【小升初培优讲义】环形跑道问题讲义（含解析）-2024-2025学年六年级下册数学人教版
文档属性
| 名称 | 【小升初培优讲义】环形跑道问题讲义（含解析）-2024-2025学年六年级下册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 452.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-22 21:35:47 | ||
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文档简介
小升初培优讲义 环形跑道问题
(
第一部分
典型例题
)
例题1：甲、乙两人在周长250米的环形跑道上的同一点同时同向出发沿跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，那么从出发到两人第8次在这一点相遇所用去的时间是多少秒？
【答案】见试题解答内容
【分析】因为甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，就在起点相遇一次，两人第8次相遇，则甲跑5×8＝40圈，乙正好跑3×8＝24圈，先求出甲（乙）跑一圈用的时间，再乘以其跑的圈数，然后解答即可．
【解答】解：速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，
（250÷5）×（5×8）
＝50×40
＝2000（秒）
答：从出发到两人第8次在这一点相遇所用去的时间是2000秒．
【点评】此题属于复杂的追及应用题，解答此题的关键是根据速度比是5：3，所以甲5圈，乙正好3圈，两人就在起点相遇一次，求出8次甲或乙跑的圈数，进一步解答即可．
例题2：学校操场的跑道一圈250米，小林和小方在跑道的同一地点同时向相同方向出发。小林每分钟跑150米，小方每分钟跑125米。经过几分钟，小林超过小方1圈？
【答案】10分钟。
【分析】首先用小林每分钟跑的路程减去小方每分钟跑的路程，求出两人的速度之差是多少；然后根据“路程÷速度＝时间”，用250除以两人的速度之差，求出经过几分钟小林超过小方1圈即可。
【解答】解：250÷（150﹣125）
＝250÷25
＝10（分钟）
答：经过10分钟小林超过小方1圈。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之差是多少。
例题3：明明的速度是280米/分，军军的速度是220米/分。环湖公路一周的长度是5400米，两人同时反方向跑步，估计两人在何处相遇，在图上标出来。经过多少分钟他们会相遇？
【答案】10.8分钟。
【分析】因为280＞220，所以相遇点靠近军军那一方，然后根据相遇时间＝环湖公路一周的长度÷速度和即可。
【解答】解：因为280＞220，所以相遇点靠近军军那一方，如图：
5400÷（280+220）
＝5400÷500
＝10.8（分钟）
答：经过10.8分钟他们会相遇。
【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答；注意相遇时间＝路程÷速度和。
例题4：在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5﹣4.4米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周即300米，所以两人相遇所用时间是300÷（5﹣4.4）秒，此时乙跑了300÷（5﹣4.4）×4.4米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米．
【解答】解：300÷（5﹣4.4）×4.4
＝300÷0.6×4.4
＝2200（米），
2200÷300＝7（圈）…100（米）
答：两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前100米．
【点评】首先求出两人速度差，根据追及距离÷速度差＝追及时间求出两人第一次相遇所需时间是完成本题的关键．
例题5：果果和豆豆在环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。果果每秒跑2米，豆豆每秒跑3米，40秒后两人相遇。
①环形跑道长多少米？
②相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后豆豆和果果再次相遇？
【答案】①200米；②200秒。
【分析】①根据“速度和×相遇时间＝路程”，求出环形跑道长多少米即可。
②相遇后两人改为同向而行，那么豆豆和果果再次相遇，豆豆比果果多行1圈，然后根据“相遇时间＝路程÷速度差”解答即可。
【解答】解：①（2+3）×40
＝5×40
＝200（米）
答：环形跑道长200米。
②200÷（3﹣2）
＝200÷1
＝200（秒）
答：相遇后两人改为同向而行，那么200秒后豆豆和果果再次相遇。
【点评】本题考查了环形跑道问题，要结合相遇和追及问题的解答方法列式计算。
(
第二部分
知识精讲
)
(
知识清单+方法技巧
) 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．
(
第三部分
高频真题
)
1．太仓市民公园的环形跑道长1260米。小敏和妈妈同时从南门口出发，沿相反方向步行，小敏的速度是65米/分，妈妈的速度是75米/分。8分钟后她们两人能相遇吗？
2．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。
（1）爷爷一共走了多少分钟？
（2）环形跑道一周长多少米？
3．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？
4．天天和妹妹同时从A点出发，沿一个长方形的场地相背而行．天天按A→B→C→D→A的顺序走，妹妹按A→D→C→B→A的顺序走，两人在距离C点12m处的E点相遇．已知天天和妹妹两人的速度比是13：12．
（1）这个场地的周长是多少米？
（2）如果这个长方形的宽是长的，那么这个场地的面积是多少平方米？
5．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？
6．悦悦和爸爸、妈妈绕环形跑道跑步进行晨练。若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用3分，妈妈跑一圈用4分，悦悦跑一圈用6分，多少分后，悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇？相遇时，他们三人各跑了几圈？
7．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟．
（1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？
（2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？
8．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？
9．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。
10．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？
11．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？
12．小红和小华同时以72米/分的速度从跑道点A出发相背而行，2分钟后分别走到点B和点C的位置，这时点B、C之间的距离占跑道总长的。跑道总长多少米？
13．小明和小丽在一条彩虹环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。2分钟后，两人第一次相遇。
（1）这个彩虹环形跑道长多少米？
（2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少时间后两人能再次相遇？
14．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？
15．小莉和奶奶一起去小花园散步。小莉绕小花园走一圈需要5分钟，奶奶绕小花园走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后小莉超过奶奶一整圈？
16．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？
17．小龙和小华一起去学校的跑道上跑步。小龙跑一圈需要4分钟，小华跑一圈需要3分钟。两人同时从同一地点出发，相背而行，多少分钟后相遇？
18．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．
（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
19．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？
20．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？
21．李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的速度是225米/分，王亮的速度是215米/分，经过18分钟两人还相距40米．水库四周的道路长多少米？
22．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米．
（1）求最慢运动员的速度．
（2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？
23．李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？
24．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？
25．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？
26．周末，李凯与爸爸妈妈一起在体育馆运动场跑步锻炼。李凯跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。如果他们同时同地同向起跑，多少分钟后他们三人再次相遇？这时李凯跑了多少圈？
27．如图，在边长为50米的正三角形上，有A、B两人分别从不同的顶点处，按逆时针方向同时出发，A速度为2米/秒，B速度为1.2米/秒．问出发多长时间，A，B二人第一次在同一条边上？
28．星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？
29．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走
一圈需要5分钟。
（1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？
（2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？
30．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？
31．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。
（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？
（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
32．甲乙两人在环形跑道上赛跑，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，两人同时同地相向而行，1分钟后，两人第二次相遇，求跑道的周长．
33．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？
34．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答）
35．学校操场的环形跑道长400米，甲、乙两名同学在跑道上同一起点出发，沿相反方向步行，经过2.5分钟相遇。甲每分钟走85米，乙每分钟走多少米？
36．小欧和爸爸去操场上散步。小欧走一圈要8分钟，爸爸走一圈需要10分钟。如果两人同时从同一个地方出发，背向而行，相遇时他们都走了多少分钟？
37．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。
38．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？
39．有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？
40．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？
41．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？
42．小张和小李在400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行．小张每秒跑4米，小李每秒跑6米，出发后经过多少分钟两人第一次相遇．
43．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？
44．在一个神话故事中，有一只小兔住在一个周长为1千米的圆形神湖旁，A、B两点把这个神湖分成两部分（如图），已知小兔从B点出发，沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳千米休息一次，如果跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖半径就扩大一倍，现已知小兔共休息了1000次，这时神湖周长是多少千米？（AB为圆的直径）
45．如图，一条圆形跑道，AB是直径。甲乙两人分别从A、B两点出发，按箭头方向前进，他们在离A点75米的C点相遇，接着又在离B点25米的D点相遇。圆形跑道的长是多少米？
46．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？
47．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？
48．同样时间里，兔子能跑3步，狗能跑2步，兔子一步跑1米，狗一步跑1.5米，若兔子和狗在50米长的跑道上进行往返跑，它们同时出发，求兔子折返几次后刚好比狗快6米？
49．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。
（1）百家湖跑道全长多少米？
（2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？
50．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？
51．小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？
52．运动场边沿的跑道一周长400米。小星、小文两人同时同地沿跑道跑步，小文每分钟跑290米，小星每分钟跑210米。当他们再次到达同一地点时已经过了多少时间？
53．附加题：小启和小智两人绕着环形跑道同时同地背向跑步，小启每秒跑5米，小智每秒跑6米，小启和小智第一次相遇后，又跑了1分钟，才回到起点。小启自己绕环形跑道跑一圈要多少秒？这个环形跑道长多少米？
54．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？
55．悠悠和青青比赛跑步，悠悠跑一圈需要2分钟，青青跑一圈需要3分钟，他们几分钟之后可以在起点第一次相遇？
参考答案与试题解析
1．太仓市民公园的环形跑道长1260米。小敏和妈妈同时从南门口出发，沿相反方向步行，小敏的速度是65米/分，妈妈的速度是75米/分。8分钟后她们两人能相遇吗？
【答案】不能相遇。
【分析】本题中两人如果能相遇时，两个人的总路程等于环形跑道的长度；小敏的速度加上妈妈的速度得到两人一分钟行走的路程，再乘行走的时间，求出两人的总路程，然后与环形跑道的长度比较即可。
【解答】解：（65+75）×8
＝140×8
＝1120（米）
1120米＜1260米
答：8分钟后她们两人不能相遇。
