第10章 相交线、平行线与平移
10.1 相交线
课时1 对顶角及其性质
【基础堂清】
知识点1 对顶角的定义
1 在数学课上,老师让同学们画对顶角∠1与∠2,其中正确的是 ( )
A B
C D
2如图,直线AB,CD,EF相交于点O,请写出∠AOC,∠AOE,∠EOC的对顶角.
知识点2 对顶角的性质
3已知∠1和∠2是对顶角,且∠1=38°,则∠2的度数为 ( )
A.38° B.52° C.76° D.142°
4 如图,直线AB与CD相交于点O,若∠1=60°,则∠2的度数为 °,∠3的度数为 °.
【能力日清】
5如图,当光线从空气中射入水中时,光线的传播方向发生了变化,这种现象叫作光的折射,在图中,AB与直线CD相交于水平面上的点F,一束光线沿CD射入水面,在点F处发生折射,沿FE射入水内.如果∠1=42°,∠2=29°,那么光的传播方向改变了 °.
6我国古代科学家墨子和他的学生完成了世界上第一个小孔成像的实验,从而得出了光沿直线传播的结论,如图,∠1+∠2=40°,则∠3= °.
【素养提升】
7如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOD.若∠AOC=∠AOD-40°,求∠BOD和∠EOF的度数.
参考答案
基础堂清
1.C
2.解:∠AOC的对顶角是∠BOD,∠AOE的对顶角是∠BOF,∠EOC的对顶角是∠DOF.
3.A 4.60 120
能力日清
5.13 6.160
素养提升
7.解:因为∠AOC=∠AOD-40°,∠AOC+∠AOD=180°,
所以∠AOD=110°,∠AOC=70°,
所以∠BOD=∠AOC=70°.
因为OE平分∠AOD,
所以∠DOE=∠AOD=×110°=55°.
因为OF平分∠BOD,
所以∠DOF=∠BOD=×70°=35°,
所以∠EOF=∠DOE+∠DOF=55°+35°=90°.课时2 垂线及其性质、画法
【基础堂清】
知识点1 垂线的概念
1如果两条相交直线所成的四个角中有一个角是 ,那么就称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的 ,它们的交点叫作 .
2 当太阳光线垂直照射在太阳光板上时,接收的太阳光能最多,某一时刻太阳光的照射角度如图所示,要使此时接收的太阳光能最多,那么将太阳光板绕支点A顺时针旋转的最小角度为 .
知识点2 垂线的性质及垂线的画法
3 过直线m外的一点Q作m的垂线,下列图中借助直角三角尺操作正确的是 ( )
A B
C D
4 数学源于生活,用于生活,我们要会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.例如,体育课上老师测量跳远成绩时,测量线段AB的长度即可,这样做的数学道理是 ( )
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5如图,C为直线AB上一点,CD⊥CE,若∠1=65°,则∠2的度数为 .
【能力日清】
6如图,直线AB和直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,OF平分∠BOD.
(1)若∠COE=40°,求∠BOF的度数.
(2)若∠COE=∠DOF,求∠COE的度数.
【素养提升】
7如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,判断ON与CD的位置关系,并说明理由.
(2)若∠1=∠BOC,求∠MOD的度数.
参考答案
基础堂清
1.直角 垂线 垂足 2.58° 3.D 4.A 5.25°
能力日清
6.解:(1)因为OE⊥AB,
所以∠EOB=90°.
因为∠COE=40°,
所以∠BOC=90°-40°=50°,
所以∠BOD=130°.
因为FO平分∠BOD,
所以∠BOF=∠BOD=65°.
(2)设∠COE=x,
则∠DOF=∠BOF=2x,
所以∠BOC=180°-4x.
因为∠BOE=90°,
所以x+180°-4x=90°,
解得x=30°,
所以∠COE=30°.
素养提升
7.解:(1)ON⊥CD.
理由如下:
因为OM⊥AB,
所以∠AOM=90°,
所以∠1+∠AOC=90°.
又因为∠1=∠2,
所以∠2+∠AOC=90°,
即∠CON=90°,
所以ON⊥CD.
