A对；|eix|＝|cos x＋isin x|＝1，B对；cos x＝，C错；依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 12，sin 12)，显然该点位于第四象限，D错；故选AB．
15．解：方案一：选条件①，
因为z1＝1＋i，所以＝＝＝，
由于<0，所以，解得a＝－1.
所以z2＝－1＋2i，＝＋＝，
从而z＝＝＝＝＋i，
|z|＝ ＝.
方案二：选条件②，
因为z1＝1＋i，z2＝a＋2i，所以z1z2＝＝a－2＋i，
在复平面上表示z1z2的点为，
依题意可知＋＋2＝0，得a＝－1，
所以z2＝－1＋2i，＝＋＝，
从而z＝＝＝＝＋i，
|z|＝ ＝.
方案三：选条件③，
因为z2＝a＋2i，所以2＝a－2i，
由z2＋2＝2a＝－2，得a＝－1，
所以z2＝－1＋2i，＝＋＝，
从而z＝＝＝＝＋i，
|z|＝ ＝.