【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。
2．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。
（1）爷爷一共走了多少分钟？
（2）环形跑道一周长多少米？
【答案】（1）20分钟；
（2）1800米。
【分析】（1）爷爷相遇后8分钟走的路程就是相遇时小强走的路程，用90乘8求出该路程，则两人相遇时的时间是（720÷60）分钟，再加上8分钟就是爷爷一共走的时间。
（2）根据速度乘时间等于路程，即可求出跑道的周长。
【解答】解：（1）8+90×8÷60
＝8+12
＝20（分）
答：爷爷一共走了20分钟。
（2）90×20＝1800（米）
答：环形跑道一周长1800米。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。
3．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？
【答案】62.8米。
【分析】当猫和老鼠第一次相遇时，两者行驶的路程和应该是圆的周长，先依据C＝πd，求出圆的周长，再依据“时间＝路程÷速度”，求出两者第一次相遇时需要的时间，然后求出两者的速度差，最后根据“路程＝速度×时间”即可解答。
【解答】解：3.14×50÷（21.98+9.42）×（21.98﹣9.42）
＝157÷31.4×12.56
＝5×12.56
＝10×6.28
＝62.8（米）
答：当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了62.8米。
【点评】本题解答起来虽然比较复杂，但是只要明确数量间的等量关系，代入数据即可解答。关键在于明白两者行驶的路程和应该是圆的周长，根据圆的周长公式求出圆的周长，再根据关系式：路程＝速度×时间，解决问题。
4．天天和妹妹同时从A点出发，沿一个长方形的场地相背而行．天天按A→B→C→D→A的顺序走，妹妹按A→D→C→B→A的顺序走，两人在距离C点12m处的E点相遇．已知天天和妹妹两人的速度比是13：12．
（1）这个场地的周长是多少米？
（2）如果这个长方形的宽是长的，那么这个场地的面积是多少平方米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两人在距离C点12m处的E点相遇，可得天天比妹妹多走了12×2＝24（米）；甲乙两人的路程之和即为这个场地的周长，所以求出甲乙的路程之和即可；天天和妹妹两人的速度比是13：12，时间一定，天天、妹妹的路程比为13：12，即天天和妹妹分别走了整个路程的、，甲比乙少走了总路程的，是24米，用除法求解即可；
（2）如果这个长方形的宽是长的，那么长与宽的比是1：7：3，再根据上题算出的周长，由按比分配可以求出长与宽，再根据长方形的面积公式进行解答．
【解答】解：（1）（12×2）÷（）
＝24
＝600（米）
答：这个场地的周长是600米．
（2）如果这个长方形的宽是长的，那么长与宽的比是1：7：3；
长：600÷2210（米）
宽：21090（米）
210×90＝18900（平方米）
答：这个场地的面积是18900平方米．
【点评】此题中分析出“甲乙两人的路程之和即为这个场地周长”，以及“天天比妹妹多走了总路程的，是12×2＝24米”，是解答本题的关键．
5．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？
【答案】这个环形跑道长500米。
【分析】根据题意得，环形跑道，反向而行则最后还是会相遇，同时出发则两人相遇时用的时间相等，两人都跑了50秒，跑道的长度等于小明行驶的路程加上小亮行驶的路程，可以用速度和乘时间；列式为（4+6）×50，据此解答即可。
【解答】解：（4+6）×50
＝10×50
＝500（米）
答：这个环形跑道长500米。
【点评】本题主要考查了行程问题。相遇问题：路程和＝速度和×时间；追及问题：路程差＝速度差×时间。
6．悦悦和爸爸、妈妈绕环形跑道跑步进行晨练。若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用3分，妈妈跑一圈用4分，悦悦跑一圈用6分，多少分后，悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇？相遇时，他们三人各跑了几圈？
【答案】12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇；相遇时，妈妈跑了4圈，爸爸跑了3圈，悦悦跑了6圈。
【分析】此题实际上就是求3，4，6的最小公倍数，这个最小公倍数就是他们在起点第一次相遇的时间；再用他们第一次相遇的时间除以他们各自跑一圈的时间，即可求得各自的圈数。
【解答】解：因为3、4、6的最小公倍数是12，
所以12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇。
12÷3＝4（圈）
12÷4＝3（圈）
12÷6＝2（圈）
答：12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇；相遇时，妈妈跑了4圈，爸爸跑了3圈，悦悦跑了6圈。
【点评】本题考查了公倍数应用题，考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。
7．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟．
（1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？
（2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把环形跑道的长度看作单位“1”，用1分别除以甲乙的时间，表示出甲乙的速度，两人分别在圆形跑道的直径两端上；然后用（相遇时的路程）除以两人的速度和就是相遇时间；
（2）同理，甲第一次追上乙，就比乙多行圈（追及距离），然后用除以两人的速度差就是追及时间．
【解答】解：（1）（1÷4+1÷6）
＝1.2（分钟）
答：相向而行，1.2分钟后相遇．
（2）（1÷4﹣1÷6）
＝6（分钟）
答：同向而行，6分钟后甲能够追上乙．
【点评】环形跑道问题，只要注意行驶的方向，不论是相遇还是追及，都要结合共行的路程和追及距离解答．
8．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？
【答案】见试题解答内容
【分析】同时出发，相背而行，经过4分钟相遇，则两人的速度和是400÷4米；同向而行，经过8分钟父亲可以追上儿子，此时父亲正好比儿子多跑一周，即400米，则两人速度差是每分400÷8米，根据和差问题公式可知，儿子的速度是每分：（400÷4﹣400÷8）÷2米，进而求出父亲的速度，再进一步分别求得在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟．
【解答】解：（400÷4﹣400÷8）÷2
＝（100﹣50）÷2
＝50÷2
＝25（米/分）
400÷4﹣25
＝100﹣25
＝75（米/分）
400÷75（分）
400÷25＝16（分）．
答：在跑道上走一圈，父亲需要分钟，儿子需要16分钟．
【点评】本题考查了环形跑道问题．首先根据路程差÷追及时间＝速度差，路程÷相遇时间＝速度和分别求出两人的速度差及速度和然后根据和差问题公式解答是完成本题的关键．
9．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。
【答案】3：1。
【分析】假设环形运动场的周长是300米，反向而行，3分钟后第一次相遇，则两人共行了300米，然后根据“路程和÷相遇时间＝速度和”求出两个人的速度和；同向而行，则6分钟相遇，可知甲比乙多行300米，根据“路程差÷相遇时间＝速度差”求出两个人的速度差，然后根据和差问题公式和比的意义进一步解答即可。
【解答】解：假设环形运动场的周长是300米，
甲乙的速度和为：300÷3＝100（米/分）
甲乙的速度差为：300÷6＝50（米/分）
甲的速度为：（100+50）÷2＝75（米/分）
乙的速度为：（100﹣50）÷2＝25（米/分）
75：25＝3：1
答：甲、乙两人的速度比是3：1。
【点评】完成本题要注意两人同向行时是追及问题，反向行时是相遇问题。
10．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？
【答案】0.5分钟。
【分析】根据题意，王老师和张老师围着环形跑道向相反方向跑的过程，可以看作相遇问题，第一次相遇二人共行路程和为跑道全长360米；利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入，进行计算即可。
【解答】解：360÷（330+390）
＝360÷720
＝0.5（分钟）
答：经过0.5分钟两人第一次相遇。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。
11．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，正好跑了一个环形跑道的周长，由于时间相同，所以跑的路程比就等于速度比，即7：9；把环形跑道的周长看作单位“1”，那么淘淘行了全程的，壮壮行了全程的，那么壮壮比淘淘多跑的50米就相当于环形跑道周长的（），然后根据分数除法的意义解答即可．
【解答】解：50÷（）
＝50
＝400（米）
答：学校环形跑道的周长是400米．
【点评】解答本题关键是明确时间一定，路程比就等于速度比；然后找到具体数量对应的分率，再根据分数除法的意义解答即可．
12．小红和小华同时以72米/分的速度从跑道点A出发相背而行，2分钟后分别走到点B和点C的位置，这时点B、C之间的距离占跑道总长的。跑道总长多少米？
【答案】384千米。
【分析】先利用速度×时间＝路程，求出小红和小华走的路程；两人走的路程和占总跑道长的1，再根据除法的意义即可解答。
【解答】解：72×2×2÷（1）
＝288
＝384（千米）
答：跑道总长384千米。
【点评】本题考查了环形跑道问题，关键是求出（1）对应的数量是多少。
13．小明和小丽在一条彩虹环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。2分钟后，两人第一次相遇。
（1）这个彩虹环形跑道长多少米？
（2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少时间后两人能再次相遇？
【答案】（1）1200米；（2）600秒。
【分析】（1）两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度，再根据速度和×时间＝路程，可以计算出这个环形跑道长多少米。
（2）如果相遇后两人改为同向而行，属于追及问题，求多少秒后两人能再次相遇，即用环形跑道的长度除以两个人的速度差。
【解答】解：（1）2分钟＝120秒
（4+6）×120
＝10×120
＝1200（米）
答：这个彩虹环形跑道长1200米。
（2）1200÷（6﹣4）
＝1200÷2
＝600（秒）
答：如果相遇后两人改为同向而行，那么600秒后两人能再次相遇。
【点评】本题考查相遇问题和追及问题，明确时间、路程、速度和之间的关系是解题的关键。
14．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？
【答案】4分钟。
【分析】因为甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，就在P点相遇一次，然后先求出甲（乙）跑一圈用的时间，再乘其跑的圈数即可。
【解答】解：速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，
250÷5×5＝250（秒）
250秒＝4（分钟）
答：从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是4分钟。
【点评】此题属于复杂的环形跑道问题，解答此题的关键是明确圈数比和速度比的关系。
15．小莉和奶奶一起去小花园散步。小莉绕小花园走一圈需要5分钟，奶奶绕小花园走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后小莉超过奶奶一整圈？
【答案】分钟；30分钟。
【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小莉的速度和奶奶的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可；
（2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小莉的速度和奶奶的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追及时间，解答即可。
【解答】解：（1）1÷（1÷5+1÷6）
＝1
（分钟）
答：如果两人同时同地出发，相背而行，分钟后相遇。
（2）1÷（1÷5﹣1÷6）
＝1
＝30（分钟）
答：如果两人同时同地出发，相向而行，30分钟后小莉超出奶奶整整一圈。
【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。
16．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？
【答案】见试题解答内容
【分析】把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，分别表示出壮壮的速度（）和爸爸的速度（），然后根据路程和÷速度和＝相遇时间，解答即可．
【解答】解：2小时＝120分钟，1.5小时＝90分钟
1÷（）
＝1
（分钟）
答：如果两人同时出发，相背而行，至少分钟后相遇．
【点评】此题属于行程问题，明确把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答．
17．小龙和小华一起去学校的跑道上跑步。小龙跑一圈需要4分钟，小华跑一圈需要3分钟。两人同时从同一地点出发，相背而行，多少分钟后相遇？
【答案】分钟。
【分析】将跑道的总长看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别求出两人的速度，再根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入求解即可。
【解答】解：1÷（）
＝1
（分钟）
答：两人同时从同一地点出发，相背而行，分钟后相遇。
【点评】本题主要考查了环形跑道问题，明确相遇时共行了一个跑道的长度是本题解题的关键。
18．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．
（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差＝环形场地的路程，列出方程即可求解；
（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程＝环形场地的路程，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有
3x+150＝200×3，
3x+150＝600
3x＝450
x＝150
150+200＝350（米）
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
（2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2
＝（600﹣360）÷1.2
＝240÷1.2
＝200（米），
200﹣150＝50（米）．
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
【点评】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度．
19．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？
【答案】晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。
【分析】如果同向而行150秒相遇，则相遇时晓晓比星星正好多行一周，然后用300除以150就是他们的速度差。如果背向而行30秒相遇，则相遇时晓晓和星星正好行了一周，然后用300除以30就是它们的速度和，再根据和差公式可得晓晓和星星的速度。
【解答】解：300÷150＝2（米/秒）