(2)因为OM⊥AB,∠1=∠BOC,
所以∠1=(∠1+90°),
所以∠1=30°.
又因为∠1+∠MOD=180°,
所以∠MOD=180°-∠1=150°.10.2 平行线的判定
课时1 平行线的概念、画法及基本事实
【基础堂清】
知识点1 平行线的概念
1在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.以上都不对
知识点2 平行线的画法
2如图,在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA.
(2)过点P画l2∥OB.
知识点3 平行线的基本事实
3下列说法中,正确的是 ( )
①两点之间的所有连线中,线段最短;
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③平行于同一条直线的两条直线互相平行;
④直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离.
A.①② B.①③ C.①④ D.②③
4若a∥b,l∥a,则l与b的位置关系是 .
【能力日清】
5如图,已知直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗
6作图题:如图,在方格纸中,有两条线段AB,BC,利用方格纸完成以下操作:
(1)过点A作BC的平行线.
(2)过点C作AB的平行线,与(1)中的平行线交于点D.
(3)过点B作AB的垂线.
【素养提升】
7如图,已知方格纸上有点O和线段AB,根据下列要求画图.
(1)画直线OA.
(2)过点B画直线OA的垂线,垂足为D.
(3)取线段AB的中点E,过点E画BD的平行线,交AO于点F.
参考答案
基础堂清
1.C
2.解:(1)(2)如图所示.
3.B 4.l∥b
能力日清
5.解:(1)如图,过直线a外一点画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行.
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行.理由如下:
如图,因为b∥a,c∥a,
所以c∥b.
6.解:(1)如图,直线AE为所求.
(2)线段CD为所求.
(3)直线BF为所求.
素养提升
7.解:(1)(2)(3)如图所示.课时2 同位角、内错角、同旁内角
【基础堂清】
1如图,∠1的同位角是 ( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
2如图,下列四组角中是内错角的是 ( )
A.∠1与∠7 B.∠3与∠5
C.∠4 与∠5 D.∠2与∠5
3如图,下列对∠1和∠2的说法正确的是 ( )
A.∠1和∠2是同位角
B.∠1和∠2是内错角
C.∠1和∠2是同旁内角
D.∠1和∠2是邻补角
【能力日清】
4下列英文字母中,不考虑字母宽度,含有同旁内角的是 ( )
A B C D
5在汉字中,有一些字中含有同位角、内错角和同旁内角.如图,根据汉字“王”中标注的角,回答下列问题:
(1)与∠1成同位角的是 .
(2)与∠2成内错角的是 .
(3)图中有 对同旁内角,分别是 .
【素养提升】
6 如图,这是一个跳棋棋盘,其游戏规则是一个棋子从某一个起始角开始,经过若干步跳动以后,到达终点角.跳动时,每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上,例如:从起始位置∠1跳到终点位置∠3,写出其中两种不同路径.
路径1:∠1∠9∠3.
路径2:∠1∠12∠6∠10∠3.
试一试:(1)写出一条从∠1跳到∠8的路径.
(2)从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能否跳到终点位置∠8 若能,请写出路径;若不能,请说明理由.
参考答案
基础堂清
1.C 2.B 3.C
能力日清
4.A
5.(1)∠5 (2)∠3,∠7
(3)6 ∠1和∠3,∠2和∠4,∠5和∠7,∠6和∠8,∠1和∠7,∠2和∠8
素养提升
6.解:(1)(答案不唯一)路径:∠1∠12∠8.
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能跳到终点∠8.
