容斥原理（含解析）-2024-2025学年六年级下册数学人教版
文档属性
| 名称 | 容斥原理（含解析）-2024-2025学年六年级下册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 981.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-23 06:34:50 | ||
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文档简介
容斥原理
1．某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号 1 2 3 4 5
人数 4 6 10 20 39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
2．“六一”少儿美术作品展览，有26件不是四年级的，有16件不是五年级的，四五年级共有作品28件，四五年级各有作品多少件？
3．王老师出了两道数学题，全班42人，答对第一题的有28人，答对第二题的有32人，两题都答错的有1人。那么，两题都答对的有多少人？
4．三（1）班参加书法，科技兴趣小组的学生名单如下：
书法小组：李伟，赵雪，汪艳，王朋，江帆，周强，杨柳
科技小组：刘芳，杨柳，王涛，李伟，周红，李丽，赵雪，刘佳
（1）按要求把学生名单填入图中．
（2）参加这两个小组的学生共有多少人？
5．三年级有20个同学参加兴趣小组，其中参加数学小组的有15人，参加语文小组的有13人．
（1）既参加数学小组又参加语文小组的有多少人？
（2）只参加数学小组的有多少人？只参加语文小组的呢？
6．某工厂有180人，其中每个人要么会打乒乓球，要么会打羽毛球，要么两样都会。现知道会打乒乓球的有80人，既会打羽毛球又会打乒乓球的有20人，会打羽毛球的有多少人？
7．我们班参加竞赛的学生一共有多少人？
8．六（1）班同学坚持参加体育锻炼．体育委员对班级爱好打乒乓球、羽毛球的情况做了统计：85%的人爱好打乒乓球，75%的人爱好打羽毛球，还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球．请求出这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的百分之几．
9．三年级组织150人向山区捐献物资，其中75人捐献书本，63人捐献衣物，其余人捐献文具。书本和衣物都捐的同学有38人，那么捐献文具的同学有多少人？
10．班里进行了﹣次数学趣味测验．共有两道数学题．全班36人中，做对第一道数学题的有21人，做对第二道数学题的有18人，全班每人至少做对一道题．两道题都做对的有几人？
11．书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？
12．高中三年级绘画班有48人，其中28人参加了南方学院的绘画考试，有16人参加了北方学院的绘画考试，这两个学院的考试都参加的有10人，不参加这两个学院考试的全部参加了中央美术学院的考试，参加中央美术学院绘画考试的有几人？
13．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？
14．二年（3）班45名小朋友去图书馆借书，有20名小朋友借了童话书，有30名小朋友借了故事书，那么有多少名小朋友既借了童话书又借了故事书呢？
15．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？
16．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？
17．参加数学竞赛的有22人，参加语文竞赛的有26人，两个都参加的有10人，都没参加的有2人，这个班级共有学生多少人？
18．三（3）班学生餐饮调查：
这个班一共有多少人？
19．东风小学三（1）班有50人．其中25人喜欢象棋.22人喜欢围棋.13人既喜欢象棋又喜欢围棋．两种棋类都不喜欢的有多少人？
20．四年级一班有学生40名，喜欢唱歌的有25人，喜欢画画的有20人，两样都喜欢的有10人，两样都不喜欢的有多少人？
21．某班有48名学生，每人至少订阅一份《数学报》或《学习报》．已知的学生订阅了《数学报》，的学生订阅了两种报刊，订阅《学习报》的学生有多少人？
22．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？
23．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
24．同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参观的有45人．去动物园的一共有多少人？
25．某小学有115人参加了音乐、美术兴趣小组，其中76人参加音乐小组，54人参加美术小组，同时参加这两个小组的有多少人？
26．希望小学三（1）班参加音乐兴趣小组的有32人，参加美术兴趣小组的有30人，这两个小组都参加的有14人。如果每个人至少参加这两个兴趣小组中的一个，则这个班共有学生多少人？
27．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
28．某餐馆有30道招牌菜，小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，而且有3道菜是两人都吃过的，那么有多少道菜是两人都没吃过的？
29．某校对一年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，会跳舞的占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有多少人？
30．学校运动会，三（1）班参加跳绳比赛的有15人，参加接力比赛的有10人。这两项比赛都参加的有6人，三（1）班一共有多少人参加这两项比赛？
31．三年级（2）班有56名学生，这个月进行了两次数学测试：第一次得100分的学生的学号是：6，9，15，16，27，33，56；第二次得100分的学生的学号是：7，9，16，27，36，40，48，51，53．这两次测试中，得过100分的有多少人？
32．三（1）班同学在“每日一练”活动中，每人要完成两道智力闯关题．今天做对第一题的有22人，做对第二题的有26人，两道题都做对的有10人，两道题都做错的有2人．三（1）班一共有多少人？
33．三（1）班有28人订阅了《现代少年报》，有26人订阅了《中国少年报》，有5人两种报都订了。订这两种报的共有多少人？
34．四年级有60名同学．有35人参加了跳绳，有22人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有6人，只参加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？
35．小明家有爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、妹妹和姑姑．其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，喜欢吃香蕉的有爸爸、妹妹、妈妈和姑姑．喜欢吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶．
（1）小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有几人？
（2）小明家喜欢吃草莓或西瓜的共有几人？
36．红火小学三年有210名学生，四年有170名学生。大家都扎了疫苗，两个年级共有多少名学生扎了疫苗？
37．某次献爱心活动中，三年级（1）班捐款的有12人，捐书的有8人，既捐款又捐书的有5人，一共有多少同学参加这次爱心活动？
38．订阅《作文大王》的有24人，订阅《传统文化故事》的有17人，两种都订阅的有5人．只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有多少人？
39．一次测试有两道题目，答对第一题的有26人，答对第二题的有18人，两题都答对的有9人，两题都没有答对的有4人．一共有多少人答题？
40．三（2）班的同学们到游乐园玩，坐碰碰车的有18人，玩旋转木马的有22人，两样都玩的有6人，去游乐园的有多少名同学？
41．学校征订报刊，五（1）班同学全部订了自己喜欢的报刊，其中有的人订了《小学生作文》，有的人订了《新少年》．如果每人至少订了其中的一种报刊，那么两种报刊都订的占全班的几分之几？
42．三（1）班有46人，其中24人订阅了《趣味数学》，23人订阅了《开心作文》，有18人两种刊物都订阅了。有多少人两种刊物都没订阅？
43．苹果、梨、橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和橘子），为保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．
44．三（2）班报名参加作文竞赛的有21人，报名参加数学竞赛的有25人，其中参加作文和数学两项竞赛的有8人。如果三（2）班的同学们都参加了竞赛，那么三（2）班一共有多少人？
45．78个同学报名参加文体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有39人，即参加体育组又参加文娱组的有18人．参加文娱组的有多少人？
46．小丽在自己班进行调查，得到如表数据：
会跳舞的 28人
不会跳舞的 23人
会弹钢琴的 19人
会拉二胡的 32人
这个班不会弹钢琴和不会拉二胡的分别有多少人？.