300÷30＝10（米/秒）
（10+2）÷2
＝12÷2
＝6（米/秒）
10﹣6＝4（米/秒）
答：晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。
【点评】首先根据相遇问题及追及问题公式求出它们的速度和与速度差是完成本题的关键。
20．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？
【答案】200秒。
【分析】小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒，则小军每秒比小虎多跑（6﹣4＝2）米，又两人同时同地同向而行，那么小军第一次追上小虎时，小军正好比小虎多跑了一周即400米，则距离差÷速度差＝追及时间。据此解答即可。
【解答】解：400÷（6﹣4）
＝400÷2
＝200（秒）
答：200秒后小军第一次追上小虎。
【点评】在环形跑道上的追及问题，根据所行距离差÷速度差＝追及时间进行解答。
21．李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的速度是225米/分，王亮的速度是215米/分，经过18分钟两人还相距40米．水库四周的道路长多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】首先用李军的速度加上王亮的速度，求出两人的速度之和是多少；然后用它乘两人相遇用的时间，然后再加上40米，即可求出水库四周的道路长多少米．
【解答】解：（225+215）×18+40
＝440×18+40
＝7920+40
＝7960（米）
答：水库四周的道路长7960米．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之和是多少．
22．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米．
（1）求最慢运动员的速度．
（2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设最慢的速度为x千米/分钟，则最快的速度为1.2x千米/分钟．速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，说明35分钟速度最快的运动员比速度最慢的运动员多行7千米．根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员35分钟行的距离，根据此路程之差等于7千克即可列方程求出速度最慢的运动员的速度．
（2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最快运动员的速度是1.2千米/分钟．设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米，根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员所行的路程，据此即可列方程解答．
【解答】解：（1）设最慢的运动员的速度为x千米/分钟，则最快的运动员的速度为1.2x千米/分钟
1.2x×35﹣x×35＝7
35×（1.2x﹣x）＝7
35×0.2x＝7
35×0.2x÷35＝7÷35
0.2x＝0.2
0.2x÷0.2＝0.2÷0.2
x＝1
答：最慢运动员的速度是1千米/分钟．
（2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最块运员的速度是1.2千米/分钟
设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米
1.2y﹣y＝1
0.2y＝1
0.2y÷0.2＝1÷0.2
y＝5
35+5＝40（分钟）
答：经过40分钟，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米．
【点评】关键明白，第一次相遇时，快者比慢者多行1周，即7千米；第二次相距1千米时，快者比慢者多行了2千米．根据路程、速度、时间三者之间的关系即可列方程解答．
23．李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？
【答案】990米。
【分析】两人同时从同一地点出发，反向而行．李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，每秒两人共跑5+6＝11（米），然后根据速度×时间＝路程解答即可。
【解答】解：（5+6）×90
＝11×90
＝990（米）
答：天鹅湖的周长是990米。
【点评】本题考查了行程问题，根据总路程＝速度和×相遇时间进行解答即可。
24．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？
【答案】180秒。
【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上张老师时，那么李老师比张老师正好多行360米，然后除以速度差即可。
【解答】解：360÷（6.5﹣4.5）
＝360÷2
＝180（秒）
答：经过180秒李老师正好比张老师多跑一圈。
【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。
25．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？
【答案】200秒。
【分析】已知甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，则乙同学第一次追上甲同学时，乙同学比甲同学多跑了1圈，即乙同学比甲同学多跑了400米，根据相遇时间＝路程差÷速度差，即可求出。
【解答】解：400÷（7﹣5）＝200（秒）
答：经过200秒乙同学第一次追上甲。
【点评】本题的关键是当乙同学第一次追上甲时，乙同学比甲同学多跑了一圈。
26．周末，李凯与爸爸妈妈一起在体育馆运动场跑步锻炼。李凯跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。如果他们同时同地同向起跑，多少分钟后他们三人再次相遇？这时李凯跑了多少圈？
【答案】至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。
【分析】可以通过求3、4、6的最小公倍数的方法求出再次相遇时间，然后用最小公倍数除以李凯跑一圈各自用的时间，就可求出它们各自跑的圈数
【解答】解：3、4、6的最小公倍数是12，所以至少12分钟后三人在起点再次相遇；
李凯跑了：12÷6＝2（圈）
答：至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。
【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。
27．如图，在边长为50米的正三角形上，有A、B两人分别从不同的顶点处，按逆时针方向同时出发，A速度为2米/秒，B速度为1.2米/秒．问出发多长时间，A，B二人第一次在同一条边上？
【答案】见试题解答内容
【分析】A、B的起始位置有两种可能
（1）A在B后50米，已知A速大于B速，那么当A走完一边50米进入另一边时，B还没有走完50米，而A走完50米需50÷2＝25秒，所以此情况下，出发25秒后，A、B两人第一次走在同一条边上．
（2）AB的速度比是5：3，A走一圈150米B走90米；如果A在B前面50米的话，得走一圈才能共边，所以是150÷2＝75秒
【解答】解：A、B的起始位置有两种可能
（1）A在B后50米：
已知A速大于B速，那么当A走完一边50米进入另一边时，B还没有走完50米，而A走完50米需50÷2＝25秒，
所以此情况下，出发25秒后，A、B两人第一次走在同一条边上．
（2）AB的速度比是5：3，A走一圈150米B走90米；如果A在B前面50米的话，得走一圈才能共边，所以是150÷2＝75秒
答：出发25秒或75秒后，AB二人第一次在同一边上．
【点评】本题主要考查环形跑道的追及问题，关键利用路程差、速度差和追及时间之间的关系做题．
28．星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？
【答案】36分钟。
【分析】爸爸回到起点用的时间是4分钟的整数倍，笑笑回到起点用的时间是9分钟的整数倍，则他们第一次同时回到起点就是4和9的最小公倍数，因此得解。
【解答】解：4和9的最小公倍数是：4×9＝36
那么他们第一次同时回到起点就是36分钟。
答：他们36分钟后可以在起点第一次相遇。
【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。
29．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走
一圈需要5分钟。
（1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？
（2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？
【答案】（1）；
（2）20。
【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。
（2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追击时间，解答即可。
【解答】解：（1）1÷（）
＝1
（分钟）
答：分钟相遇。
（2）1÷（）
＝1
＝20（分钟）
答：20分钟后小明超出老师一整圈。
【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。
30．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？
【答案】415米。
【分析】根据题意，5分后两人第二次相遇，每相遇一次，甲、乙两人就共行400米，那么5分钟跑了两圈，即400×2＝800（米），用路程除以相遇时间可以求出他们的速度和，然后求出甲的速度，再进一步解答即可。
【解答】解：400×2÷5
＝800÷5
＝160（米/分钟）
（160+6）÷2＝83（米/分钟）
83×5＝415（米）
答：两人第二次相遇时甲一共跑了415米。
【点评】本题的关键是理解5分钟跑了两圈，然后再根据路程÷时间＝速度进一步解答即可。
31．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。
（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？
（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
【答案】（1）300米/分钟；
（2）3圈。
【分析】（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程，用路程÷相遇时间＝速度和，速度和减去小王的速度，即可求出小张的速度；
（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），用路程÷速度差＝追及时间，再进一步即可解答。
【解答】解：（1）500÷1﹣200
＝500﹣200
＝300（米/分钟）
答：小张的速度是300米/分钟。
（2）500÷（300﹣200）
＝500÷100
＝5（分钟）
300×5÷500
＝1500÷500
＝3（圈）
答：小张跑3圈后才能第一次追上小王。
【点评】本题关键在于理清在不同的运动过程中，两人的路程和、路程差、速度和、速度差对应的量是多少，然后进行求解。
32．甲乙两人在环形跑道上赛跑，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，两人同时同地相向而行，1分钟后，两人第二次相遇，求跑道的周长．
【答案】见试题解答内容
【分析】1分钟＝60秒，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，1分钟后，两人第二次相遇，那么每相遇一次多行一个跑道的周长，第一次相遇的时间是60÷2＝30秒，多跑1×30＝30米，所以跑道的周长是30米．
【解答】解：1分钟＝60秒
60÷2＝30（秒）
（7﹣6）×30＝30（米）
答：跑道的周长是30米．
【点评】明确距离差÷速度差＝追及时间求出第一次相遇时所路程是完成本题的关键．
33．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是400÷10＝40米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和为40米/秒，列出方程求解即可．
【解答】解：400÷10＝40（米/秒）
设原来甲的速度是x米/秒，则
x+x+4＝40
2x+4＝40
2x＝36
x＝18
答：原来甲的速度是18米/秒．
【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力．
34．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答）
【答案】见试题解答内容
【分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即400米，设笑笑每分钟跑x米，在20分钟跑20x米，淘气跑了240×20米，然后根据笑笑跑的路程﹣淘气跑的路程＝400米列出方程求解．
【解答】解：设笑笑每分钟跑x米，则：
20x﹣240×20＝400
20x﹣4800＝400
20x＝5200
x＝260
答：笑笑每分钟跑260米．
【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度得出是解题关键．
35．学校操场的环形跑道长400米，甲、乙两名同学在跑道上同一起点出发，沿相反方向步行，经过2.5分钟相遇。甲每分钟走85米，乙每分钟走多少米？
【答案】75米。
【分析】根据题意，设乙每分钟走x米，甲每分钟走85米，2.5分钟走（85×2.5）米，乙2.5分钟走2.5x米，甲、乙走的距离和正好等于环形跑道的长，列方程：2.5x+85×2.5＝400，然后解方程即可。
【解答】解：设乙每分钟走x米。
2.5x+85×2.5＝400
2.5x+212.5＝400
2.5x＝400﹣212.5
2.5x＝187.5
x＝75
答：乙每分钟走75米。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
36．小欧和爸爸去操场上散步。小欧走一圈要8分钟，爸爸走一圈需要10分钟。如果两人同时从同一个地方出发，背向而行，相遇时他们都走了多少分钟？
【答案】分钟。
【分析】在操场背向而行第一次相遇，就是说两人行驶的路程和是操场的长度，把操场的长度看作单位“1”，先表示出两人的速度，再求出两人的速度和，最后根据“时间＝路程÷速度”即可解答。
【解答】解：1÷（）
＝1
（分钟）
答：相遇时他们都走了分钟。
【点评】解答本题的关键是明确：两人行驶的路程和是操场的长度，解答依据是等量关系式：时间＝路程÷速度。
37．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。
【答案】7。
【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。
【解答】解：400÷24（米/秒）
设原来甲的速度是x米/秒。
x+x+2
2x+2
2x
x＝7
答：甲原来的速度是7米/秒。
【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力。
38．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？
【答案】24分钟。
【分析】求出6和8的最小公倍数，即可求出她们可以在该起点第一次相遇的时间。
【解答】解：6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数24，所以24分钟相遇她们可以在该起点第一次相遇。
答：至少24分钟后她们可以在该起点第一次相遇。
【点评】解答本题的关键是求出6和8的最小公倍数。
39．有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？
【答案】30分钟。