其路径为∠1∠10∠5∠8.课时3 同位角相等,两直线平行
【基础堂清】
1如图,∠1=70°,要使直线AB∥CD,则需具备另一个条件是 ( )
A.∠2=70°
B.∠2=100°
C.∠2=110°
D.∠3=110°
2如图,∠1+∠2=180°,可以判断 ( )
A.AB∥CD
B.AD∥BC
C.AD⊥BD
D.BC⊥CD
3下图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图,图中∠α的度数为 ( )
A.135° B.90° C.60° D.45°
4如图,直线AB,CD被直线EF所截,∠1=55°,下列条件中能判定AB∥CD的是 ( )
A.∠2=35°
B.∠2=45°
C.∠2=55°
D.∠2=125°
【能力日清】
5如图,若∠1=∠2,则下列结论正确的是 ( )
A.AB∥BC
B.AD∥CD
C.AD∥EF
D.EF∥BC
6如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32°,那么∠2的度数是 ( )
A.32° B.58°
C.68° D.60°
7由下图填空,并在括号内说明理由:
因为∠B=∠D,∠1=∠D(已知),所以∠B=∠1,
所以 ∥ ( ).
【素养提升】
8 如图,已知E,B,C三点共线,BE平分∠DBF,∠1=∠ACB,试说明:BF∥AC.
因为BE平分∠DBF( ),
所以 = ( ).
又因为∠1=∠ACB( ),
所以∠2=∠ACB( ),
所以BF∥AC( ).
参考答案
基础堂清
1.C 2.A 3.D 4.C
能力日清
5.C 6.B
7.AB CD 同位角相等,两直线平行
素养提升
8.解:因为BE平分∠DBF(已知),
所以∠1=∠2(角平分线的定义).
又因为∠1=∠ACB(已知),
所以∠2=∠ACB(等量代换),
所以BF∥AC(同位角相等,两直线平行).课时4 平行线的两条判定定理
【基础堂清】
1如图,直线a,b被直线c所截,下列条件中,不能判定a∥b的是 ( )
A.∠2=∠4 B.∠1+∠4=180°
C.∠5=∠4 D.∠1=∠3
2如图,下列说法中,正确的是 ( )
A.因为∠A+∠D=180°,所以AD∥BC
B.因为∠C+∠D=180°,所以AB∥CD
C.因为∠A+∠D=180°,所以AB∥CD
D.因为∠A+∠C=180°,所以AB∥CD
3如图,∠1=50°,∠2=70°,∠3=60°,下列条件能得到DE∥BC的是 ( )
A.∠B=60° B.∠C=60°
C.∠B=70° D.∠C=70°
4如图,有下列条件:①∠1=∠2,②∠2=∠3,③∠5+∠6=180°,④∠1+∠4=180°,⑤∠7=∠2+∠3.其中能判断直线a∥b的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【能力日清】
5如图,请填写一个使AB∥CD的条件是 .
6如图,下列条件中:①∠B+∠BCD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5.
一定能判定AB∥CD的条件有 .
7如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC上一点,且∠1+∠2=90°.试说明DE∥BC.
【素养提升】
8如图,∠DAC=30°,∠B=60°,AB⊥AC,∠D=55°.试判断:
(1)AD与BC平行吗
(2)AB与CD平行吗 为什么
参考答案
基础堂清
1.D 2.C 3.B 4.B
能力日清
5.∠BAE=∠ADC(答案不唯一) 6.①③④
7.解:因为CD⊥AB(已知),
所以∠1+∠EDC=90°(垂直定义).
因为∠1+∠2=90°(已知),
所以∠EDC=∠2(同角的余角相等).
所以DE∥BC(内错角相等,两直线平行).
素养提升
8.解:(1)AD∥BC.
理由:因为AB⊥AC,所以∠BAC=90°.
因为∠B=60°,
所以∠ACB=180°-90°-60°=30°.
因为∠DAC=30°,
所以∠DAC=∠ACB,所以AD∥BC.
(2)AB和CD不平行.
理由:因为∠D=55°,∠DAC=30°,
所以∠DCA=180°-30°-55°=95°.
因为∠BAC=90°,所以∠DCA≠∠BAC,
所以AB和CD不平行.10.3 平行线的性质
课时1 平行线的性质
【基础堂清】
知识点1 两直线平行,同位角相等
1如图,直线a∥b,∠1=60°,则∠2等于 ( )
A.30° B.60° C.45° D.120°
2如图,直线a∥b,∠1=115°,则∠2的度数为 ( )
A.115° B.75° C.65° D.55°
知识点2 两直线平行,内错角相等
3如图,直线AB∥CD,DA⊥CE于点A,若∠D=32°,则∠EAB的度数是 ( )
A.58°
B.78°
C.48°
D.32°
知识点3 两直线平行,同旁内角互补
4如图,直线AB∥CD,则下列结论正确的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠3+∠4=180°
C.∠1+∠3=180° D.∠3=∠4
【能力日清】
5如图,AB∥CD,∠B=70°,CN是∠BCE的平分线,CM⊥CN.