47．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？
48．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？
49．六年级有120名同学参加学校田径运动会，其中的同学参加了田赛，的同学参加了径赛．田赛和径赛都参加的同学有多少名？
50．三（2）班有48人，每人至少订了2种课外书中的一种，其中订《数学王国》的有25人，订《作文天地》的有32人。两种课外书都订的有多少人？
51．100个学生中每人至少懂一种外语，其中76人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，只懂2种语言的有多少人？
52．学校开展体育活动，三年级第一小组参加跳绳的同学有王平、冯华、林芳、刘明、周娟、毛萍、王佳、钟林．参加拔河的同学有蒋倩、张峰、王平、周娟、林芳、李宇、冯华、毛萍（每人至少参加一项体育活动）．
（1）如图．
（2）三年级第一小组一共有多少人？
53．7月购进的电器： 种；
8月购进的电器： 种。
两个月一共购进了多少种电器？
54．甲、乙、丙3个小朋友参加礼仪知识竞赛，甲答对了20题，乙答对了25题，丙答对了32题。甲答对的20题丙都答对了，乙答对的题中有15题丙也答对了。甲、丙一共答对了多少道题？乙、丙一共答对了多少道题？
55．三（1）班每人至少订阅了一本杂志，其中有28人订阅了《数学王国》，还有30人订阅了《作文天地》，其中两种书都订阅的有13人。三（1）班一共有多少人？
56．桃源超市两天一共卖出多少种不同的商品？
57．假期同学们到历史博物馆和民俗馆参加研学活动，每人至少参加了一项活动，其中参加历史博物馆研学的有25人，参加民俗馆研学的有28人，两项都参加的有11人。全班共有多少人？
58．三（1）班每人都订了报纸，订《小学生周报》的有25人，订《小博士报》的有21人，两种报纸都订的有9人，三（1）班一共有多少人？
59．三年级三个班认养了一批树苗，其中56棵不是（1）班认养的，65棵不是（2）班认养的，61棵不是（3）班认养的。问：（1）班、（2）班、（3）班分别认养了多少棵？
60．下面是天天鲜蔬菜店两天的进货情况．
（1）天天鲜蔬菜店两天一共运进了多少种蔬菜？
（2）你还能提出其它数学问题并解答吗？
容斥原理
参考答案与试题解析
1．某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号 1 2 3 4 5
人数 4 6 10 20 39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
【答案】31 人。
【分析】首先计算出总共有题52×5＝260（道），这样做对的题有260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）。对2道，3道，4道题的人共有52﹣7﹣6＝39（人），他们共做对181﹣1×7﹣5×6＝144（道），由于对2道和3道题的人数一样多，可以把他们看作是对2.5道题的人，这样结合做对2道、3道题、4道题的题目总数为144道，做对2道、3道题、4道题的人数为39人，最后计算出对4道题的有（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）＝31（人）。
【解答】解：52×5＝260（道）
260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）
52﹣7﹣6＝39（人）
181﹣1×7﹣5×6
＝181﹣7﹣30
＝144（道）
（2+3）÷2＝2.5（道）
（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）
＝（144﹣97.5）÷1.5
＝46.5÷1.5
＝31（人）
答：做对4道题的有31人。
【点评】本题考查容斥原理及鸡兔同笼问题，属于较难问题，分析时一定需要细致入微。
2．“六一”少儿美术作品展览，有26件不是四年级的，有16件不是五年级的，四五年级共有作品28件，四五年级各有作品多少件？
【答案】见试题解答内容
【分析】26件不是四年级的，即26件是1，2，3，5，6年级的；16件不是五年级的，即16件是1，2，3，4，6年级的；则5年级比4年级多：26﹣16＝10件，已知四五年级共有作品28件，所以4年级有：（28﹣10）÷2＝9件；5年级有：28﹣9＝19或9+10＝19件；由此解答即可．
【解答】解：四年级：[28﹣（26﹣16）]÷2
＝18÷2
＝9（件）；
五年级：28﹣9＝19（件）；
答：四年级有作品9件，五年级有作品19件．
【点评】此题较难，应根据题意，进行认真分析，明确5年级参赛的作品比4年级多26﹣16＝10件，是解答此题的关键．
3．王老师出了两道数学题，全班42人，答对第一题的有28人，答对第二题的有32人，两题都答错的有1人。那么，两题都答对的有多少人？
【答案】19人。
【分析】根据两题都答对的学生数＝（答对第一题的人数+答对第二题的人数）﹣（总人数﹣两题都答错的人数）；据此解答。
【解答】解：（28+32）﹣（42﹣1）
＝60﹣41
＝19（人）
答：两题都答对的有19人。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两题都答对的学生数＝（答对第一题的人数+答对第二题的人数）﹣（总人数﹣两题都答错的人数）。
4．三（1）班参加书法，科技兴趣小组的学生名单如下：
书法小组：李伟，赵雪，汪艳，王朋，江帆，周强，杨柳
科技小组：刘芳，杨柳，王涛，李伟，周红，李丽，赵雪，刘佳
（1）按要求把学生名单填入图中．
（2）参加这两个小组的学生共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）书法小组：李伟，赵雪，汪艳，王朋，江帆，周强，杨柳，7人；
科技小组：刘芳，杨柳，王涛，李伟，周红，李丽，赵雪，刘佳，8人；
两个小组都参加有：李伟，赵雪，杨柳，3人；
由此填入图中即可；
（2）把书法小组的人数和科技小组的人数相加，再减去两个小组都参加的人数，即可求出参加这两个小组的学生共有多少人．
【解答】解：（1）如图：
（2）7+8﹣3＝12（人）
答：参加这两个小组的学生共有12人．
【点评】本题利用容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣A类B类元素个数总和．
5．三年级有20个同学参加兴趣小组，其中参加数学小组的有15人，参加语文小组的有13人．
（1）既参加数学小组又参加语文小组的有多少人？
（2）只参加数学小组的有多少人？只参加语文小组的呢？
【答案】（1）8；
（2）7，5。
【分析】（1）根据容斥原理公式，两个小组都参加的人数＝参加数学小组的人数+参加语文小组的人数﹣参加兴趣小组的人数；
（2）只参加数学小组的人数＝参加数学小组的人数﹣两个小组都参加的人数，同理可求只参加语文小组的人数。
【解答】解：（1）15+13﹣20
＝28﹣20
＝8（人）
答：既参加数学小组又参加语文小组的有8人。
（2）15﹣8＝7（人）
13﹣8＝5（人）
答：只参加数学小组的有7人；只参加语文小组的有5人。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟记容斥原理公式并能灵活运用。
6．某工厂有180人，其中每个人要么会打乒乓球，要么会打羽毛球，要么两样都会。现知道会打乒乓球的有80人，既会打羽毛球又会打乒乓球的有20人，会打羽毛球的有多少人？
【答案】120人。
【分析】现知道会打乒乓球的有80人，会打羽毛球也会打乒乓球的有20人，则只会打乒乓球的有80﹣20＝60（人），所以会打羽毛球的有180﹣60＝120（人）；据此解答即可。
【解答】解：180﹣（80﹣20）
＝180﹣60
＝120（人）
答：会打羽毛球的有120人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
7．我们班参加竞赛的学生一共有多少人？
【答案】41人。
【分析】先把参加数学和作文的人数相加，这其中多加了一次两项都参加的人数，然后再减去两项都参加的人数10即可。
【解答】解：26+25﹣10
＝51﹣10
＝41（人）
答：我们班参加竞赛的学生一共有41人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
8．六（1）班同学坚持参加体育锻炼．体育委员对班级爱好打乒乓球、羽毛球的情况做了统计：85%的人爱好打乒乓球，75%的人爱好打羽毛球，还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球．请求出这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的百分之几．
【答案】见试题解答内容
【分析】还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球，则至少喜欢一样的占总人数1﹣10%，然后根据两量重叠问题：既是A类又是B类的元素个数＝A类元素的个数+B类元素个数﹣A类与B类元素个数的总和；代入数据解答即可．
【解答】解：85%+75%﹣（1﹣10%）
＝160%﹣90%
＝70%
答：这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的70%．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
9．三年级组织150人向山区捐献物资，其中75人捐献书本，63人捐献衣物，其余人捐献文具。书本和衣物都捐的同学有38人，那么捐献文具的同学有多少人？
【答案】50人。
【分析】先用75加上63求出两者的总人数，然后减去38就是捐书本和衣物的人数和，再用150减去这个人数和就是捐献文具的同学有多少人。
【解答】解：75+63﹣38
＝138﹣38
＝100（人）
150﹣100＝50（人）
答：捐献文具的同学有50人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
10．班里进行了﹣次数学趣味测验．共有两道数学题．全班36人中，做对第一道数学题的有21人，做对第二道数学题的有18人，全班每人至少做对一道题．两道题都做对的有几人？
【答案】3人．
【分析】两题都做对的人数重复数了两次，所以做对第一道题的人数加上做对第二道题的人数减去总人数就是两题都做对的人数．
【解答】解：21+18﹣36
＝39﹣36
＝3（人）
答：两道都做对的有3人．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
11．书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？
【答案】23人。
【分析】用硬笔书法获奖的人数加上软笔书法获奖的人数，然后减去两项都获奖的人数，即可求出三年级书法获奖的一共有多少人。由此解答即可。
【解答】解：18+10﹣5
＝28﹣5
＝23（人）
答：三年级书法获奖的一共有23人。
【点评】此题考查容斥原理的简单应用。
12．高中三年级绘画班有48人，其中28人参加了南方学院的绘画考试，有16人参加了北方学院的绘画考试，这两个学院的考试都参加的有10人，不参加这两个学院考试的全部参加了中央美术学院的考试，参加中央美术学院绘画考试的有几人？
【答案】14人。