【分析】由于每相遇一次，快者都比慢者多行300米，则甲乙每次相遇时间是：300÷（120﹣100）＝15分钟，甲丙每相遇一次需要300÷（120﹣70）＝6分钟，乙丙每相遇一次需要300÷（100﹣70）＝10分钟，则他们同时相遇需要的时间应是6、10、15的公倍数。6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。
【解答】解：300÷（120﹣100）
＝300÷20
＝15（分钟）
300÷（120﹣70）
＝300÷50，
＝6（分钟）
300÷（100﹣70）
＝300÷30
＝10（分钟）
6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。
答：至少30分钟后，三人又可相聚。
【点评】首先根据路程差÷速度差＝追及时间分别求出三人相遇一次需要的时间是完成本题的关键。
40．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲乙两人第一次相遇．甲行了AC，乙行了BC；第二次相遇，甲行了全程加上BD，乙行了全程加上AD，因此，这个路程和是三个全程，所以全程加上BD是AC的三倍．根据“若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处”说明A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍，据此解答即可．
【解答】解：A与D之间的距离为：60×2＝120（千米），
甲行第二次相遇时，甲行的路程为：60×3＝180（千米），
B、D之间的距离为：（180﹣120）÷2＝30（千米），
从A地到B地的全程是：30+120＝150（千米），
答：从A地到B地的全程是150千米．
【点评】本题主要考查了行程问题中的路程、速度与时间的关系，解答本题的关键是理清二次相遇时甲行的路程是第一次的三倍以及A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍．
41．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？
【答案】AD。
【分析】根据路程＝速度×时间，相遇时间相同，两次相遇所走的路程比就是速度比，甲的速度是乙的速度的3倍，甲走过的路程也就是乙走过路程的3倍；第一次相遇，两点总路程为正方形两个边长，所以甲走了个边长，乙走了个边长，即在CD中点相遇，从第二次相遇开始，两点两次相遇间走过的路程和是正方形4个边长，甲走3个边长，乙走1个边长，第二次相遇在AD中点，第三次相遇在AB中点，第四次相遇在BC中点，第五次相遇在CD中点，和第一次相遇地点相同，所以，每4组为一个循环，计算2018除以4的余数，便可知道第2018次相遇在哪边。
【解答】解：设正方形边长为a，
因为甲的速度是乙的速度的3倍，
所以时间相同，甲、乙的路程比为3：1，
第一次相遇，两点路程和为2a，则甲走了a，乙走了a，相遇地点为CD中点；
第二次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AD中点；
第三次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AB中点；
第四次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为BC中点；
第五次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为CD中点；
……
可以发现，每四次循环一次，
2018÷4＝504……2
所以，第2018次相遇地点和第二次的相同，即AD中点。
答：它们第2018次相遇在AD边上。
【点评】本题主要考查了环形跑道多次相遇问题，根据速度比得出两点的路程比，结合正方形四边相等的特性，得出前几次相遇的地点，发现变化规律，是本题解题的关键。
42．小张和小李在400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行．小张每秒跑4米，小李每秒跑6米，出发后经过多少分钟两人第一次相遇．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题可以看作追及问题来解答．第一次相遇时，小李比小张多跑一圈400米，即追及路程，所以用400除以它们的速度差就是追及时间．
【解答】解：400÷（6﹣4）
＝400÷2
＝200（秒）
（分钟）
答：出发后经过分钟两人第一次相遇．
【点评】此题属于较复杂的追及应用题，此类题的解答方法是根据“追及路程÷速度差＝追及时间”列式；关键是明确第一次相遇时，小李比小张多跑一圈的距离．
43．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑一个来回所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发．
【解答】解：240×2＝480（米）
480÷4＝120（秒），
480÷5＝96（秒），
480÷3＝160（秒），
120、96、160的最小倍数是480；
答：至少经过480秒三人又同时从出发点出发．
【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用．
44．在一个神话故事中，有一只小兔住在一个周长为1千米的圆形神湖旁，A、B两点把这个神湖分成两部分（如图），已知小兔从B点出发，沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳千米休息一次，如果跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖半径就扩大一倍，现已知小兔共休息了1000次，这时神湖周长是多少千米？（AB为圆的直径）
【答案】见试题解答内容
【分析】把周长为1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息时正好在A点，于是经过特别通道到B点，此时神湖周长变成2千米；我们再把新的神湖分成16段，现在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A点休息…如此继续下去，休息到16次、32次、64次、128次…小兔子才在A点休息，神湖周长是2千米、4千米、8千米…4+8+16+32+64+128+256＝508＜1000，4+8+16+32+64+128+256+512＞1000，所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A点，据此即可求出此时神湖的周长．
【解答】解：如图
把周长为1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息时正好在A点
休息后小兔子经过特别通道到B点，此时神湖周长变成2千米
再把新的神湖分成16段，现在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A点休息
…
即兔子跳了4次、8次、16次、32次、64次、128次…
神湖周长是2千米、4千米、8千米、16千米…
因为：4+8+16+32+64+128+256＝508＜1000
4+8+16+32+64+128+256+512＞1000
所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A点，此时神湖周长是128千米
答：所以休息1000次后，神湖周长是128千米．
【点评】此题较难．关键是明白小兔子休息1000次后，有多少次在A点，因为只有在A点休息后，神湖周长才扩大一倍．
45．如图，一条圆形跑道，AB是直径。甲乙两人分别从A、B两点出发，按箭头方向前进，他们在离A点75米的C点相遇，接着又在离B点25米的D点相遇。圆形跑道的长是多少米？
【答案】400米。
【分析】由于甲、乙两人分别从圆形跑道直径AB两端同时出发相向而行，则第一次相遇时二人共行了半个圆周，甲行了AC＝75米，即每行半个圆周，甲就行75米，第二次相遇，二人共行了1.5个圆周，则甲应该行：75×3＝225（米），即：AD＝225米，又：BD＝25米，所以半个圆周：AB＝AD﹣BD＝225﹣25＝200（米），由此即可求出圆的周长。
【解答】解：跑道的周长为：
（75×3﹣25）×2
＝200×2
＝400（米）
答；圆形跑道的长是400米。
【点评】本题主要考查了环形跑道，解题的关键是认真分析题意，弄清相遇问题中的数量关系，进行分析解答即可。
46．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？
【答案】7.5分钟。
【分析】如果甲比乙多跑1圈，那么甲就比乙多跑300米，然后除以两者的速度差即可。
【解答】解：300÷（280﹣240）
＝300÷40
＝7.5（分钟）
答：经过7.5分钟甲比乙多跑1圈。
【点评】解答本题关键是明确甲比乙多跑300米，然后根据“路程差÷速度差＝追及时间”解答即可。
47．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲的速度是乙的3倍，即甲乙的速度差是50×2＝100米．现在现在甲在乙前面100米，那么甲的追及距离是1000﹣100＝900米，然后再除以甲乙的速度差可得多少分钟后两人相遇．
【解答】解：（1000﹣100）÷（50×2）
＝900÷100
＝9（分钟）
答：9分钟后两人相遇．
【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是求出追及距离和速度差．
48．同样时间里，兔子能跑3步，狗能跑2步，兔子一步跑1米，狗一步跑1.5米，若兔子和狗在50米长的跑道上进行往返跑，它们同时出发，求兔子折返几次后刚好比狗快6米？
【答案】6次。
【分析】先用往返一次的路程除以每步的米数求出各自的步数，再根据狗跑2步等于兔子跑3步，再把狗跑的步数转化为兔子跑的步数，然后进一步解答即可。
【解答】解：兔子跑一个往返需要：
50×2÷1＝100（步）
狗跑一个往返需要：
50×2÷1.5≈67（步）
狗跑的步数相当于兔子跑了：
67÷2×3≈101（步）
因此兔子折返1次领先：
101﹣100＝1（步）
6÷1＝6（次）
答：兔子折返6次后刚好比狗快6米。
【点评】此题解答的关键是求出狗和兔子跑一个来回需要的步数。
49．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。
（1）百家湖跑道全长多少米？
（2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？
【答案】（1）8500米；（2）20分钟。
【分析】（1）在环形跑道上反向而行，可按相遇问题计算，跑道的长度就是相遇路程，相遇路程＝速度和×相遇时间。
（2）在环形跑道上同向而行，路程差÷速度差＝时间。
【解答】解：（1）（160+180）×25
＝340×25
＝8500（米）
答：百家湖跑道全长8500米。
（2）400÷（180﹣160）
＝400÷20
＝20（分钟）
答：如果相遇后改为同向而行，那么20分钟后小刚和小明相距400米。
【点评】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。
50．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？
【答案】6米。
【分析】兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，则两人速度和是每秒1.3+1.2＝2.5（米），两人每共行一周就相遇一次，则相遇第10次需要时间30×10÷（1.3+1.2）＝120（秒），第十次相遇，妹妹已经走了120×1.2＝144 （米）；144÷30＝4（圈）……24（米），然后用30减去24即可解决问题。
【解答】解：第十次相遇时妹妹已经走的路程：
30×10÷（1.3+1.2）×1.2
＝300÷2.5×1.2
＝144（米）
144÷30＝4（圈）……24（米）
30﹣24＝6 （米）
答：妹妹还需走6米才能回到出发点。
【点评】此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程。
51．小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？
【答案】20秒。
【分析】根据“小明和小红的速度和×相遇时间＝环形跑道的长度”可得：用200除以两个人的速度和即可。
【解答】解：200÷（5.2+4.8）
＝200÷10
＝20（秒）
答：经过20秒两人第一次相遇。
【点评】解答本题关键是明确两人第一次相遇共行了200米。
52．运动场边沿的跑道一周长400米。小星、小文两人同时同地沿跑道跑步，小文每分钟跑290米，小星每分钟跑210米。当他们再次到达同一地点时已经过了多少时间？
【答案】5分钟或0.8分钟。
【分析】本题分同向和向背两种情况解答：
（1）在环形跑道上同时同地同向而行，当小文第一次追上小星时，也就是小文比小星多跑一圈，先求出两人的速度差，再依据时间＝路程差÷速度差即可求出第一次追上小星的时间。
（2）在环形跑道上同时同地向背而行，则他们第一次在同一地点相遇，他们共行了400米，先求出两人的速度和，再依据时间＝路程÷速度和即可求出第一次相遇的时间。
【解答】解：（1）400÷（290﹣210）
＝400÷80
＝5（分）
（2）400÷（290+210）
＝400÷500
＝0.8（分）
答：当他们再次到达同一地点时已经过了5分钟或0.8分钟。
【点评】本题考查了环形跑道上的相遇问题和追及问题。相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度。
53．附加题：小启和小智两人绕着环形跑道同时同地背向跑步，小启每秒跑5米，小智每秒跑6米，小启和小智第一次相遇后，又跑了1分钟，才回到起点。小启自己绕环形跑道跑一圈要多少秒？这个环形跑道长多少米？
【答案】110秒，550米。
【分析】先根据“路程＝速度×时间”求出小启60秒跑的路程，即小智相遇时跑的路程；再用小智相遇时跑的路程除以小智的速度，即相遇时用的时间，然后进一步解答即可。
【解答】解：1分钟＝60秒
5×60÷6＝50（秒）
50+60＝110（秒）
（5+6）×50
＝11×50
＝550（米）
答：小启自己绕环形跑道跑一圈要110秒，这个环形跑道长550米。
【点评】本题属于环形跑道问题，关键明确小启60秒跑的路程等于相遇时小智跑的路程。
54．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】因为两人是反向跑步，第二次相遇就是两人共跑了2圈，每一圈用时100÷2＝50秒，然后根据“速度和×相遇时间＝路程”列式可求出跑道长（5+3）×50＝400（米）．
【解答】解：（5+3）×（100÷2）
＝8×50
＝400（米）
答：跑道长400米．
【点评】此题属于相遇问题，考查了“速度和×相遇时间＝路程”这一知识．关键是求出一次相遇时间．
55．悠悠和青青比赛跑步，悠悠跑一圈需要2分钟，青青跑一圈需要3分钟，他们几分钟之后可以在起点第一次相遇？
【答案】6分钟
【分析】悠悠回到起点用的时间是2分钟的整数倍，青青回到起点是3分钟的整数倍，则第一次同时回到起点的时间就是2和3的最小公倍数，因此得解。
【解答】解：2和3互质，
2×3＝6（分钟）
答：他们6分钟后可以在起点第一次相遇。
【点评】本题灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。
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(
第一部分
典型例题
)
例题1：甲、乙两人在周长250米的环形跑道上的同一点同时同向出发沿跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，那么从出发到两人第8次在这一点相遇所用去的时间是多少秒？
【答案】见试题解答内容
【分析】因为甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，就在起点相遇一次，两人第8次相遇，则甲跑5×8＝40圈，乙正好跑3×8＝24圈，先求出甲（乙）跑一圈用的时间，再乘以其跑的圈数，然后解答即可．
【解答】解：速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，
（250÷5）×（5×8）
＝50×40
＝2000（秒）
答：从出发到两人第8次在这一点相遇所用去的时间是2000秒．
