苏教版高一下册数学必修第二册10.3 几个三角恒等式 同步练习(含详解)

苏教版高一下册数学必修第二册-10.3几个三角恒等式
同步练习
[A　基础达标]
1．函数f(x)＝cos x sin 的最小正周期为(　　)
A．4π B．2π　　　
C．π　 D．
2．若cos 2α＝－且α∈，则sin α＝(　　)
A． B．
C． D．－
3．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos (α＋β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知sinα＝－，α是第三象限角，则tan ＝(　　)
A．±2 B．±
C．－2 D．－
5．已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
6．已知sin α＝－且π＜α＜，则sin ＝________．
7．已知sin ＝，则cos2＝________．
8．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan (α＋β)的值为________．
9．化简：(0<α<π).
10．已知A＋B＋C＝180°，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos .
[B　能力提升]
11．(多选)下列四个关系式中错误的是(　　)
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
12．设cos (x＋y)sin x－sin (x＋y)cos x＝，且y是第四象限角，则tan 的值是(　　)
A．－ B．±
C．－ D．±
13．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)
A．tan (α＋β)＝3tan (α－β)
B．tan (α＋β)＝2tan (α－β)
C．3tan (α＋β)＝tan (α－β)
D．3tan (α＋β)＝2tan (α－β)
14．f(x)＝－2sin sin ＋sin2＋sincos .
(1)若f>，求x的取值范围；
(2)若f(α)＝，cos ＝－，且<α<，<β<，求sin (α－β).
[C　拓展探究]
15．已知点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选C．由积化和差公式可以得到函数f(x)＝sin ＋，其最小正周期为T＝＝π.故选C．
2．解析：选A．因为α∈，所以sin α≥0.由半角公式可得sin α＝＝.
3．解析：选D．因为cos α＋cos β＝，
所以2cos cos ＝.
因为α－β＝，所以＝，所以cos ＝.所以cos ＝，
所以cos (α＋β)＝2cos2－1＝－.故选D．
4．解析：选C．因为sin α＝－，α是第三象限角，所以cos α＝－，由半角公式tan ＝－2，故选C．
5．解析：选B．设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.又β＝－，所以cos β＝cos ＝sin ＝ ＝，故选B．
6．解析：因为sin α＝－，π＜α＜，
所以cos α＝－.又＜＜，
所以sin ＝ ＝ ＝.
答案：
7．解析：因为cos＝sin ＝sin ＝，
所以cos2＝＝＝.
答案：
8．解析：由sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝得，
2sin cos ＝，2cos cos ＝，两式相除得，tan ＝，则
tan (α＋β)＝＝＝.
答案：
9．解：因为tan ＝，
所以(1＋cos α)tan ＝sin α.
又因为cos ＝－sin α，
且1－cos α＝2sin2，
所以原式＝＝＝－.
因为0＜α＜π，
所以0＜＜.所以sin ＞0.
所以原式＝－2cos .
10．证明：因为A＋B＋C＝180°，所以C＝180°－(A＋B)，＝90°－，
所以sin A＋sin B＋sin C＝2sin cos ＋sin (A＋B)＝2sin cos ＋2sin cos ＝2sin ·＝2sin ×2cos cos ＝2sin ×2cos ·cos ＝4cos cos cos .
[B　能力提升]
11．解析：选BCD．利用和差化积公式得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，A正确；B错误，右边应是2sin 4θsin θ；C错误，右边应是－2cos 4θsin θ；D错误，由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑．左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin ＝2sin cos .故选BCD．
12．解析：选A．因为cos (x＋y)sin x－sin (x＋y)·cos x＝，
所以sin y＝sin [(x＋y)－x]＝sin (x＋y)cos x－cos (x＋y)sin x＝－，
因为y是第四象限角，所以cos y＝＝＝，
由半角公式得tan ＝＝＝－×＝－，故选A．
13．解析：选A．因为sin 2α＝2sin 2β，
所以＝
＝＝＝3，即tan (α＋β)＝3tan (α－β)，故选A．
14．解：(1)f(x)＝－2×＋＋sin x.
＝cos x＋sin x＝sin (x＋).
若f>，则×sin x>，sin x>，
所以x∈(k∈Z).
(2)f(α)＝sin ＝，sin＝，
因为<α<，所以<α＋<π，cos ＝－，
因为<β<，所以0<β－<π，sin ＝，
sin (α－β＋π)＝sin
＝sin cos －cos ·sin ＝－，
sin (α－β)＝－sin (α－β＋π)＝.
[C　拓展探究]
15．解：如图所示．因为AB为半圆的直径，
所以∠APB＝.又AB＝1，
所以PA＝cos α，PB＝sin α.
又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α.
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin α
＝sin αcos α＋sin2α＝sin2α＋(1－cos 2α)
＝sin ＋.
因为0＜α＜，
所以－＜2α－＜，
所以当2α－＝，
即α＝时，S四边形ABTP取得最大值＋.