【分析】把参加了南、北方学院绘画考试的人数相加，求出两者的和，再减去重复计算的人数，即这两个学院的考试都参加的有10人，就是实际参加南、北方学院绘画考试的人数，然后再与48人作差，就是参加中央美术学院绘画考试的人数。
【解答】解：48﹣（28+16﹣10）
＝48﹣34
＝14（人）
答：参加中央美术学院绘画考试的有14人。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解10人的意义，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。
13．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】已知参加数学和语文兴趣小组的一共有30+25＝55人，把既参加语文兴趣小组又参加数学兴趣小组的18人重复加了一次，减去重复的18人得出答案即可．
【解答】解：30+25﹣18
＝55﹣18
＝37（人）
答：全班有37人．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
14．二年（3）班45名小朋友去图书馆借书，有20名小朋友借了童话书，有30名小朋友借了故事书，那么有多少名小朋友既借了童话书又借了故事书呢？
【答案】5名。
【分析】同时借了两种书的小朋友数＝借童话书的人数+借故事书的人数﹣班级总人数，将题目中给出的数值代入上述公式即可解答。
【解答】解：20+30﹣45
＝50﹣45
＝5（名）
答：有5名小朋友既借了童话书又借了故事书。
【点评】本题考查了容斥原理的灵活运用。
15．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】用14人加上28人求出两者的和，由于8人是重复计算的部分，再减去8人，就是至少参加一项的人数是：28+14﹣8＝34（人），然后用总人数52人减去至少参加一项的人数，就是两个小组都没参加的人数，即52﹣34＝18（人）．
【解答】解：52﹣（28+14﹣8）
＝52﹣34
＝18（人）
答：这个班两个小组都没参加的有18人．
【点评】容斥原理的计算公式：A+B﹣既A又B＝至少参加一项的人数．
16．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？
【答案】48人。
【分析】某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，两者共有26+30＝56人，然后再减去其中数学、英语都参加的有12人，即重叠的人数12人就是至少参加一项的人数，最后加上两个小组都不参加的4人，可得这个班学生的人数。
【解答】解：26+30﹣12+4
＝56﹣12+4
＝48（人）
答：这个班学生人数有48人。
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
17．参加数学竞赛的有22人，参加语文竞赛的有26人，两个都参加的有10人，都没参加的有2人，这个班级共有学生多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，有关系式：全班人数＝参加数学竞赛的人数+参加语文竞赛的人数﹣两个都参加的人数﹣两个都没参加的人数．把数代入即可求出全班人数．
【解答】解：22+26﹣10+2
＝48﹣10+2
＝38+2
＝40（人）
答：这个班级共有学生40人．
【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．
18．三（3）班学生餐饮调查：
这个班一共有多少人？
【答案】48人。
【分析】三（3）班总人数＝喜欢吃肉的人数+喜欢吃蔬菜的人数﹣两样都喜欢的人数+两样都不喜欢的人数；据此解答即可。
【解答】解：36+39﹣30+3
＝75﹣30+3
＝48（人）
答：这个班一共有48人。
【点评】本题属于容斥原理问题，总数＝A+B﹣既A又B+即不是A又不是B。
19．东风小学三（1）班有50人．其中25人喜欢象棋.22人喜欢围棋.13人既喜欢象棋又喜欢围棋．两种棋类都不喜欢的有多少人？
【答案】16人．
【分析】把喜欢象棋和喜欢围棋的人数相加，然后再减去重复计算的13人就是至少喜欢一种的人数，然后再与总人数50作差即可．
【解答】解：25+22﹣13＝34（人）
50﹣34＝16（人）
答：两种棋类都不喜欢的有16人．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
20．四年级一班有学生40名，喜欢唱歌的有25人，喜欢画画的有20人，两样都喜欢的有10人，两样都不喜欢的有多少人？
【答案】5人。
【分析】先用25加上20求出两者的总人数，再减去两样都喜欢的10人，求出至少喜欢一种的人数，然后再与40人作差即可。
【解答】解：40﹣（25+20﹣10）
＝40﹣35
＝5（人）
答：两样都不喜欢的有5人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
21．某班有48名学生，每人至少订阅一份《数学报》或《学习报》．已知的学生订阅了《数学报》，的学生订阅了两种报刊，订阅《学习报》的学生有多少人？
【答案】16人。
【分析】先根据分数乘法的意义分别求出订阅《数学报》的人数和订阅两种报刊的人数，再根据容斥原理公式解答即可。
【解答】解：4844（人）
4812（人）
48﹣（44﹣12）＝16（人）
答：订阅《学习报》的学生有16人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。
22．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】参加体育代队和参加舞蹈队的人数之和是36+27＝63人，这比已知的总人数多了63﹣48＝15人，这就是重复加的两个队都参加的人数．
【解答】解：36+27﹣48
＝63﹣48
＝15（人）
答：这个班两队都参加的有15人．
【点评】此题属于典型的利用容斥原理解答的问题，如果利用画图的方法分析更简洁易懂．
23．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
【答案】41，38。
【分析】用评过三好学生的人数加上没评过三好学生的人数就等于本班的学生数。评过的学生分为只在四年级、五年级、六年级评过的，四、五年级连续的、五、六年级连续的，四、六年级连续的，四、五、六连续的这7种情况。当，四、五、六连续的是0时最多，是3时最少。
【解答】解：如图：
1+4+5+2+3+3+3+20
＝21+20
＝41（人）
1+4+5+2+3+3+20
＝18+20
＝38（人）
答：这个班最多有41名同学，最少有38名同学。
【点评】明确数量之间的包含关系是解决本题的关键。
24．同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参观的有45人．去动物园的一共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数＝去参观的总人数．把数代入计算即可．
【解答】解：70+65﹣45
＝135﹣45
＝90（人）
答：去动物园的一共有90人．
【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．知识点是：既A又B＝（A+B）﹣总人数．
25．某小学有115人参加了音乐、美术兴趣小组，其中76人参加音乐小组，54人参加美术小组，同时参加这两个小组的有多少人？
【答案】15。
【分析】根据容斥问题公式，用参加音乐小组的人数加上参加美术小组的人数，减去总人数，就是参加两个小组的人数。
【解答】解：76+54﹣115
＝130﹣115
＝15（人）
答：同时参加这两个小组的有15人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
26．希望小学三（1）班参加音乐兴趣小组的有32人，参加美术兴趣小组的有30人，这两个小组都参加的有14人。如果每个人至少参加这两个兴趣小组中的一个，则这个班共有学生多少人？
【答案】48人。
【分析】用参加音乐兴趣小组的人数加上参加美术兴趣小组的人数，减去两个小组都参加的人数，求出这个班的总人数。
【解答】解：32+30﹣14＝48（人）
答：这个班共有学生48人。
【点评】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。
27．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】先把手中有黄旗的人数和手中有蓝旗的人数和手中有红旗的人数相加，手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人，说明重复计算了6+6＝12人，手中只有红、黄两种小旗的有9人，说明重复计算了9人，蓝两种小旗的有4人，说明重复计算了4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，说明重复计算了3人，将这些重复计算的减去即可．
【解答】解：由分析可得：34+26+18﹣6×2﹣9﹣4﹣3＝50（人）
答：这个班共有50人．
【点评】这种出现重复计算的问题中，将重复计算的部分去掉即可，属于简单题型．
28．某餐馆有30道招牌菜，小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，而且有3道菜是两人都吃过的，那么有多少道菜是两人都没吃过的？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，”可知：15+9＝24道包括三部分：只有小高吃过的、只有萱萱吃过的、两人都吃过的，所以两人一共吃过的菜有：24﹣3＝21（道），用30减去21就是两人都没吃过的；据此解答．
【解答】解：30﹣（15+9﹣3）
＝30﹣21
＝9（道）
答：有9道菜两人都没吃过．
【点评】本题考查了容斥原理的灵活运用，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B+既非A又非B．
29．某校对一年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，会跳舞的占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分数乘法的意义，分别求出会唱歌的人数和会跳舞的人数，然后求出两者的和，这样再减去至少会一种的人数48﹣3＝45人，就是两项都会的有多少人．
【解答】解：4832（人）
4836（人）
48﹣3＝45（人）
32+36﹣45﹣2＝23（人）
答：两项都会的有23人．
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
30．学校运动会，三（1）班参加跳绳比赛的有15人，参加接力比赛的有10人。这两项比赛都参加的有6人，三（1）班一共有多少人参加这两项比赛？
【答案】19人。
【分析】根据容斥原理“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”，用参加跳绳的15人加参加接力比赛的10人的和，减去两项都参加的16人即得总人数。
【解答】解：15+10﹣6
＝25﹣6
＝19（人）
答：三（1）一共有19人参加这两项比赛。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