【点评】此题属于复杂的追及应用题，解答此题的关键是根据速度比是5：3，所以甲5圈，乙正好3圈，两人就在起点相遇一次，求出8次甲或乙跑的圈数，进一步解答即可．
例题2：学校操场的跑道一圈250米，小林和小方在跑道的同一地点同时向相同方向出发。小林每分钟跑150米，小方每分钟跑125米。经过几分钟，小林超过小方1圈？
【答案】10分钟。
【分析】首先用小林每分钟跑的路程减去小方每分钟跑的路程，求出两人的速度之差是多少；然后根据“路程÷速度＝时间”，用250除以两人的速度之差，求出经过几分钟小林超过小方1圈即可。
【解答】解：250÷（150﹣125）
＝250÷25
＝10（分钟）
答：经过10分钟小林超过小方1圈。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之差是多少。
例题3：明明的速度是280米/分，军军的速度是220米/分。环湖公路一周的长度是5400米，两人同时反方向跑步，估计两人在何处相遇，在图上标出来。经过多少分钟他们会相遇？
【答案】10.8分钟。
【分析】因为280＞220，所以相遇点靠近军军那一方，然后根据相遇时间＝环湖公路一周的长度÷速度和即可。
【解答】解：因为280＞220，所以相遇点靠近军军那一方，如图：
5400÷（280+220）
＝5400÷500
＝10.8（分钟）
答：经过10.8分钟他们会相遇。
【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答；注意相遇时间＝路程÷速度和。
例题4：在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米．两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米，则甲每秒比乙多跑5﹣4.4米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周即300米，所以两人相遇所用时间是300÷（5﹣4.4）秒，此时乙跑了300÷（5﹣4.4）×4.4米，除以环形跑道的长度，余数即可得两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米．
【解答】解：300÷（5﹣4.4）×4.4
＝300÷0.6×4.4
＝2200（米），
2200÷300＝7（圈）…100（米）
答：两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前100米．
【点评】首先求出两人速度差，根据追及距离÷速度差＝追及时间求出两人第一次相遇所需时间是完成本题的关键．
例题5：果果和豆豆在环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。果果每秒跑2米，豆豆每秒跑3米，40秒后两人相遇。
①环形跑道长多少米？
②相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后豆豆和果果再次相遇？
【答案】①200米；②200秒。
【分析】①根据“速度和×相遇时间＝路程”，求出环形跑道长多少米即可。
②相遇后两人改为同向而行，那么豆豆和果果再次相遇，豆豆比果果多行1圈，然后根据“相遇时间＝路程÷速度差”解答即可。
【解答】解：①（2+3）×40
＝5×40
＝200（米）
答：环形跑道长200米。
②200÷（3﹣2）
＝200÷1
＝200（秒）
答：相遇后两人改为同向而行，那么200秒后豆豆和果果再次相遇。
【点评】本题考查了环形跑道问题，要结合相遇和追及问题的解答方法列式计算。
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第二部分
知识精讲
)
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知识清单+方法技巧
) 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．
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第三部分
高频真题
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1．太仓市民公园的环形跑道长1260米。小敏和妈妈同时从南门口出发，沿相反方向步行，小敏的速度是65米/分，妈妈的速度是75米/分。8分钟后她们两人能相遇吗？
2．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。
（1）爷爷一共走了多少分钟？
（2）环形跑道一周长多少米？
3．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？
4．天天和妹妹同时从A点出发，沿一个长方形的场地相背而行．天天按A→B→C→D→A的顺序走，妹妹按A→D→C→B→A的顺序走，两人在距离C点12m处的E点相遇．已知天天和妹妹两人的速度比是13：12．
（1）这个场地的周长是多少米？
（2）如果这个长方形的宽是长的，那么这个场地的面积是多少平方米？
5．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？
6．悦悦和爸爸、妈妈绕环形跑道跑步进行晨练。若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用3分，妈妈跑一圈用4分，悦悦跑一圈用6分，多少分后，悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇？相遇时，他们三人各跑了几圈？
7．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟．
（1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？
（2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？
8．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？
9．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。
10．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？
11．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？
12．小红和小华同时以72米/分的速度从跑道点A出发相背而行，2分钟后分别走到点B和点C的位置，这时点B、C之间的距离占跑道总长的。跑道总长多少米？
13．小明和小丽在一条彩虹环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。2分钟后，两人第一次相遇。
（1）这个彩虹环形跑道长多少米？
（2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少时间后两人能再次相遇？
14．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？
15．小莉和奶奶一起去小花园散步。小莉绕小花园走一圈需要5分钟，奶奶绕小花园走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后小莉超过奶奶一整圈？
16．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？
17．小龙和小华一起去学校的跑道上跑步。小龙跑一圈需要4分钟，小华跑一圈需要3分钟。两人同时从同一地点出发，相背而行，多少分钟后相遇？
18．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．
（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
19．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？
20．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？
21．李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的速度是225米/分，王亮的速度是215米/分，经过18分钟两人还相距40米．水库四周的道路长多少米？
22．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米．
（1）求最慢运动员的速度．
（2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？
23．李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？
24．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？
25．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？
26．周末，李凯与爸爸妈妈一起在体育馆运动场跑步锻炼。李凯跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。如果他们同时同地同向起跑，多少分钟后他们三人再次相遇？这时李凯跑了多少圈？
27．如图，在边长为50米的正三角形上，有A、B两人分别从不同的顶点处，按逆时针方向同时出发，A速度为2米/秒，B速度为1.2米/秒．问出发多长时间，A，B二人第一次在同一条边上？
28．星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？
29．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走
一圈需要5分钟。
（1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？
（2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？
30．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？
31．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。
（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？
（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
32．甲乙两人在环形跑道上赛跑，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，两人同时同地相向而行，1分钟后，两人第二次相遇，求跑道的周长．
33．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？
34．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答）
35．学校操场的环形跑道长400米，甲、乙两名同学在跑道上同一起点出发，沿相反方向步行，经过2.5分钟相遇。甲每分钟走85米，乙每分钟走多少米？
36．小欧和爸爸去操场上散步。小欧走一圈要8分钟，爸爸走一圈需要10分钟。如果两人同时从同一个地方出发，背向而行，相遇时他们都走了多少分钟？
37．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。
38．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？
39．有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？
40．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？
41．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？
42．小张和小李在400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行．小张每秒跑4米，小李每秒跑6米，出发后经过多少分钟两人第一次相遇．
43．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？
44．在一个神话故事中，有一只小兔住在一个周长为1千米的圆形神湖旁，A、B两点把这个神湖分成两部分（如图），已知小兔从B点出发，沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳千米休息一次，如果跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖半径就扩大一倍，现已知小兔共休息了1000次，这时神湖周长是多少千米？（AB为圆的直径）
45．如图，一条圆形跑道，AB是直径。甲乙两人分别从A、B两点出发，按箭头方向前进，他们在离A点75米的C点相遇，接着又在离B点25米的D点相遇。圆形跑道的长是多少米？
46．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？
47．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？
48．同样时间里，兔子能跑3步，狗能跑2步，兔子一步跑1米，狗一步跑1.5米，若兔子和狗在50米长的跑道上进行往返跑，它们同时出发，求兔子折返几次后刚好比狗快6米？
49．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。
（1）百家湖跑道全长多少米？
（2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？
50．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？
51．小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？
52．运动场边沿的跑道一周长400米。小星、小文两人同时同地沿跑道跑步，小文每分钟跑290米，小星每分钟跑210米。当他们再次到达同一地点时已经过了多少时间？
53．附加题：小启和小智两人绕着环形跑道同时同地背向跑步，小启每秒跑5米，小智每秒跑6米，小启和小智第一次相遇后，又跑了1分钟，才回到起点。小启自己绕环形跑道跑一圈要多少秒？这个环形跑道长多少米？
54．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？
55．悠悠和青青比赛跑步，悠悠跑一圈需要2分钟，青青跑一圈需要3分钟，他们几分钟之后可以在起点第一次相遇？
参考答案与试题解析
1．太仓市民公园的环形跑道长1260米。小敏和妈妈同时从南门口出发，沿相反方向步行，小敏的速度是65米/分，妈妈的速度是75米/分。8分钟后她们两人能相遇吗？
【答案】不能相遇。
【分析】本题中两人如果能相遇时，两个人的总路程等于环形跑道的长度；小敏的速度加上妈妈的速度得到两人一分钟行走的路程，再乘行走的时间，求出两人的总路程，然后与环形跑道的长度比较即可。
【解答】解：（65+75）×8
＝140×8
＝1120（米）
1120米＜1260米
答：8分钟后她们两人不能相遇。
【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。
2．小强的爷爷和小强沿着公园里的环形跑道散步。爷爷的速度为90米/分，小强的速度为60米/分。他们从同一地点同时出发，反向而行。相遇后继续前进，爷爷又走了8分钟回到出发点。
（1）爷爷一共走了多少分钟？
（2）环形跑道一周长多少米？
【答案】（1）20分钟；
（2）1800米。
【分析】（1）爷爷相遇后8分钟走的路程就是相遇时小强走的路程，用90乘8求出该路程，则两人相遇时的时间是（720÷60）分钟，再加上8分钟就是爷爷一共走的时间。
（2）根据速度乘时间等于路程，即可求出跑道的周长。
【解答】解：（1）8+90×8÷60
＝8+12
＝20（分）
答：爷爷一共走了20分钟。
（2）90×20＝1800（米）
答：环形跑道一周长1800米。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。