(1)求∠BCM的度数.
(2)试说明CM平分∠BCD.
【素养提升】
6如图,AB∥CD∥GH,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,求∠EGF的度数.
参考答案
基础堂清
1.B 2.C 3.A 4.B
能力日清
5.解:(1)因为AB∥CD,
所以∠BCE=180°-∠B=180°-70°=110°.
因为CN是∠BCE的平分线,
所以∠BCN=∠BCE=×110°=55°.
因为CM⊥CN,
所以∠MCN=90°,
所以∠BCM=90°-∠BCN=90°-55°=35°.
(2)因为AB∥CD,∠B=70°,
所以∠BCD=∠B=70°.
因为∠BCM=35°,
所以∠BCM=∠BCD,
所以CM平分∠BCD.
素养提升
6.解:如图,因为AB∥GH(已知),
所以∠1=∠3(两直线平行,内错角相等).
又因为CD∥GH(已知),
所以∠4=∠2(两直线平行,内错角相等).
因为AB∥CD(已知),
所以∠BEF+∠EFD=180°(两直线平行,同旁内角互补).
因为EG平分∠BEF(已知),
所以∠1=∠BEF(角平分线定义).
又因为FG平分∠EFD(已知),
所以∠2=∠EFD(角平分线定义),
所以∠1+∠2=(∠BEF+∠EFD),
所以∠1+∠2=90°,
所以∠3+∠4=90°(等量代换),
即∠EGF=90°.课时2 平行线的性质和判定的综合
【基础堂清】
1下列说法中,正确的是 ( )
A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.如果两个角的两边分别平行,那么这两个角一定相等
2如图,在三角形ABC中,若AC⊥BC,CD⊥AB,∠1=∠2,有下列结论:
①AC∥DE; ②∠A=∠3; ③∠3=∠EDB; ④∠2与∠3互补; ⑤∠1=∠B.其中正确的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3如图,下列判断正确的是 ( )
A.如果EF∥GH,那么∠4+∠3=180°
B.如果∠1+∠3=180°,那么AB∥CD
C.如果∠2=∠4,那么AB∥CD
D.如果∠1=∠2,那么AB∥CD
4如图,下列推理所注理由正确的是 ( )
A.因为DE∥BC,所以∠1=∠C(同位角相等,两直线平行)
B.因为∠2=∠3,所以DE∥BC(两直线平行,内错角相等)
C.因为DE∥BC,所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)
D.因为∠DEC+∠C=180°,所以DE∥BC(同旁内角相等,两直线平行)
5如图,已知∠1=120°,∠2=60°,∠3+∠4=180°,则在结论①a∥b,②a∥c,③b∥c,④∠3=∠2中,正确的是 .(填序号)
6如图,∠1=∠2,∠3=∠E,试说明:∠A=∠EBC.(请按图填空,并补充理由)
解:因为∠1=∠2(已知),
所以 ∥ ( ),
所以∠E=∠ ( ).
又因为∠E=∠3(已知),
所以∠3=∠ (等量代换),
所以 ∥ (内错角相等,两直线平行),
所以∠A=∠EBC( ).
【能力日清】
7如图,如果∠1=∠2,∠A=∠F,那么∠C=∠D吗 为什么
8如图,∠A=∠C,∠1与∠2互补,试说明:AB∥DC.
9 图1是一辆滑轮摄影轨道车,图2为其侧面示意图.底座DE⊥GH于点E,BC与CD是轨道车的“手臂”,可通过改变∠BCD的度数调节车的高度.在调节过程中,放摄像机的杆AB始终平行于DE.
图1
图2
图3
(1)如图2,调节轨道车的“手臂”,使BC∥GH,此时∠BCD=25°,求∠CDE的度数.