31．三年级（2）班有56名学生，这个月进行了两次数学测试：第一次得100分的学生的学号是：6，9，15，16，27，33，56；第二次得100分的学生的学号是：7，9，16，27，36，40，48，51，53．这两次测试中，得过100分的有多少人？
【答案】13人。
【分析】根据题意可得：第一次得100分的学生有7人，第二次得100分的学生有9人，其中两次都得100分的学生有3人，然后用第一、二次得100分学生人数的和，减去两次都得100分的学生人数即可。
【解答】解：7+9﹣3
＝16﹣3
＝13（人）
答：这两次测试中，得过100分的有13人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
32．三（1）班同学在“每日一练”活动中，每人要完成两道智力闯关题．今天做对第一题的有22人，做对第二题的有26人，两道题都做对的有10人，两道题都做错的有2人．三（1）班一共有多少人？
【答案】40人．
【分析】用22加上26求出两部分人数的和，然后再减去两道题都做对的10人（即重复计算的人数），就是至少做对一题的人数，然后再加上两道题都做错的2人，就是三（1）班一共有多少人．
【解答】解：22+26﹣10+2
＝38+2
＝40（人）
答：三（1）班一共有40人．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少做对一题的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
33．三（1）班有28人订阅了《现代少年报》，有26人订阅了《中国少年报》，有5人两种报都订了。订这两种报的共有多少人？
【答案】49人。
【分析】用订阅了《现代少年报》的人数加上订阅了《中国少年报》的人数，再减去两种报都订的人数，求订这两种报的共有多少人。
【解答】解：28+26﹣5＝49（人）
答：订这两种报的共有49人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键知道各部分的关系做题。
34．四年级有60名同学．有35人参加了跳绳，有22人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有6人，只参加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用参加跳绳的人数减去这两项活动都参加的人数即可；
（2）根据“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”求出至少参加一种的人数，用总人数60减去至少参加一种的人数即可．
【解答】解：（1）35﹣6＝29（人）
（2）60﹣（35+22﹣6）
＝60﹣51
＝9（人）
答：只参加跳绳的有29人，两项活动都没参加的有9人．
【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
35．小明家有爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、妹妹和姑姑．其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，喜欢吃香蕉的有爸爸、妹妹、妈妈和姑姑．喜欢吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶．
（1）小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有几人？
（2）小明家喜欢吃草莓或西瓜的共有几人？
【答案】5人；5人．
【分析】（1）其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，有2人；喜欢吃香蕉的有爸爸、妹妹、妈妈和姑姑，有4人．求小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有几人，把这两部分的人数相加，再减去妈妈1人即可．
（2）其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，有2人；喜欢吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶，有3人；把这两部分的人数相加即可．
【解答】解：（1）2+4﹣1
＝6﹣1
＝5（人）
答：小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有5人．
（2）2+3＝5（人）
答：小明家喜欢吃草莓或西瓜的共有5人．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
36．红火小学三年有210名学生，四年有170名学生。大家都扎了疫苗，两个年级共有多少名学生扎了疫苗？
【答案】380名。
【分析】用三年的人数加上四年的人数，求两个年级的总人数即可。
【解答】解：210+170＝380（名）
答：两个年级共有380名学生扎了疫苗。
【点评】本题主要利用整数加减法的运算法则计算。
37．某次献爱心活动中，三年级（1）班捐款的有12人，捐书的有8人，既捐款又捐书的有5人，一共有多少同学参加这次爱心活动？
【答案】15。
【分析】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去。捐款的里面包括既捐款又捐书的5人，捐书的里面也包括既捐款又捐书的5人。
【解答】解：12+8﹣5
＝20﹣5
＝15（人）
答：一共有15同学参加这次爱心活动。
【点评】明确个数量之间的关系是解决本题的关键。
38．订阅《作文大王》的有24人，订阅《传统文化故事》的有17人，两种都订阅的有5人．只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有多少人？
【答案】31．
【分析】用订阅《作文大王》的人数减去两种都订阅的人数，求出只订阅《作文大王》的人数，同理，求出只订阅《传统文化故事》的人数，相加即可．
【解答】解：（24﹣5）+（17﹣5）
＝19+12
＝31（人）
答：只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有31人．
【点评】本题主要考查了容斥原理，明确容斥关系中，各部分之间的数量关系，是本题解题的关键．
39．一次测试有两道题目，答对第一题的有26人，答对第二题的有18人，两题都答对的有9人，两题都没有答对的有4人．一共有多少人答题？
【答案】39人．
【分析】用答对第一题的人数加上答对第二题的人数，然后减去两题都答对的人数（重复计算的人数），再加上两题都没有答对的人数，就是一共的人数．
【解答】解：26+18﹣9+4
＝35+4
＝39（人）
答：一共有39人答题．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
40．三（2）班的同学们到游乐园玩，坐碰碰车的有18人，玩旋转木马的有22人，两样都玩的有6人，去游乐园的有多少名同学？
【答案】34名。
【分析】根据容斥问题公式：总数量＝A+B﹣既A又B，代入数据解答即可。
【解答】解：18+22﹣6
＝40﹣6
＝34（名）
答：去游乐园的有34名同学。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B（两种情况）。
41．学校征订报刊，五（1）班同学全部订了自己喜欢的报刊，其中有的人订了《小学生作文》，有的人订了《新少年》．如果每人至少订了其中的一种报刊，那么两种报刊都订的占全班的几分之几？
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据分数加法的运算方法，把订《小学生作文》和订《新少年》的同学占全班同学人数的分率求和，再用它减去1，求出两种报刊都订的同学占全班的几分之几即可．
【解答】解：1
1
答：两种报刊都订的占全班的．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
42．三（1）班有46人，其中24人订阅了《趣味数学》，23人订阅了《开心作文》，有18人两种刊物都订阅了。有多少人两种刊物都没订阅？
【答案】17人
【分析】因为有18人两种刊物都订阅了是重叠部分的人数，所以根据容斥原理求至少订阅一种的人数是：24+23﹣18＝29（人），然后用46减去29就是两种刊物都没有订阅的总人数；据此解答。
【解答】解：46﹣（24+23﹣18）
＝46﹣29
＝17（人）
答：有17人两种刊物都没有订阅。
【点评】本题解答依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
43．苹果、梨、橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和橘子），为保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于相加后都是偶数，根据数和的奇偶性可知，两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，每种水果都是奇、偶两种性质，三种水果就是2×2×2＝8种奇偶性，即得到奇偶性不同的8堆．根据最不利原则可知，只要分出8+1＝9堆，必有两堆奇偶性相同，合并后这三种水果的个数都是偶数；据此解答．
【解答】解：由于相加后都是偶数，根据数和的奇偶性可知，两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，每种水果都是奇、偶两种性质，三种水果就是2×2×2＝8种奇偶性，即得到奇偶性不同的8堆．
根据最不利原则可知，只要分出8+1＝9堆，必有两堆奇偶性相同，合并后这三种水果的个数都是偶数．
答：最少要分成9堆（每堆都有苹果、梨和橘子），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．
【点评】明确相加后都是偶数，则两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，是解题关键．
44．三（2）班报名参加作文竞赛的有21人，报名参加数学竞赛的有25人，其中参加作文和数学两项竞赛的有8人。如果三（2）班的同学们都参加了竞赛，那么三（2）班一共有多少人？
【答案】38人。
【分析】三（2）班的人数＝参加作文竞赛的人数+参加数学竞赛的人数﹣参加作文和数学两项竞赛的人数；据此解答即可。
【解答】解：21+25﹣8
＝46﹣8
＝38（人）
答：三（2）班一共有38人。
【点评】本题考查了容斥原理知识点，基本计算方法：总数＝A+B﹣既A又B。
45．78个同学报名参加文体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有39人，即参加体育组又参加文娱组的有18人．参加文娱组的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“B类元素个数＝A类与B类元素个数的总和﹣A类元素的个数+既是A类又是B类的元素个数”代入数据解答即可．
【解答】解：78﹣39+18
＝39+18
＝57（人）
答：参加文娱组的有57人．
【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
46．小丽在自己班进行调查，得到如表数据：
会跳舞的 28人
不会跳舞的 23人
会弹钢琴的 19人
会拉二胡的 32人
这个班不会弹钢琴和不会拉二胡的分别有多少人？.