3．猫和老鼠在一个直径是50米的圆周上的同一地点向相反方向运动，猫每分钟走21.98米，老鼠每分钟走9.42米，当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了多少米？
【答案】62.8米。
【分析】当猫和老鼠第一次相遇时，两者行驶的路程和应该是圆的周长，先依据C＝πd，求出圆的周长，再依据“时间＝路程÷速度”，求出两者第一次相遇时需要的时间，然后求出两者的速度差，最后根据“路程＝速度×时间”即可解答。
【解答】解：3.14×50÷（21.98+9.42）×（21.98﹣9.42）
＝157÷31.4×12.56
＝5×12.56
＝10×6.28
＝62.8（米）
答：当猫和老鼠第一次相遇时，猫比老鼠多走了62.8米。
【点评】本题解答起来虽然比较复杂，但是只要明确数量间的等量关系，代入数据即可解答。关键在于明白两者行驶的路程和应该是圆的周长，根据圆的周长公式求出圆的周长，再根据关系式：路程＝速度×时间，解决问题。
4．天天和妹妹同时从A点出发，沿一个长方形的场地相背而行．天天按A→B→C→D→A的顺序走，妹妹按A→D→C→B→A的顺序走，两人在距离C点12m处的E点相遇．已知天天和妹妹两人的速度比是13：12．
（1）这个场地的周长是多少米？
（2）如果这个长方形的宽是长的，那么这个场地的面积是多少平方米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据两人在距离C点12m处的E点相遇，可得天天比妹妹多走了12×2＝24（米）；甲乙两人的路程之和即为这个场地的周长，所以求出甲乙的路程之和即可；天天和妹妹两人的速度比是13：12，时间一定，天天、妹妹的路程比为13：12，即天天和妹妹分别走了整个路程的、，甲比乙少走了总路程的，是24米，用除法求解即可；
（2）如果这个长方形的宽是长的，那么长与宽的比是1：7：3，再根据上题算出的周长，由按比分配可以求出长与宽，再根据长方形的面积公式进行解答．
【解答】解：（1）（12×2）÷（）
＝24
＝600（米）
答：这个场地的周长是600米．
（2）如果这个长方形的宽是长的，那么长与宽的比是1：7：3；
长：600÷2210（米）
宽：21090（米）
210×90＝18900（平方米）
答：这个场地的面积是18900平方米．
【点评】此题中分析出“甲乙两人的路程之和即为这个场地周长”，以及“天天比妹妹多走了总路程的，是12×2＝24米”，是解答本题的关键．
5．小红和小宁在环形跑道上跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行。小红的速度是6米/秒，小宁的速度是4米/秒，经过50秒两人相遇。这个环形跑道长多少米？
【答案】这个环形跑道长500米。
【分析】根据题意得，环形跑道，反向而行则最后还是会相遇，同时出发则两人相遇时用的时间相等，两人都跑了50秒，跑道的长度等于小明行驶的路程加上小亮行驶的路程，可以用速度和乘时间；列式为（4+6）×50，据此解答即可。
【解答】解：（4+6）×50
＝10×50
＝500（米）
答：这个环形跑道长500米。
【点评】本题主要考查了行程问题。相遇问题：路程和＝速度和×时间；追及问题：路程差＝速度差×时间。
6．悦悦和爸爸、妈妈绕环形跑道跑步进行晨练。若他们同时从起点出发，爸爸跑一圈用3分，妈妈跑一圈用4分，悦悦跑一圈用6分，多少分后，悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇？相遇时，他们三人各跑了几圈？
【答案】12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇；相遇时，妈妈跑了4圈，爸爸跑了3圈，悦悦跑了6圈。
【分析】此题实际上就是求3，4，6的最小公倍数，这个最小公倍数就是他们在起点第一次相遇的时间；再用他们第一次相遇的时间除以他们各自跑一圈的时间，即可求得各自的圈数。
【解答】解：因为3、4、6的最小公倍数是12，
所以12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇。
12÷3＝4（圈）
12÷4＝3（圈）
12÷6＝2（圈）
答：12分后悦悦、爸爸和妈妈在起点第一次相遇；相遇时，妈妈跑了4圈，爸爸跑了3圈，悦悦跑了6圈。
【点评】本题考查了公倍数应用题，考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。
7．如图，甲、乙两人分别在圆形跑道的直径两端上．甲跑完一圈要4分钟，乙跑完一圈要6分钟．
（1）两人如果同时出发，相向而行，多少分钟后能相遇？
（2）两人如果同时出发，同向而行，多少分钟后甲能够追上乙？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把环形跑道的长度看作单位“1”，用1分别除以甲乙的时间，表示出甲乙的速度，两人分别在圆形跑道的直径两端上；然后用（相遇时的路程）除以两人的速度和就是相遇时间；
（2）同理，甲第一次追上乙，就比乙多行圈（追及距离），然后用除以两人的速度差就是追及时间．
【解答】解：（1）（1÷4+1÷6）
＝1.2（分钟）
答：相向而行，1.2分钟后相遇．
（2）（1÷4﹣1÷6）
＝6（分钟）
答：同向而行，6分钟后甲能够追上乙．
【点评】环形跑道问题，只要注意行驶的方向，不论是相遇还是追及，都要结合共行的路程和追及距离解答．
8．父子俩在长400米的环形跑道上散步，他俩同时从同一地点出发，如果相背而行，4分钟相遇：如果同向而行，8分钟父亲可以追上儿子．在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟？
【答案】见试题解答内容
【分析】同时出发，相背而行，经过4分钟相遇，则两人的速度和是400÷4米；同向而行，经过8分钟父亲可以追上儿子，此时父亲正好比儿子多跑一周，即400米，则两人速度差是每分400÷8米，根据和差问题公式可知，儿子的速度是每分：（400÷4﹣400÷8）÷2米，进而求出父亲的速度，再进一步分别求得在跑道上走一圈，父亲和儿子各需要多少分钟．
【解答】解：（400÷4﹣400÷8）÷2
＝（100﹣50）÷2
＝50÷2
＝25（米/分）
400÷4﹣25
＝100﹣25
＝75（米/分）
400÷75（分）
400÷25＝16（分）．
答：在跑道上走一圈，父亲需要分钟，儿子需要16分钟．
【点评】本题考查了环形跑道问题．首先根据路程差÷追及时间＝速度差，路程÷相遇时间＝速度和分别求出两人的速度差及速度和然后根据和差问题公式解答是完成本题的关键．
9．甲、乙两人在环形运动场上匀速运动，甲骑车、乙走路，同时同地出发。若相向而行，每隔3分钟相遇一次；若同向而行，每隔6分钟相遇一次，求甲、乙两人的速度比。
【答案】3：1。
【分析】假设环形运动场的周长是300米，反向而行，3分钟后第一次相遇，则两人共行了300米，然后根据“路程和÷相遇时间＝速度和”求出两个人的速度和；同向而行，则6分钟相遇，可知甲比乙多行300米，根据“路程差÷相遇时间＝速度差”求出两个人的速度差，然后根据和差问题公式和比的意义进一步解答即可。
【解答】解：假设环形运动场的周长是300米，
甲乙的速度和为：300÷3＝100（米/分）
甲乙的速度差为：300÷6＝50（米/分）
甲的速度为：（100+50）÷2＝75（米/分）
乙的速度为：（100﹣50）÷2＝25（米/分）
75：25＝3：1
答：甲、乙两人的速度比是3：1。
【点评】完成本题要注意两人同向行时是追及问题，反向行时是相遇问题。
10．王老师和张老师在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师的速度是330米/分，张老师的速度390米/分，而且他们从跑道的同一地点同时出发往相反的方向跑，经过多少分钟两人第一次相遇？
【答案】0.5分钟。
【分析】根据题意，王老师和张老师围着环形跑道向相反方向跑的过程，可以看作相遇问题，第一次相遇二人共行路程和为跑道全长360米；利用相遇问题公式：相遇时间＝路程和÷速度和，把数代入，进行计算即可。
【解答】解：360÷（330+390）
＝360÷720
＝0.5（分钟）
答：经过0.5分钟两人第一次相遇。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。
11．淘淘和壮壮在学校的环形跑道上跑步，淘淘和壮壮跑步的速度比为7：9．他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，壮壮比淘淘多跑了50米，学校环形跑道的周长有多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】他俩从同一地点出发反向而行，当他俩第一次相遇时，正好跑了一个环形跑道的周长，由于时间相同，所以跑的路程比就等于速度比，即7：9；把环形跑道的周长看作单位“1”，那么淘淘行了全程的，壮壮行了全程的，那么壮壮比淘淘多跑的50米就相当于环形跑道周长的（），然后根据分数除法的意义解答即可．
【解答】解：50÷（）
＝50
＝400（米）
答：学校环形跑道的周长是400米．
【点评】解答本题关键是明确时间一定，路程比就等于速度比；然后找到具体数量对应的分率，再根据分数除法的意义解答即可．
12．小红和小华同时以72米/分的速度从跑道点A出发相背而行，2分钟后分别走到点B和点C的位置，这时点B、C之间的距离占跑道总长的。跑道总长多少米？
【答案】384千米。
【分析】先利用速度×时间＝路程，求出小红和小华走的路程；两人走的路程和占总跑道长的1，再根据除法的意义即可解答。
【解答】解：72×2×2÷（1）
＝288
＝384（千米）
答：跑道总长384千米。
【点评】本题考查了环形跑道问题，关键是求出（1）对应的数量是多少。
13．小明和小丽在一条彩虹环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。2分钟后，两人第一次相遇。
（1）这个彩虹环形跑道长多少米？
（2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少时间后两人能再次相遇？
【答案】（1）1200米；（2）600秒。
【分析】（1）两人相遇时所行的路程和就是这个环形跑道的长度，再根据速度和×时间＝路程，可以计算出这个环形跑道长多少米。
（2）如果相遇后两人改为同向而行，属于追及问题，求多少秒后两人能再次相遇，即用环形跑道的长度除以两个人的速度差。
【解答】解：（1）2分钟＝120秒
（4+6）×120
＝10×120
＝1200（米）
答：这个彩虹环形跑道长1200米。
（2）1200÷（6﹣4）
＝1200÷2
＝600（秒）
答：如果相遇后两人改为同向而行，那么600秒后两人能再次相遇。
【点评】本题考查相遇问题和追及问题，明确时间、路程、速度和之间的关系是解题的关键。
14．甲、乙两人从周长250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米．那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是多少分钟？
【答案】4分钟。
【分析】因为甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，就在P点相遇一次，然后先求出甲（乙）跑一圈用的时间，再乘其跑的圈数即可。
【解答】解：速度比是5：3，所以甲每跑5圈，乙正好跑3圈，
250÷5×5＝250（秒）
250秒＝4（分钟）
答：从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是4分钟。
【点评】此题属于复杂的环形跑道问题，解答此题的关键是明确圈数比和速度比的关系。
15．小莉和奶奶一起去小花园散步。小莉绕小花园走一圈需要5分钟，奶奶绕小花园走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后相遇？如果两人同时同地出发，同向而行，多少分钟后小莉超过奶奶一整圈？
【答案】分钟；30分钟。
【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小莉的速度和奶奶的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可；
（2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小莉的速度和奶奶的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追及时间，解答即可。
【解答】解：（1）1÷（1÷5+1÷6）
＝1
（分钟）
答：如果两人同时同地出发，相背而行，分钟后相遇。
（2）1÷（1÷5﹣1÷6）
＝1
＝30（分钟）
答：如果两人同时同地出发，相向而行，30分钟后小莉超出奶奶整整一圈。
【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。
16．夏天到了，壮壮和爸爸一起到遗爱湖环湖游．壮壮环湖一周要2小时，爸爸环湖一周要1.5小时．如果两人同时出发，相背而行，至少多少分钟后相遇？
【答案】见试题解答内容
【分析】把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，分别表示出壮壮的速度（）和爸爸的速度（），然后根据路程和÷速度和＝相遇时间，解答即可．
【解答】解：2小时＝120分钟，1.5小时＝90分钟
1÷（）
＝1
（分钟）
答：如果两人同时出发，相背而行，至少分钟后相遇．
【点评】此题属于行程问题，明确把环湖一周的路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答．
17．小龙和小华一起去学校的跑道上跑步。小龙跑一圈需要4分钟，小华跑一圈需要3分钟。两人同时从同一地点出发，相背而行，多少分钟后相遇？
【答案】分钟。
【分析】将跑道的总长看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别求出两人的速度，再根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入求解即可。
【解答】解：1÷（）
＝1
（分钟）
答：两人同时从同一地点出发，相背而行，分钟后相遇。
【点评】本题主要考查了环形跑道问题，明确相遇时共行了一个跑道的长度是本题解题的关键。
18．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．
（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）
（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差＝环形场地的路程，列出方程即可求解；
（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程＝环形场地的路程，列出算式求解即可．
【解答】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，依题意有
3x+150＝200×3，
3x+150＝600
3x＝450
x＝150
150+200＝350（米）
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
（2）（200×3﹣300×1.2）÷1.2
＝（600﹣360）÷1.2
＝240÷1.2
＝200（米），
200﹣150＝50（米）．
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
【点评】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度．
19．在300米的环形跑道上，晓晓和星星同学同时同地起跑，如果同向而跑150 秒后晓晓追上星星，如果背向而跑则半分钟相遇，两人的速度各是多少？
【答案】晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。
【分析】如果同向而行150秒相遇，则相遇时晓晓比星星正好多行一周，然后用300除以150就是他们的速度差。如果背向而行30秒相遇，则相遇时晓晓和星星正好行了一周，然后用300除以30就是它们的速度和，再根据和差公式可得晓晓和星星的速度。
【解答】解：300÷150＝2（米/秒）
300÷30＝10（米/秒）
（10+2）÷2
＝12÷2
＝6（米/秒）
10﹣6＝4（米/秒）
答：晓晓的速度是6米/秒，星星的速度是4米/秒。