(2)若图3中∠BCD=45°,求∠ABC与∠CDE的度数之和.
【素养提升】
10如图,∠HCO=∠EBC,∠BHC+∠BEF=180°.
(1)试说明EF∥BH.
(2)若BH平分∠EBO,EF⊥AO于点F,∠HCO=64°,求∠CHO的度数.
11【问题提出】
如图1,在三角形ABC中,D是AB上一点,DE∥BC交AC于点E,F是线段DE延长线上的一点,连接FC,且∠BCF+∠ADE=180°.
(1)试说明AB∥CF.
【问题探究】
(2)如图2,连接BE,若∠ABE=27°,∠ACF=23°.
①求∠BEC的度数.
②G是FC延长线上的一点,若∠EBC∶∠ECB=4∶9,∠EBG=2∠ABE,求∠CBG的度数.
参考答案
基础堂清
1.B 2.C 3.D 4.C
5.①②③
6.DB EC 内错角相等,两直线平行 4 两直线平行,内错角相等 4 AD BE 两直线平行,同位角相等
能力日清
7.解:∠C=∠D.理由如下:
如图,因为∠1=∠2(已知),∠2=∠3(对顶角相等),
所以∠1=∠3(等量代换),
所以BD∥CE(同位角相等,两直线平行),
所以∠4=∠C(两直线平行,同位角相等).
又因为∠A=∠F(已知),
所以FD∥AC(内错角相等,两直线平行),
所以∠4=∠D(两直线平行,内错角相等),
所以∠D=∠C(等量代换).
8.解:因为∠1与∠2互补(已知),
所以AD∥BC (同旁内角互补,两直线平行),
所以∠ADC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又因为∠C=∠A(已知),
所以∠ADC+∠A=180°(等量代换),
所以AB∥DC (同旁内角互补,两直线平行).
9.解:(1)如图1,过点C作CP∥AB,且点P在BC的下方.
图1
因为DE⊥GH,AB∥DE,
所以AB⊥GH.
因为BC∥GH,
所以AB⊥BC,
所以∠BCP=∠B=90°,
所以∠DCP=∠BCP-∠BCD=90°-25°=65°.
因为AB∥DE,CP∥AB,
所以CP∥DE,
所以∠CDE=180°-∠DCP=180°-65°=115°.
(2)如图2,过点C作CP∥AB,且点P在BC的下方.
图2
因为CP∥AB,
所以∠ABC=∠BCP=∠BCD+∠DCP.
由(1)可得CP∥DE,
所以∠CDE+∠DCP=180°.
因为∠DCP=∠ABC-∠BCD,
所以∠CDE+∠ABC-∠BCD=180°,
所以∠CDE+∠ABC=180°+∠BCD=225°.
素养提升
10.解:(1)因为∠HCO=∠EBC,
所以EB∥HC,
所以∠EBH=∠CHB.
因为∠BHC+∠BEF=180°,
所以∠EBH+∠BEF=180°,
所以EF∥BH.
(2)因为∠HCO=∠EBC,
所以∠HCO=∠EBC=64°.
因为BH平分∠EBO,
所以∠EBH=∠CHB=∠EBC=32°.
因为EF⊥AO于点F,EF∥BH,
所以∠BHA=90°,
所以∠FHC=∠BHA+∠CHB=122°,
所以∠CHO=180°-∠FHC
=180°-122°
=58°.
11.解:(1)因为DE∥BC,
所以∠BCF+∠DFC=180°.
因为∠BCF+∠ADE=180°,
所以∠DFC=∠ADE,
所以AB∥CF.
(2)①如图,过点E作EM∥AB,交BC于点M,
所以∠BEM=∠ABE=27°.
因为CF∥AB,
所以CF∥EM,
所以∠CEM=∠ACF=23°,
所以∠BEC=∠BEM+∠CEM=50°.
②因为∠EBG=2∠ABE,∠ABE=27°,
所以∠EBG=54°.
因为∠EBC∶∠ECB=4∶9,设∠EBC=4x,则∠ECB=9x.