【答案】32人，19人。
【分析】根据前两个条件求出这个班的总人数，然后分别减去会弹钢琴的人数和会拉二胡的人数就是这个班不会弹钢琴和不会拉二胡的分别有多少人。
【解答】解：28+23＝51（人）
51﹣19＝32（人）
51﹣32＝19（人）
答：这个班不会弹钢琴的有32人，不会拉二胡的有19人。
【点评】本题考查了简单的容斥原理，关键是求出这个班的总人数。
47．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人．”可得两者的总人数：34+27＝61人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：61﹣54＝7（人），据此解答即可．
【解答】解：34+27﹣54
＝61﹣54
＝7（人）
答：两种兴趣小组都参加的有7人．
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．
48．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？
【答案】12人。
【分析】既参加数学竞赛又参加美术竞赛的人数＝参加数学竞赛的30人+参加美术竞赛的26人﹣三（2）班全班参加竞赛人数；据此解答即可。
【解答】解：30+26﹣44
＝56﹣44
＝12（人）
答：既参加数学竞赛又参加美术竞赛的12人。
【点评】本题属于容斥原理问题，既A又B＝A+B﹣总数。
49．六年级有120名同学参加学校田径运动会，其中的同学参加了田赛，的同学参加了径赛．田赛和径赛都参加的同学有多少名？
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分数乘法的意义分别求出参加田赛和参加径赛的人数，再根据参加田赛的人数+参加径赛的人数﹣总人数＝两项都参加的人数．
【解答】解：12075（人）
12080（人）
75+80﹣120
＝155﹣120
＝35（人）
答：田赛和径赛都参加的同学有35名．
【点评】本题考查了简单的容斥原理：A元素的个数+B元素的个数﹣元素总个数＝既A又B元素的个数，关键是求出参加田赛和径赛的人数．
50．三（2）班有48人，每人至少订了2种课外书中的一种，其中订《数学王国》的有25人，订《作文天地》的有32人。两种课外书都订的有多少人？
【答案】9人。
【分析】根据容斥问题公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。解答即可。
【解答】解：25+32﹣48
＝57﹣48
＝9（人）
答：两种课外书都订的有9人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。
51．100个学生中每人至少懂一种外语，其中76人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，只懂2种语言的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知，76人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，则76+83+65＝224（人），这224人实际上是把只懂2种语言的人多算了1次、懂三种语言的人多算了两次，所以只懂2种语言的有224﹣100﹣50﹣50＝24（人）．
【解答】解：76+83+65＝224（人）
224﹣100﹣50﹣50＝24（人）
答：只懂2种语言的有24人．
【点评】此题考查了三量重叠问题的灵活运用，A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
52．学校开展体育活动，三年级第一小组参加跳绳的同学有王平、冯华、林芳、刘明、周娟、毛萍、王佳、钟林．参加拔河的同学有蒋倩、张峰、王平、周娟、林芳、李宇、冯华、毛萍（每人至少参加一项体育活动）．
（1）如图．
（2）三年级第一小组一共有多少人？
【答案】（1）
（2）11。
【分析】（1）先将两种都参加的同学填入两个大圆圈相交的部分，然后再分别把两种活动中除了两种都参加的同学填入对应的圈内；
（2）分别数出图中三种情况的人数相加即可。
【解答】解：（1）
（2）3+5+3
＝8+3
＝11（人）
答：三年级第一小组一共有11人。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握韦恩图的画法和应用。
53．7月购进的电器： 6 种；
8月购进的电器： 7 种。
两个月一共购进了多少种电器？
【答案】6，7，8。
【分析】根据图意可得，7月购进的电器：6种；8月购进的电器：7种，先把两者的种数相加，再减去重复的4种（烧水壶、洗衣机、电饭煲、录音机、风扇），即可求两个月一共购进了多少种电器。
【解答】解：7月购进的电器：6种；8月购进的电器：7种。
6+7﹣5
＝13﹣5
＝8（种）
答：两个月一共购进了8种电器。
故答案为：6，7。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
54．甲、乙、丙3个小朋友参加礼仪知识竞赛，甲答对了20题，乙答对了25题，丙答对了32题。甲答对的20题丙都答对了，乙答对的题中有15题丙也答对了。甲、丙一共答对了多少道题？乙、丙一共答对了多少道题？
【答案】32道；42道。
【分析】（1）求甲和丙一共答对了多少道题，用20加32，再减去重复计算的20道题即可；
（2）求乙和丙一共答对了多少道题，用25加32，再减去重复计算的15道题即可。
【解答】解：20+32﹣20
＝52﹣20
＝32（道）
25+32﹣15
＝57﹣15
＝42（道）
答：甲、丙一共答对了32道题，乙、丙一共答对了42道题。
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
55．三（1）班每人至少订阅了一本杂志，其中有28人订阅了《数学王国》，还有30人订阅了《作文天地》，其中两种书都订阅的有13人。三（1）班一共有多少人？
【答案】45人。
【分析】先计算出订两种杂志的总人数，因为有两种杂志都订的人数重复数了，所以订两种杂志的总人数就比班级实际人数多，即订两种杂志的总人数减去两种杂志都订的人数，就是班级实际的人数。
【解答】解：30+28﹣13
＝58﹣13
＝45（人）
答：三（1）班一共有45人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
56．桃源超市两天一共卖出多少种不同的商品？
【答案】8种。
【分析】昨天卖出了5种商品，今天也卖出了5种商品，其中相同的有2种相同（台灯和足球），然后根据容斥原理解答即可。
【解答】解：5+5﹣2
＝10﹣2
＝8（种）
答：桃源超市两天一共卖出8种不同的商品。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
57．假期同学们到历史博物馆和民俗馆参加研学活动，每人至少参加了一项活动，其中参加历史博物馆研学的有25人，参加民俗馆研学的有28人，两项都参加的有11人。全班共有多少人？
【答案】42人。
【分析】用参加历史博物馆研学的人数加上参加民俗馆研学的人数，再减去两项都参加的人数，即可求出全班共有多少人。
【解答】解：25+28﹣11
＝53﹣11
＝42（人）
答：全班共有42人。
【点评】本题考查容斥原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
58．三（1）班每人都订了报纸，订《小学生周报》的有25人，订《小博士报》的有21人，两种报纸都订的有9人，三（1）班一共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】把订《小学生周报》有25人，订《小博士报》的有21人相加，去掉重复的两种报纸都订的有9人，即可得出答案．
【解答】解：25+21﹣9
＝46﹣9
＝37（人）
答：三（1）班一共有37人．
【点评】此题考查容斥原理的实际运用，掌握基本计算方法：总人数＝A+B﹣既A又B．
59．三年级三个班认养了一批树苗，其中56棵不是（1）班认养的，65棵不是（2）班认养的，61棵不是（3）班认养的。问：（1）班、（2）班、（3）班分别认养了多少棵？
【答案】35棵、26棵、30棵。
【分析】根据题干可知，（2）、（3）班共认养了56棵树；（1）、（3）班共认养了65棵树；（1）、（2）班共认养了61棵树，由此可得：（2）、（3）班共认养的56棵+（1）、（2）班共认养的61棵﹣（1）、（3）班共认养的65棵＝2×（2）班认养树的棵数，由此即可计算得出（2）班认养树的棵数，然后再进一步解答即可。
【解答】解：根据题干分析可得：
（2）班种认养的棵数：
（56+61﹣65）÷2
＝52÷2
＝26（棵）
（1）班认养树的棵数：
61﹣26＝35（棵）
（3）班认养树的棵数：
56﹣26＝30（棵）
答：（1）班、（2）班、（3）班分别认养了35棵、26棵、30棵。
【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键是求出（2）班认养树的棵数。
60．下面是天天鲜蔬菜店两天的进货情况．
（1）天天鲜蔬菜店两天一共运进了多少种蔬菜？
（2）你还能提出其它数学问题并解答吗？
【答案】（1）10；（2）两天都运进的蔬菜有几种？3种.（答案不唯一.）
【分析】（1）根据图示，昨天进了：大白菜、茄子、青椒、藕、黄瓜、豆角6种蔬菜，今天进了：黄瓜、蒜苔、莴苣、青椒、藕、土豆、西红柿7种蔬菜，其中两天都进的有：青椒、藕、黄瓜3种蔬菜，所以，用昨天进的种类+今天进的种类，减去两天都进的种类，就是两天一共运进的种类。
（2）问题：两天都运进的蔬菜有几种？数一数即可得出结论。
【解答】解：（1）6+7﹣3＝10（种）
答：天天鲜蔬菜店两天一共运进了10种蔬菜.