【点评】首先根据相遇问题及追及问题公式求出它们的速度和与速度差是完成本题的关键。
20．小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的最内圈长400米。小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒。如果他们同时从跑道最内圈的同一地点出发，同向而行，那么多少秒后小军第一次追上小虎？
【答案】200秒。
【分析】小军的跑步速度是6米/秒，小虎的跑步速度是4米/秒，则小军每秒比小虎多跑（6﹣4＝2）米，又两人同时同地同向而行，那么小军第一次追上小虎时，小军正好比小虎多跑了一周即400米，则距离差÷速度差＝追及时间。据此解答即可。
【解答】解：400÷（6﹣4）
＝400÷2
＝200（秒）
答：200秒后小军第一次追上小虎。
【点评】在环形跑道上的追及问题，根据所行距离差÷速度差＝追及时间进行解答。
21．李军和王亮沿着水库四周的道路跑步，他们从同一地点同时出发，反向而行，李军的速度是225米/分，王亮的速度是215米/分，经过18分钟两人还相距40米．水库四周的道路长多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】首先用李军的速度加上王亮的速度，求出两人的速度之和是多少；然后用它乘两人相遇用的时间，然后再加上40米，即可求出水库四周的道路长多少米．
【解答】解：（225+215）×18+40
＝440×18+40
＝7920+40
＝7960（米）
答：水库四周的道路长7960米．
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之和是多少．
22．在一次环城自行车比赛中，速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，已知最快运动员的速度是最慢运动员的1.2倍，环城一周为7千米．
（1）求最慢运动员的速度．
（2）经过多长时间，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设最慢的速度为x千米/分钟，则最快的速度为1.2x千米/分钟．速度最快的运动员在出发35分钟时第一次遇到速度最慢的运动员，说明35分钟速度最快的运动员比速度最慢的运动员多行7千米．根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员35分钟行的距离，根据此路程之差等于7千克即可列方程求出速度最慢的运动员的速度．
（2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最快运动员的速度是1.2千米/分钟．设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米，根据“路程＝速度×时间”分别求出最快、最慢运动员所行的路程，据此即可列方程解答．
【解答】解：（1）设最慢的运动员的速度为x千米/分钟，则最快的运动员的速度为1.2x千米/分钟
1.2x×35﹣x×35＝7
35×（1.2x﹣x）＝7
35×0.2x＝7
35×0.2x÷35＝7÷35
0.2x＝0.2
0.2x÷0.2＝0.2÷0.2
x＝1
答：最慢运动员的速度是1千米/分钟．
（2）由（1）解答可知最慢运动员速度是1千米/分钟，则最块运员的速度是1.2千米/分钟
设经过y分钟最快的与最慢的运动员第二次相距1千米
1.2y﹣y＝1
0.2y＝1
0.2y÷0.2＝1÷0.2
y＝5
35+5＝40（分钟）
答：经过40分钟，最快的与最慢的运动员第二次相距1千米．
【点评】关键明白，第一次相遇时，快者比慢者多行1周，即7千米；第二次相距1千米时，快者比慢者多行了2千米．根据路程、速度、时间三者之间的关系即可列方程解答．
23．李叔叔和王叔叔绕圆形的天鹅湖进行晨跑，从同一地点同时出发，反向而行。李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，90秒后两人第一次相遇。天鹅湖的周长是多少米？
【答案】990米。
【分析】两人同时从同一地点出发，反向而行．李叔叔每秒跑6米，王叔叔每秒跑5米，每秒两人共跑5+6＝11（米），然后根据速度×时间＝路程解答即可。
【解答】解：（5+6）×90
＝11×90
＝990（米）
答：天鹅湖的周长是990米。
【点评】本题考查了行程问题，根据总路程＝速度和×相遇时间进行解答即可。
24．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？
【答案】180秒。
【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上张老师时，那么李老师比张老师正好多行360米，然后除以速度差即可。
【解答】解：360÷（6.5﹣4.5）
＝360÷2
＝180（秒）
答：经过180秒李老师正好比张老师多跑一圈。
【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。
25．温州外国语学校娄桥分校操场400环形跑道上，甲乙两位同学同时同地同向出发，甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，经过多长时间乙同学第一次追上甲？
【答案】200秒。
【分析】已知甲的速度为5m/s，乙的速度为7m/s，则乙同学第一次追上甲同学时，乙同学比甲同学多跑了1圈，即乙同学比甲同学多跑了400米，根据相遇时间＝路程差÷速度差，即可求出。
【解答】解：400÷（7﹣5）＝200（秒）
答：经过200秒乙同学第一次追上甲。
【点评】本题的关键是当乙同学第一次追上甲时，乙同学比甲同学多跑了一圈。
26．周末，李凯与爸爸妈妈一起在体育馆运动场跑步锻炼。李凯跑一圈要6分钟，爸爸跑一圈用3分钟，妈妈跑一圈用4分钟。如果他们同时同地同向起跑，多少分钟后他们三人再次相遇？这时李凯跑了多少圈？
【答案】至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。
【分析】可以通过求3、4、6的最小公倍数的方法求出再次相遇时间，然后用最小公倍数除以李凯跑一圈各自用的时间，就可求出它们各自跑的圈数
【解答】解：3、4、6的最小公倍数是12，所以至少12分钟后三人在起点再次相遇；
李凯跑了：12÷6＝2（圈）
答：至少12分钟两人在起点再次相遇，这时李凯跑了2圈。
【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。
27．如图，在边长为50米的正三角形上，有A、B两人分别从不同的顶点处，按逆时针方向同时出发，A速度为2米/秒，B速度为1.2米/秒．问出发多长时间，A，B二人第一次在同一条边上？
【答案】见试题解答内容
【分析】A、B的起始位置有两种可能
（1）A在B后50米，已知A速大于B速，那么当A走完一边50米进入另一边时，B还没有走完50米，而A走完50米需50÷2＝25秒，所以此情况下，出发25秒后，A、B两人第一次走在同一条边上．
（2）AB的速度比是5：3，A走一圈150米B走90米；如果A在B前面50米的话，得走一圈才能共边，所以是150÷2＝75秒
【解答】解：A、B的起始位置有两种可能
（1）A在B后50米：
已知A速大于B速，那么当A走完一边50米进入另一边时，B还没有走完50米，而A走完50米需50÷2＝25秒，
所以此情况下，出发25秒后，A、B两人第一次走在同一条边上．
（2）AB的速度比是5：3，A走一圈150米B走90米；如果A在B前面50米的话，得走一圈才能共边，所以是150÷2＝75秒
答：出发25秒或75秒后，AB二人第一次在同一边上．
【点评】本题主要考查环形跑道的追及问题，关键利用路程差、速度差和追及时间之间的关系做题．
28．星期天，笑笑和爸爸到体育场跑步。爸爸跑完一圈需要4分钟，笑笑跑完一圈需要9分钟。两人同时从起点出发，同向而行，他们几分钟后可以在起点第一次相遇？
【答案】36分钟。
【分析】爸爸回到起点用的时间是4分钟的整数倍，笑笑回到起点用的时间是9分钟的整数倍，则他们第一次同时回到起点就是4和9的最小公倍数，因此得解。
【解答】解：4和9的最小公倍数是：4×9＝36
那么他们第一次同时回到起点就是36分钟。
答：他们36分钟后可以在起点第一次相遇。
【点评】此题考查了学生运用求最小公倍数的方法解决行程问题的能力。
29．小明和他的数学老师一起去学校操场的环形跑道散步。小明走一圈需要4分钟，老师走
一圈需要5分钟。
（1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟相遇？
（2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出老师一整圈？
【答案】（1）；
（2）20。
【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程÷速度之和＝相遇时间，解答即可。
（2）把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间＝速度，分别求出小明的速度和数学老师的速度，然后根据：路程差÷速度之差＝追击时间，解答即可。
【解答】解：（1）1÷（）
＝1
（分钟）
答：分钟相遇。
（2）1÷（）
＝1
＝20（分钟）
答：20分钟后小明超出老师一整圈。
【点评】此题属于行程问题，明确把路程看作单位“1”，根据路程、速度、时间三者之间的关系进行解答。
30．甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上同时从同一地点背向跑步，5分后两人第二次相遇。已知甲每分比乙多跑6米，两人第二次相遇时甲一共跑了多少米？
【答案】415米。
【分析】根据题意，5分后两人第二次相遇，每相遇一次，甲、乙两人就共行400米，那么5分钟跑了两圈，即400×2＝800（米），用路程除以相遇时间可以求出他们的速度和，然后求出甲的速度，再进一步解答即可。
【解答】解：400×2÷5
＝800÷5
＝160（米/分钟）
（160+6）÷2＝83（米/分钟）
83×5＝415（米）
答：两人第二次相遇时甲一共跑了415米。
【点评】本题的关键是理解5分钟跑了两圈，然后再根据路程÷时间＝速度进一步解答即可。
31．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。
（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？
（2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
【答案】（1）300米/分钟；
（2）3圈。
【分析】（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程，用路程÷相遇时间＝速度和，速度和减去小王的速度，即可求出小张的速度；
（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），用路程÷速度差＝追及时间，再进一步即可解答。
【解答】解：（1）500÷1﹣200
＝500﹣200
＝300（米/分钟）
答：小张的速度是300米/分钟。
（2）500÷（300﹣200）
＝500÷100
＝5（分钟）
300×5÷500
＝1500÷500
＝3（圈）
答：小张跑3圈后才能第一次追上小王。
【点评】本题关键在于理清在不同的运动过程中，两人的路程和、路程差、速度和、速度差对应的量是多少，然后进行求解。
32．甲乙两人在环形跑道上赛跑，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，两人同时同地相向而行，1分钟后，两人第二次相遇，求跑道的周长．
【答案】见试题解答内容
【分析】1分钟＝60秒，甲的速度是每秒6米，乙的速度是每秒7米，1分钟后，两人第二次相遇，那么每相遇一次多行一个跑道的周长，第一次相遇的时间是60÷2＝30秒，多跑1×30＝30米，所以跑道的周长是30米．
【解答】解：1分钟＝60秒
60÷2＝30（秒）
（7﹣6）×30＝30（米）
答：跑道的周长是30米．
【点评】明确距离差÷速度差＝追及时间求出第一次相遇时所路程是完成本题的关键．
33．甲、乙两人沿400米环形跑道跑步，如果同时同地背向跑，两人相遇后，甲的速度每秒增加4米，乙的速度每秒减少4米，结果两人都用10秒同时回到原地，原来甲的速度是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是400÷10＝40米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和为40米/秒，列出方程求解即可．
【解答】解：400÷10＝40（米/秒）
设原来甲的速度是x米/秒，则
x+x+4＝40
2x+4＝40
2x＝36
x＝18
答：原来甲的速度是18米/秒．
【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加4米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力．
34．学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米？（列方程解答）
【答案】见试题解答内容
【分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即400米，设笑笑每分钟跑x米，在20分钟跑20x米，淘气跑了240×20米，然后根据笑笑跑的路程﹣淘气跑的路程＝400米列出方程求解．
【解答】解：设笑笑每分钟跑x米，则：
20x﹣240×20＝400
20x﹣4800＝400
20x＝5200
x＝260
答：笑笑每分钟跑260米．
【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度得出是解题关键．
35．学校操场的环形跑道长400米，甲、乙两名同学在跑道上同一起点出发，沿相反方向步行，经过2.5分钟相遇。甲每分钟走85米，乙每分钟走多少米？
【答案】75米。
【分析】根据题意，设乙每分钟走x米，甲每分钟走85米，2.5分钟走（85×2.5）米，乙2.5分钟走2.5x米，甲、乙走的距离和正好等于环形跑道的长，列方程：2.5x+85×2.5＝400，然后解方程即可。
【解答】解：设乙每分钟走x米。
2.5x+85×2.5＝400
2.5x+212.5＝400
2.5x＝400﹣212.5
2.5x＝187.5
x＝75
答：乙每分钟走75米。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
36．小欧和爸爸去操场上散步。小欧走一圈要8分钟，爸爸走一圈需要10分钟。如果两人同时从同一个地方出发，背向而行，相遇时他们都走了多少分钟？
【答案】分钟。
【分析】在操场背向而行第一次相遇，就是说两人行驶的路程和是操场的长度，把操场的长度看作单位“1”，先表示出两人的速度，再求出两人的速度和，最后根据“时间＝路程÷速度”即可解答。
【解答】解：1÷（）
＝1
（分钟）
答：相遇时他们都走了分钟。
【点评】解答本题的关键是明确：两人行驶的路程和是操场的长度，解答依据是等量关系式：时间＝路程÷速度。
37．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。
【答案】7。
【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。
【解答】解：400÷24（米/秒）
设原来甲的速度是x米/秒。
x+x+2
2x+2
2x
x＝7
答：甲原来的速度是7米/秒。
【点评】考查了环形跑道问题，解答此题的关键是理解甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，考查了学生对问题的分析判定能力。
38．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？
【答案】24分钟。
【分析】求出6和8的最小公倍数，即可求出她们可以在该起点第一次相遇的时间。
【解答】解：6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数24，所以24分钟相遇她们可以在该起点第一次相遇。
答：至少24分钟后她们可以在该起点第一次相遇。
【点评】解答本题的关键是求出6和8的最小公倍数。
39．有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么至少多少分钟后，三个人又可以相聚？