因为DE∥BC,
所以∠DEB=∠EBC=4x,∠DEC+∠BCE=∠BED+∠BEC+∠BCE=180°,
即9x+4x+50°=180°,
解得x=10°,
所以∠EBC=4x=40°.
因为∠EBG=∠EBC+∠CBG,
所以∠CBG=∠EBG-∠EBC=54°-40°=14°.10.4 平移
【基础堂清】
知识点1 平移的概念
1 “水是生命之源,滋润着世间万物.”国家节水标志由水滴、手掌和地球变形而成.寓意:像对待掌上明珠一样,珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的图形是 ( )
A. B. C. D.
2下列生活现象中,不是平移现象的是 ( )
A.小亮荡秋千的运动
B.左右推动的推拉窗帘
C.站在运行的电梯上的人
D.坐在直线行驶的列车上的乘客
3下列几种运动中,①水平运输带上砖的运动;②笔直的高速公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动);③升降机上下做机械运动;④足球场上足球的运动.属于平移的有 (填上所有你认为正确的序号).
4下面每组图形中,左面的图形平移后可以得到右面的图形的是 ( )
A B
C D
知识点2 平移的性质
5一个图形,经过平移后,改变的是 ( )
A.颜色 B.形状 C.大小 D.位置
6 如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB=6,DH=2,平移距离为3,则阴影部分的面积为 .
7如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,AC=5,BC=3,将△ABC沿AD方向平移得到△DEF,已知AF=9.
(1)求△ABC平移的距离AD的长.
(2)求四边形AFEB的周长.
知识点3 平移作图
8如图,线段AB经过平移有一端点到达点C,画出线段AB平移后的线段.
【能力日清】
9 如图,
在一块长为20 m,宽为14 m的草地上有一条宽为2 m的曲折小路,运用你所学的知识求出这块草地的绿地(阴影部分)面积为 m2.
10如图,一块长方形草坪中间有两条宽度(单位:米)相等的石子路(每条石子路间距均匀),请你求出草坪(阴影部分)的面积.
11如图,在网格纸中,△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上,按要求画一个三角形,使它的顶点在方格的顶点上.
(1)请在图1中,过点P画出AC的平行线PD.(要求:画出图形,标上字母)
(2)请在图2中,将△ABC平移至△EPF.(要求:画出图形,标上字母)
【素养提升】
12如图,在正方形网格中有一个△ABC,按要求进行下列作图(只借助网格,需要写出结论).
(1)过点B画出AC的平行线.
(2)画出三角形ABC向右平移5格,再向上平移2格后的△DEF.
(3)若每一个网格的单位长度为a,求三角形ABC的面积.
参考答案
基础堂清
1.C 2.A 3.①②③ 4.D 5.D 6.15
7.解:(1)因为将△ABC沿AD方向平移得到△DEF,
所以AC=DF,
所以AD=AF-DF=9-5=4.
(2)根据平移的性质可得
BE=AD=4,EF=BC=3,
所以四边形AFEB的周长=AF+FE+EB+BA=20.
8.解:线段CD有2种情况,如图1,当点A平移到点C时,点D在点C的下方;如图2,当点B平移到点C时,点D在点C的上方.
能力日清
9.216
10.解:6×12-2×6×2=48平方米,
答:草坪(阴影部分)的面积为48平方米.
11.解:(1)如图1,直线PD为所作.
(2)如图2,△EPF为所作.
素养提升
12.解:(1)如图,直线BP为所作.
(2)如图,△DEF为所作.
(3)三角形ABC的面积=×3a×2a=3a2.第10章复习课
【基础堂清】
知识点1 相交线
1如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为点O,∠EOC=55°,则∠AOD的度数为 ( )
A.115° B.125° C.135° D.145°
2如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOE=90°,∠DOF=90°,OB平分∠DOG,给出下列结论:
①当∠AOF=60°时,∠DOE=60°;
②OD为∠EOG的平分线;
③与∠BOD相等的角有三个;
④∠COG=∠AOB-2∠EOF.