（2）两天都运进的蔬菜有几种？
答：3种.
（答案不唯一.）
【点评】本题主要考查容斥问题，关键是利用容斥问题公式解答。
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1．某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号 1 2 3 4 5
人数 4 6 10 20 39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
2．“六一”少儿美术作品展览，有26件不是四年级的，有16件不是五年级的，四五年级共有作品28件，四五年级各有作品多少件？
3．王老师出了两道数学题，全班42人，答对第一题的有28人，答对第二题的有32人，两题都答错的有1人。那么，两题都答对的有多少人？
4．三（1）班参加书法，科技兴趣小组的学生名单如下：
书法小组：李伟，赵雪，汪艳，王朋，江帆，周强，杨柳
科技小组：刘芳，杨柳，王涛，李伟，周红，李丽，赵雪，刘佳
（1）按要求把学生名单填入图中．
（2）参加这两个小组的学生共有多少人？
5．三年级有20个同学参加兴趣小组，其中参加数学小组的有15人，参加语文小组的有13人．
（1）既参加数学小组又参加语文小组的有多少人？
（2）只参加数学小组的有多少人？只参加语文小组的呢？
6．某工厂有180人，其中每个人要么会打乒乓球，要么会打羽毛球，要么两样都会。现知道会打乒乓球的有80人，既会打羽毛球又会打乒乓球的有20人，会打羽毛球的有多少人？
7．我们班参加竞赛的学生一共有多少人？
8．六（1）班同学坚持参加体育锻炼．体育委员对班级爱好打乒乓球、羽毛球的情况做了统计：85%的人爱好打乒乓球，75%的人爱好打羽毛球，还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球．请求出这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的百分之几．
9．三年级组织150人向山区捐献物资，其中75人捐献书本，63人捐献衣物，其余人捐献文具。书本和衣物都捐的同学有38人，那么捐献文具的同学有多少人？
10．班里进行了﹣次数学趣味测验．共有两道数学题．全班36人中，做对第一道数学题的有21人，做对第二道数学题的有18人，全班每人至少做对一道题．两道题都做对的有几人？
11．书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？
12．高中三年级绘画班有48人，其中28人参加了南方学院的绘画考试，有16人参加了北方学院的绘画考试，这两个学院的考试都参加的有10人，不参加这两个学院考试的全部参加了中央美术学院的考试，参加中央美术学院绘画考试的有几人？
13．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？
14．二年（3）班45名小朋友去图书馆借书，有20名小朋友借了童话书，有30名小朋友借了故事书，那么有多少名小朋友既借了童话书又借了故事书呢？
15．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？
16．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？
17．参加数学竞赛的有22人，参加语文竞赛的有26人，两个都参加的有10人，都没参加的有2人，这个班级共有学生多少人？
18．三（3）班学生餐饮调查：
这个班一共有多少人？
19．东风小学三（1）班有50人．其中25人喜欢象棋.22人喜欢围棋.13人既喜欢象棋又喜欢围棋．两种棋类都不喜欢的有多少人？
20．四年级一班有学生40名，喜欢唱歌的有25人，喜欢画画的有20人，两样都喜欢的有10人，两样都不喜欢的有多少人？
21．某班有48名学生，每人至少订阅一份《数学报》或《学习报》．已知的学生订阅了《数学报》，的学生订阅了两种报刊，订阅《学习报》的学生有多少人？
22．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？
23．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
24．同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参观的有45人．去动物园的一共有多少人？
25．某小学有115人参加了音乐、美术兴趣小组，其中76人参加音乐小组，54人参加美术小组，同时参加这两个小组的有多少人？
26．希望小学三（1）班参加音乐兴趣小组的有32人，参加美术兴趣小组的有30人，这两个小组都参加的有14人。如果每个人至少参加这两个兴趣小组中的一个，则这个班共有学生多少人？
27．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
28．某餐馆有30道招牌菜，小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，而且有3道菜是两人都吃过的，那么有多少道菜是两人都没吃过的？
29．某校对一年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，会跳舞的占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有多少人？
30．学校运动会，三（1）班参加跳绳比赛的有15人，参加接力比赛的有10人。这两项比赛都参加的有6人，三（1）班一共有多少人参加这两项比赛？
31．三年级（2）班有56名学生，这个月进行了两次数学测试：第一次得100分的学生的学号是：6，9，15，16，27，33，56；第二次得100分的学生的学号是：7，9，16，27，36，40，48，51，53．这两次测试中，得过100分的有多少人？
32．三（1）班同学在“每日一练”活动中，每人要完成两道智力闯关题．今天做对第一题的有22人，做对第二题的有26人，两道题都做对的有10人，两道题都做错的有2人．三（1）班一共有多少人？
33．三（1）班有28人订阅了《现代少年报》，有26人订阅了《中国少年报》，有5人两种报都订了。订这两种报的共有多少人？
34．四年级有60名同学．有35人参加了跳绳，有22人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有6人，只参加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？
35．小明家有爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、妹妹和姑姑．其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，喜欢吃香蕉的有爸爸、妹妹、妈妈和姑姑．喜欢吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶．
（1）小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有几人？
（2）小明家喜欢吃草莓或西瓜的共有几人？
36．红火小学三年有210名学生，四年有170名学生。大家都扎了疫苗，两个年级共有多少名学生扎了疫苗？
37．某次献爱心活动中，三年级（1）班捐款的有12人，捐书的有8人，既捐款又捐书的有5人，一共有多少同学参加这次爱心活动？
38．订阅《作文大王》的有24人，订阅《传统文化故事》的有17人，两种都订阅的有5人．只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有多少人？
39．一次测试有两道题目，答对第一题的有26人，答对第二题的有18人，两题都答对的有9人，两题都没有答对的有4人．一共有多少人答题？
40．三（2）班的同学们到游乐园玩，坐碰碰车的有18人，玩旋转木马的有22人，两样都玩的有6人，去游乐园的有多少名同学？
41．学校征订报刊，五（1）班同学全部订了自己喜欢的报刊，其中有的人订了《小学生作文》，有的人订了《新少年》．如果每人至少订了其中的一种报刊，那么两种报刊都订的占全班的几分之几？
42．三（1）班有46人，其中24人订阅了《趣味数学》，23人订阅了《开心作文》，有18人两种刊物都订阅了。有多少人两种刊物都没订阅？
43．苹果、梨、橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和橘子），为保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．
44．三（2）班报名参加作文竞赛的有21人，报名参加数学竞赛的有25人，其中参加作文和数学两项竞赛的有8人。如果三（2）班的同学们都参加了竞赛，那么三（2）班一共有多少人？
45．78个同学报名参加文体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有39人，即参加体育组又参加文娱组的有18人．参加文娱组的有多少人？
46．小丽在自己班进行调查，得到如表数据：
会跳舞的 28人
不会跳舞的 23人
会弹钢琴的 19人
会拉二胡的 32人
这个班不会弹钢琴和不会拉二胡的分别有多少人？.