【答案】30分钟。
【分析】由于每相遇一次，快者都比慢者多行300米，则甲乙每次相遇时间是：300÷（120﹣100）＝15分钟，甲丙每相遇一次需要300÷（120﹣70）＝6分钟，乙丙每相遇一次需要300÷（100﹣70）＝10分钟，则他们同时相遇需要的时间应是6、10、15的公倍数。6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。
【解答】解：300÷（120﹣100）
＝300÷20
＝15（分钟）
300÷（120﹣70）
＝300÷50，
＝6（分钟）
300÷（100﹣70）
＝300÷30
＝10（分钟）
6、10、15的最小公倍数是30，即至少30分钟后，三人又可相聚。
答：至少30分钟后，三人又可相聚。
【点评】首先根据路程差÷速度差＝追及时间分别求出三人相遇一次需要的时间是完成本题的关键。
40．甲乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动，两人在中途的C加油处第一次迎面相遇，相遇后，继续前行并在D加油站第二次迎面相遇，若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间的距离为60千米，那么从A地到B地的全程是多少千米？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲乙两人第一次相遇．甲行了AC，乙行了BC；第二次相遇，甲行了全程加上BD，乙行了全程加上AD，因此，这个路程和是三个全程，所以全程加上BD是AC的三倍．根据“若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处”说明A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍，据此解答即可．
【解答】解：A与D之间的距离为：60×2＝120（千米），
甲行第二次相遇时，甲行的路程为：60×3＝180（千米），
B、D之间的距离为：（180﹣120）÷2＝30（千米），
从A地到B地的全程是：30+120＝150（千米），
答：从A地到B地的全程是150千米．
【点评】本题主要考查了行程问题中的路程、速度与时间的关系，解答本题的关键是理清二次相遇时甲行的路程是第一次的三倍以及A、D之间的距离是A、C之间距离的两倍．
41．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？
【答案】AD。
【分析】根据路程＝速度×时间，相遇时间相同，两次相遇所走的路程比就是速度比，甲的速度是乙的速度的3倍，甲走过的路程也就是乙走过路程的3倍；第一次相遇，两点总路程为正方形两个边长，所以甲走了个边长，乙走了个边长，即在CD中点相遇，从第二次相遇开始，两点两次相遇间走过的路程和是正方形4个边长，甲走3个边长，乙走1个边长，第二次相遇在AD中点，第三次相遇在AB中点，第四次相遇在BC中点，第五次相遇在CD中点，和第一次相遇地点相同，所以，每4组为一个循环，计算2018除以4的余数，便可知道第2018次相遇在哪边。
【解答】解：设正方形边长为a，
因为甲的速度是乙的速度的3倍，
所以时间相同，甲、乙的路程比为3：1，
第一次相遇，两点路程和为2a，则甲走了a，乙走了a，相遇地点为CD中点；
第二次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AD中点；
第三次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为AB中点；
第四次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为BC中点；
第五次相遇，两点路程和为4a，则甲走了3a，乙走了a，相遇地点为CD中点；
……
可以发现，每四次循环一次，
2018÷4＝504……2
所以，第2018次相遇地点和第二次的相同，即AD中点。
答：它们第2018次相遇在AD边上。
【点评】本题主要考查了环形跑道多次相遇问题，根据速度比得出两点的路程比，结合正方形四边相等的特性，得出前几次相遇的地点，发现变化规律，是本题解题的关键。
42．小张和小李在400米的环形跑道上跑步，两人同时从同一地点出发，同向而行．小张每秒跑4米，小李每秒跑6米，出发后经过多少分钟两人第一次相遇．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题可以看作追及问题来解答．第一次相遇时，小李比小张多跑一圈400米，即追及路程，所以用400除以它们的速度差就是追及时间．
【解答】解：400÷（6﹣4）
＝400÷2
＝200（秒）
（分钟）
答：出发后经过分钟两人第一次相遇．
【点评】此题属于较复杂的追及应用题，此类题的解答方法是根据“追及路程÷速度差＝追及时间”列式；关键是明确第一次相遇时，小李比小张多跑一圈的距离．
43．甲、乙、丙三人在一条长240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，丙每秒跑3米，若三人同时从一端出发，至少再经过多少时间三人又从此处同时出发？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据路程、速度与时间的关系式，先求得甲乙丙三人跑一个来回所用的时间分别是多少，然后再利用它们的最小公倍数即可求得经过多少时间三人又同时从出发点出发．
【解答】解：240×2＝480（米）
480÷4＝120（秒），
480÷5＝96（秒），
480÷3＝160（秒），
120、96、160的最小倍数是480；
答：至少经过480秒三人又同时从出发点出发．
【点评】此题考查了利用求得几个数的最小公倍数来解决实际问题的方法的灵活应用．
44．在一个神话故事中，有一只小兔住在一个周长为1千米的圆形神湖旁，A、B两点把这个神湖分成两部分（如图），已知小兔从B点出发，沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳千米休息一次，如果跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖半径就扩大一倍，现已知小兔共休息了1000次，这时神湖周长是多少千米？（AB为圆的直径）
【答案】见试题解答内容
【分析】把周长为1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息时正好在A点，于是经过特别通道到B点，此时神湖周长变成2千米；我们再把新的神湖分成16段，现在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A点休息…如此继续下去，休息到16次、32次、64次、128次…小兔子才在A点休息，神湖周长是2千米、4千米、8千米…4+8+16+32+64+128+256＝508＜1000，4+8+16+32+64+128+256+512＞1000，所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A点，据此即可求出此时神湖的周长．
【解答】解：如图
把周长为1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息时正好在A点
休息后小兔子经过特别通道到B点，此时神湖周长变成2千米
再把新的神湖分成16段，现在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A点休息
…
即兔子跳了4次、8次、16次、32次、64次、128次…
神湖周长是2千米、4千米、8千米、16千米…
因为：4+8+16+32+64+128+256＝508＜1000
4+8+16+32+64+128+256+512＞1000
所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A点，此时神湖周长是128千米
答：所以休息1000次后，神湖周长是128千米．
【点评】此题较难．关键是明白小兔子休息1000次后，有多少次在A点，因为只有在A点休息后，神湖周长才扩大一倍．
45．如图，一条圆形跑道，AB是直径。甲乙两人分别从A、B两点出发，按箭头方向前进，他们在离A点75米的C点相遇，接着又在离B点25米的D点相遇。圆形跑道的长是多少米？
【答案】400米。
【分析】由于甲、乙两人分别从圆形跑道直径AB两端同时出发相向而行，则第一次相遇时二人共行了半个圆周，甲行了AC＝75米，即每行半个圆周，甲就行75米，第二次相遇，二人共行了1.5个圆周，则甲应该行：75×3＝225（米），即：AD＝225米，又：BD＝25米，所以半个圆周：AB＝AD﹣BD＝225﹣25＝200（米），由此即可求出圆的周长。
【解答】解：跑道的周长为：
（75×3﹣25）×2
＝200×2
＝400（米）
答；圆形跑道的长是400米。
【点评】本题主要考查了环形跑道，解题的关键是认真分析题意，弄清相遇问题中的数量关系，进行分析解答即可。
46．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？
【答案】7.5分钟。
【分析】如果甲比乙多跑1圈，那么甲就比乙多跑300米，然后除以两者的速度差即可。
【解答】解：300÷（280﹣240）
＝300÷40
＝7.5（分钟）
答：经过7.5分钟甲比乙多跑1圈。
【点评】解答本题关键是明确甲比乙多跑300米，然后根据“路程差÷速度差＝追及时间”解答即可。
47．甲乙两人环湖同向赛跑，环湖一周是1000米，乙每分钟走50米，甲的速度是乙的3倍．现在甲在乙前面100米，问多少分钟两人相遇？
【答案】见试题解答内容
【分析】甲的速度是乙的3倍，即甲乙的速度差是50×2＝100米．现在现在甲在乙前面100米，那么甲的追及距离是1000﹣100＝900米，然后再除以甲乙的速度差可得多少分钟后两人相遇．
【解答】解：（1000﹣100）÷（50×2）
＝900÷100
＝9（分钟）
答：9分钟后两人相遇．
【点评】本题考查了环形跑道上的追及问题，关键是求出追及距离和速度差．
48．同样时间里，兔子能跑3步，狗能跑2步，兔子一步跑1米，狗一步跑1.5米，若兔子和狗在50米长的跑道上进行往返跑，它们同时出发，求兔子折返几次后刚好比狗快6米？
【答案】6次。
【分析】先用往返一次的路程除以每步的米数求出各自的步数，再根据狗跑2步等于兔子跑3步，再把狗跑的步数转化为兔子跑的步数，然后进一步解答即可。
【解答】解：兔子跑一个往返需要：
50×2÷1＝100（步）
狗跑一个往返需要：
50×2÷1.5≈67（步）
狗跑的步数相当于兔子跑了：
67÷2×3≈101（步）
因此兔子折返1次领先：
101﹣100＝1（步）
6÷1＝6（次）
答：兔子折返6次后刚好比狗快6米。
【点评】此题解答的关键是求出狗和兔子跑一个来回需要的步数。
49．小明和小刚沿百家湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是180米/分，小刚的速度是160米/分，25分钟后两人第一次相遇。
（1）百家湖跑道全长多少米？
（2）如果相遇后改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相连400米？
【答案】（1）8500米；（2）20分钟。
【分析】（1）在环形跑道上反向而行，可按相遇问题计算，跑道的长度就是相遇路程，相遇路程＝速度和×相遇时间。
（2）在环形跑道上同向而行，路程差÷速度差＝时间。
【解答】解：（1）（160+180）×25
＝340×25
＝8500（米）
答：百家湖跑道全长8500米。
（2）400÷（180﹣160）
＝400÷20
＝20（分钟）
答：如果相遇后改为同向而行，那么20分钟后小刚和小明相距400米。
【点评】找出题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。
50．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？
【答案】6米。
【分析】兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，则两人速度和是每秒1.3+1.2＝2.5（米），两人每共行一周就相遇一次，则相遇第10次需要时间30×10÷（1.3+1.2）＝120（秒），第十次相遇，妹妹已经走了120×1.2＝144 （米）；144÷30＝4（圈）……24（米），然后用30减去24即可解决问题。
【解答】解：第十次相遇时妹妹已经走的路程：
30×10÷（1.3+1.2）×1.2
＝300÷2.5×1.2
＝144（米）
144÷30＝4（圈）……24（米）
30﹣24＝6 （米）
答：妹妹还需走6米才能回到出发点。
【点评】此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程。
51．小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？
【答案】20秒。
【分析】根据“小明和小红的速度和×相遇时间＝环形跑道的长度”可得：用200除以两个人的速度和即可。
【解答】解：200÷（5.2+4.8）
＝200÷10
＝20（秒）
答：经过20秒两人第一次相遇。
【点评】解答本题关键是明确两人第一次相遇共行了200米。
52．运动场边沿的跑道一周长400米。小星、小文两人同时同地沿跑道跑步，小文每分钟跑290米，小星每分钟跑210米。当他们再次到达同一地点时已经过了多少时间？
【答案】5分钟或0.8分钟。
【分析】本题分同向和向背两种情况解答：
（1）在环形跑道上同时同地同向而行，当小文第一次追上小星时，也就是小文比小星多跑一圈，先求出两人的速度差，再依据时间＝路程差÷速度差即可求出第一次追上小星的时间。
（2）在环形跑道上同时同地向背而行，则他们第一次在同一地点相遇，他们共行了400米，先求出两人的速度和，再依据时间＝路程÷速度和即可求出第一次相遇的时间。
【解答】解：（1）400÷（290﹣210）
＝400÷80
＝5（分）
（2）400÷（290+210）
＝400÷500
＝0.8（分）
答：当他们再次到达同一地点时已经过了5分钟或0.8分钟。
【点评】本题考查了环形跑道上的相遇问题和追及问题。相遇问题常用的等量关系为：甲路程+乙路程＝环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度。
53．附加题：小启和小智两人绕着环形跑道同时同地背向跑步，小启每秒跑5米，小智每秒跑6米，小启和小智第一次相遇后，又跑了1分钟，才回到起点。小启自己绕环形跑道跑一圈要多少秒？这个环形跑道长多少米？
【答案】110秒，550米。
【分析】先根据“路程＝速度×时间”求出小启60秒跑的路程，即小智相遇时跑的路程；再用小智相遇时跑的路程除以小智的速度，即相遇时用的时间，然后进一步解答即可。
【解答】解：1分钟＝60秒
5×60÷6＝50（秒）
50+60＝110（秒）
（5+6）×50
＝11×50
＝550（米）
答：小启自己绕环形跑道跑一圈要110秒，这个环形跑道长550米。
【点评】本题属于环形跑道问题，关键明确小启60秒跑的路程等于相遇时小智跑的路程。
54．小红和小丽在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发反向而行，小丽每秒跑3米，小红每秒跑5米，经过100秒两人第二次相遇．环形跑道长多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】因为两人是反向跑步，第二次相遇就是两人共跑了2圈，每一圈用时100÷2＝50秒，然后根据“速度和×相遇时间＝路程”列式可求出跑道长（5+3）×50＝400（米）．
【解答】解：（5+3）×（100÷2）
＝8×50
＝400（米）
答：跑道长400米．
【点评】此题属于相遇问题，考查了“速度和×相遇时间＝路程”这一知识．关键是求出一次相遇时间．
55．悠悠和青青比赛跑步，悠悠跑一圈需要2分钟，青青跑一圈需要3分钟，他们几分钟之后可以在起点第一次相遇？
【答案】6分钟
【分析】悠悠回到起点用的时间是2分钟的整数倍，青青回到起点是3分钟的整数倍，则第一次同时回到起点的时间就是2和3的最小公倍数，因此得解。
【解答】解：2和3互质，
2×3＝6（分钟）
答：他们6分钟后可以在起点第一次相遇。
【点评】本题灵活应用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。
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