其中正确的结论有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
知识点2 平行线的性质与判定
3如图,直线AB,CD被直线DE所截,∠1=100°,当∠2= 时,AB∥CD.
4如图,∠BED=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系,并说明理由.
5如图,AE∥CF,∠A=∠C.
(1)若∠1=35°,求∠2的度数.
(2)判断BC与AD的位置关系,并说明理由.
知识点3 平移
6(1)如图1,△ABC经过平移后,点A移到了点A'的位置,请在网格中作出平移后的△A'B'C'.
(2)如图2,过P点画出OA,OB的垂线.
【能力日清】
7如图,直线AB∥CD,CD∥EF,且∠B=30°,∠C=125°,求∠CGB的度数.
8如图,在△ABC中,点D在BC边上,EF∥AD,分别交AB,BC于点E,F,DG平分∠ADC,交AC于点G,∠1+∠2=180°.
(1)试说明DG∥AB.
(2)若∠B=32°,求∠ADC的度数.
【素养提升】
9已知直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F.
(1)如图1,∠BEF、∠DFE的平分线交于点G,求∠EGF的度数.
(2)在(1)的基础上,如图2,∠BEG、∠DFG的平分线交于点H,试问:∠H与∠G的度数是否存在某种等量关系 若∠BEH,∠DFH的平分线交于I点,则∠I与∠G的度数存在怎样的关系 请写出你的结论,并说明理由.
参考答案
基础堂清
1.D 2.B 3.80°
4.解:解法一:如图1,延长BE交CD于点F.
因为∠BED=∠B+∠D,
∠BED=∠EFD+∠D,
所以∠B=∠EFD,
所以AB∥CD.
解法二:如图2,过点E作∠BEF=∠B(EF在∠BED内),
所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).
因为∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D(已知),∠BEF=∠B(已作),
所以∠FED=∠D,所以CD∥EF(内错角相等,两直线平行),
所以AB∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行).
5.解:(1)因为AE∥CF,所以∠BDC=∠1=35°.又因为∠2+∠BDC=180°,所以∠2=180°-∠BDC=180°-35°=145°.
(2)BC∥AD.理由:因为AE∥CF,所以∠A+∠ADC=180°.又因为∠A=∠C,所以∠C+∠ADC=180°,所以BC∥AD.
6.解:(1)如图1,△A'B'C'为所求.
(2)如图2,直线l和l'为所求.
图1 图2
能力日清
7.解:因为AB∥CD,CD∥EF,
所以AB∥CD∥EF.
因为∠B=30°,∠C=125°,
所以∠BGF=∠B=30°,∠C+∠CGF=180°,
所以∠CGF=55°,
所以∠CGB=∠CGF-∠BGF=25°.
8.解:如图.(1)因为EF∥AD,
所以∠2+∠3=180°.
因为∠1+∠2=180°,
所以∠1=∠3,
所以DG∥AB.
(2)因为DG平分∠ADC,
所以∠ADC=2∠1=2∠4.
由(1)知DG∥AB,
所以∠4=∠B=32°,
所以∠ADC=2∠4=64°.
素养提升
9.解:(1)因为AB∥CD,
所以∠BEF+∠DFE=180°.
因为EG,FG分别平分∠BEF,∠DFE,
所以∠GFE=∠DFE,∠GEF=∠BEF,
所以∠GFE+∠GEF=(∠BEF+∠DFE)=90°,
所以∠EGF=180°-(∠GFE+∠GEF)=180°-90°=90°.
(2)∠H=∠G,∠I=∠G.理由如下:
如图,过点H作HJ∥AB交EF于点J.
则HJ∥CD,
所以∠EHJ=∠BEH,
∠FHJ=∠DFH,
所以∠H=∠BEH+∠DFH.
由(1)得∠G=∠GFE+∠GEF=∠BEG+∠DFG.
因为EH,FH分别平分∠BEG,∠DFG,
所以∠BEH=∠BEG,
∠DFH=∠DFG,
所以∠H=∠BEH+∠DFH=(∠BEG+∠DFG)=∠G,
同理,∠I=∠H=×∠G=∠G.