47．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？
48．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？
49．六年级有120名同学参加学校田径运动会，其中的同学参加了田赛，的同学参加了径赛．田赛和径赛都参加的同学有多少名？
50．三（2）班有48人，每人至少订了2种课外书中的一种，其中订《数学王国》的有25人，订《作文天地》的有32人。两种课外书都订的有多少人？
51．100个学生中每人至少懂一种外语，其中76人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，只懂2种语言的有多少人？
52．学校开展体育活动，三年级第一小组参加跳绳的同学有王平、冯华、林芳、刘明、周娟、毛萍、王佳、钟林．参加拔河的同学有蒋倩、张峰、王平、周娟、林芳、李宇、冯华、毛萍（每人至少参加一项体育活动）．
（1）如图．
（2）三年级第一小组一共有多少人？
53．7月购进的电器： 种；
8月购进的电器： 种。
两个月一共购进了多少种电器？
54．甲、乙、丙3个小朋友参加礼仪知识竞赛，甲答对了20题，乙答对了25题，丙答对了32题。甲答对的20题丙都答对了，乙答对的题中有15题丙也答对了。甲、丙一共答对了多少道题？乙、丙一共答对了多少道题？
55．三（1）班每人至少订阅了一本杂志，其中有28人订阅了《数学王国》，还有30人订阅了《作文天地》，其中两种书都订阅的有13人。三（1）班一共有多少人？
56．桃源超市两天一共卖出多少种不同的商品？
57．假期同学们到历史博物馆和民俗馆参加研学活动，每人至少参加了一项活动，其中参加历史博物馆研学的有25人，参加民俗馆研学的有28人，两项都参加的有11人。全班共有多少人？
58．三（1）班每人都订了报纸，订《小学生周报》的有25人，订《小博士报》的有21人，两种报纸都订的有9人，三（1）班一共有多少人？
59．三年级三个班认养了一批树苗，其中56棵不是（1）班认养的，65棵不是（2）班认养的，61棵不是（3）班认养的。问：（1）班、（2）班、（3）班分别认养了多少棵？
60．下面是天天鲜蔬菜店两天的进货情况．
（1）天天鲜蔬菜店两天一共运进了多少种蔬菜？
（2）你还能提出其它数学问题并解答吗？
容斥原理
参考答案与试题解析
1．某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号 1 2 3 4 5
人数 4 6 10 20 39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
【答案】31 人。
【分析】首先计算出总共有题52×5＝260（道），这样做对的题有260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）。对2道，3道，4道题的人共有52﹣7﹣6＝39（人），他们共做对181﹣1×7﹣5×6＝144（道），由于对2道和3道题的人数一样多，可以把他们看作是对2.5道题的人，这样结合做对2道、3道题、4道题的题目总数为144道，做对2道、3道题、4道题的人数为39人，最后计算出对4道题的有（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）＝31（人）。
【解答】解：52×5＝260（道）
260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）
52﹣7﹣6＝39（人）
181﹣1×7﹣5×6
＝181﹣7﹣30
＝144（道）
（2+3）÷2＝2.5（道）
（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）
＝（144﹣97.5）÷1.5
＝46.5÷1.5
＝31（人）
答：做对4道题的有31人。
【点评】本题考查容斥原理及鸡兔同笼问题，属于较难问题，分析时一定需要细致入微。
2．“六一”少儿美术作品展览，有26件不是四年级的，有16件不是五年级的，四五年级共有作品28件，四五年级各有作品多少件？
【答案】见试题解答内容
【分析】26件不是四年级的，即26件是1，2，3，5，6年级的；16件不是五年级的，即16件是1，2，3，4，6年级的；则5年级比4年级多：26﹣16＝10件，已知四五年级共有作品28件，所以4年级有：（28﹣10）÷2＝9件；5年级有：28﹣9＝19或9+10＝19件；由此解答即可．
【解答】解：四年级：[28﹣（26﹣16）]÷2
＝18÷2
＝9（件）；
五年级：28﹣9＝19（件）；
答：四年级有作品9件，五年级有作品19件．
【点评】此题较难，应根据题意，进行认真分析，明确5年级参赛的作品比4年级多26﹣16＝10件，是解答此题的关键．
3．王老师出了两道数学题，全班42人，答对第一题的有28人，答对第二题的有32人，两题都答错的有1人。那么，两题都答对的有多少人？
【答案】19人。
【分析】根据两题都答对的学生数＝（答对第一题的人数+答对第二题的人数）﹣（总人数﹣两题都答错的人数）；据此解答。
【解答】解：（28+32）﹣（42﹣1）
＝60﹣41
＝19（人）
答：两题都答对的有19人。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两题都答对的学生数＝（答对第一题的人数+答对第二题的人数）﹣（总人数﹣两题都答错的人数）。
4．三（1）班参加书法，科技兴趣小组的学生名单如下：
书法小组：李伟，赵雪，汪艳，王朋，江帆，周强，杨柳
科技小组：刘芳，杨柳，王涛，李伟，周红，李丽，赵雪，刘佳
（1）按要求把学生名单填入图中．
（2）参加这两个小组的学生共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）书法小组：李伟，赵雪，汪艳，王朋，江帆，周强，杨柳，7人；
科技小组：刘芳，杨柳，王涛，李伟，周红，李丽，赵雪，刘佳，8人；
两个小组都参加有：李伟，赵雪，杨柳，3人；
由此填入图中即可；
（2）把书法小组的人数和科技小组的人数相加，再减去两个小组都参加的人数，即可求出参加这两个小组的学生共有多少人．
【解答】解：（1）如图：
（2）7+8﹣3＝12（人）
答：参加这两个小组的学生共有12人．
【点评】本题利用容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣A类B类元素个数总和．
5．三年级有20个同学参加兴趣小组，其中参加数学小组的有15人，参加语文小组的有13人．
（1）既参加数学小组又参加语文小组的有多少人？
（2）只参加数学小组的有多少人？只参加语文小组的呢？
【答案】（1）8；
（2）7，5。
【分析】（1）根据容斥原理公式，两个小组都参加的人数＝参加数学小组的人数+参加语文小组的人数﹣参加兴趣小组的人数；
（2）只参加数学小组的人数＝参加数学小组的人数﹣两个小组都参加的人数，同理可求只参加语文小组的人数。
【解答】解：（1）15+13﹣20
＝28﹣20
＝8（人）
答：既参加数学小组又参加语文小组的有8人。
（2）15﹣8＝7（人）
13﹣8＝5（人）
答：只参加数学小组的有7人；只参加语文小组的有5人。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟记容斥原理公式并能灵活运用。
6．某工厂有180人，其中每个人要么会打乒乓球，要么会打羽毛球，要么两样都会。现知道会打乒乓球的有80人，既会打羽毛球又会打乒乓球的有20人，会打羽毛球的有多少人？
【答案】120人。
【分析】现知道会打乒乓球的有80人，会打羽毛球也会打乒乓球的有20人，则只会打乒乓球的有80﹣20＝60（人），所以会打羽毛球的有180﹣60＝120（人）；据此解答即可。
【解答】解：180﹣（80﹣20）
＝180﹣60
＝120（人）
答：会打羽毛球的有120人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
7．我们班参加竞赛的学生一共有多少人？
【答案】41人。
【分析】先把参加数学和作文的人数相加，这其中多加了一次两项都参加的人数，然后再减去两项都参加的人数10即可。
【解答】解：26+25﹣10
＝51﹣10
＝41（人）
答：我们班参加竞赛的学生一共有41人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
8．六（1）班同学坚持参加体育锻炼．体育委员对班级爱好打乒乓球、羽毛球的情况做了统计：85%的人爱好打乒乓球，75%的人爱好打羽毛球，还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球．请求出这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的百分之几．
【答案】见试题解答内容
【分析】还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球，则至少喜欢一样的占总人数1﹣10%，然后根据两量重叠问题：既是A类又是B类的元素个数＝A类元素的个数+B类元素个数﹣A类与B类元素个数的总和；代入数据解答即可．
【解答】解：85%+75%﹣（1﹣10%）
＝160%﹣90%
＝70%
答：这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的70%．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
9．三年级组织150人向山区捐献物资，其中75人捐献书本，63人捐献衣物，其余人捐献文具。书本和衣物都捐的同学有38人，那么捐献文具的同学有多少人？
【答案】50人。
【分析】先用75加上63求出两者的总人数，然后减去38就是捐书本和衣物的人数和，再用150减去这个人数和就是捐献文具的同学有多少人。
【解答】解：75+63﹣38
＝138﹣38
＝100（人）
150﹣100＝50（人）
答：捐献文具的同学有50人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
10．班里进行了﹣次数学趣味测验．共有两道数学题．全班36人中，做对第一道数学题的有21人，做对第二道数学题的有18人，全班每人至少做对一道题．两道题都做对的有几人？
【答案】3人．
【分析】两题都做对的人数重复数了两次，所以做对第一道题的人数加上做对第二道题的人数减去总人数就是两题都做对的人数．
【解答】解：21+18﹣36
＝39﹣36
＝3（人）
答：两道都做对的有3人．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
11．书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？
【答案】23人。
【分析】用硬笔书法获奖的人数加上软笔书法获奖的人数，然后减去两项都获奖的人数，即可求出三年级书法获奖的一共有多少人。由此解答即可。
【解答】解：18+10﹣5
＝28﹣5
＝23（人）
答：三年级书法获奖的一共有23人。
【点评】此题考查容斥原理的简单应用。
12．高中三年级绘画班有48人，其中28人参加了南方学院的绘画考试，有16人参加了北方学院的绘画考试，这两个学院的考试都参加的有10人，不参加这两个学院考试的全部参加了中央美术学院的考试，参加中央美术学院绘画考试的有几人？
【答案】14人。
【分析】把参加了南、北方学院绘画考试的人数相加，求出两者的和，再减去重复计算的人数，即这两个学院的考试都参加的有10人，就是实际参加南、北方学院绘画考试的人数，然后再与48人作差，就是参加中央美术学院绘画考试的人数。
【解答】解：48﹣（28+16﹣10）
＝48﹣34
＝14（人）
答：参加中央美术学院绘画考试的有14人。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解10人的意义，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。
13．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】已知参加数学和语文兴趣小组的一共有30+25＝55人，把既参加语文兴趣小组又参加数学兴趣小组的18人重复加了一次，减去重复的18人得出答案即可．
【解答】解：30+25﹣18
＝55﹣18
＝37（人）
答：全班有37人．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
14．二年（3）班45名小朋友去图书馆借书，有20名小朋友借了童话书，有30名小朋友借了故事书，那么有多少名小朋友既借了童话书又借了故事书呢？
【答案】5名。
【分析】同时借了两种书的小朋友数＝借童话书的人数+借故事书的人数﹣班级总人数，将题目中给出的数值代入上述公式即可解答。
【解答】解：20+30﹣45
＝50﹣45
＝5（名）
答：有5名小朋友既借了童话书又借了故事书。
【点评】本题考查了容斥原理的灵活运用。
15．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】用14人加上28人求出两者的和，由于8人是重复计算的部分，再减去8人，就是至少参加一项的人数是：28+14﹣8＝34（人），然后用总人数52人减去至少参加一项的人数，就是两个小组都没参加的人数，即52﹣34＝18（人）．
【解答】解：52﹣（28+14﹣8）
＝52﹣34
＝18（人）
答：这个班两个小组都没参加的有18人．
【点评】容斥原理的计算公式：A+B﹣既A又B＝至少参加一项的人数．
16．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？
【答案】48人。
【分析】某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，两者共有26+30＝56人，然后再减去其中数学、英语都参加的有12人，即重叠的人数12人就是至少参加一项的人数，最后加上两个小组都不参加的4人，可得这个班学生的人数。
【解答】解：26+30﹣12+4
＝56﹣12+4
＝48（人）
答：这个班学生人数有48人。
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
17．参加数学竞赛的有22人，参加语文竞赛的有26人，两个都参加的有10人，都没参加的有2人，这个班级共有学生多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，有关系式：全班人数＝参加数学竞赛的人数+参加语文竞赛的人数﹣两个都参加的人数﹣两个都没参加的人数．把数代入即可求出全班人数．
【解答】解：22+26﹣10+2
＝48﹣10+2
＝38+2
＝40（人）
答：这个班级共有学生40人．
【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．
18．三（3）班学生餐饮调查：
这个班一共有多少人？
【答案】48人。
【分析】三（3）班总人数＝喜欢吃肉的人数+喜欢吃蔬菜的人数﹣两样都喜欢的人数+两样都不喜欢的人数；据此解答即可。
【解答】解：36+39﹣30+3
＝75﹣30+3
＝48（人）
答：这个班一共有48人。
【点评】本题属于容斥原理问题，总数＝A+B﹣既A又B+即不是A又不是B。
19．东风小学三（1）班有50人．其中25人喜欢象棋.22人喜欢围棋.13人既喜欢象棋又喜欢围棋．两种棋类都不喜欢的有多少人？
【答案】16人．
【分析】把喜欢象棋和喜欢围棋的人数相加，然后再减去重复计算的13人就是至少喜欢一种的人数，然后再与总人数50作差即可．
【解答】解：25+22﹣13＝34（人）
50﹣34＝16（人）
答：两种棋类都不喜欢的有16人．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
20．四年级一班有学生40名，喜欢唱歌的有25人，喜欢画画的有20人，两样都喜欢的有10人，两样都不喜欢的有多少人？
【答案】5人。
【分析】先用25加上20求出两者的总人数，再减去两样都喜欢的10人，求出至少喜欢一种的人数，然后再与40人作差即可。
【解答】解：40﹣（25+20﹣10）
＝40﹣35
＝5（人）
答：两样都不喜欢的有5人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
21．某班有48名学生，每人至少订阅一份《数学报》或《学习报》．已知的学生订阅了《数学报》，的学生订阅了两种报刊，订阅《学习报》的学生有多少人？
【答案】16人。
【分析】先根据分数乘法的意义分别求出订阅《数学报》的人数和订阅两种报刊的人数，再根据容斥原理公式解答即可。
【解答】解：4844（人）
4812（人）
48﹣（44﹣12）＝16（人）
答：订阅《学习报》的学生有16人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。
22．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】参加体育代队和参加舞蹈队的人数之和是36+27＝63人，这比已知的总人数多了63﹣48＝15人，这就是重复加的两个队都参加的人数．
【解答】解：36+27﹣48
＝63﹣48
＝15（人）
答：这个班两队都参加的有15人．
【点评】此题属于典型的利用容斥原理解答的问题，如果利用画图的方法分析更简洁易懂．
23．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
【答案】41，38。
【分析】用评过三好学生的人数加上没评过三好学生的人数就等于本班的学生数。评过的学生分为只在四年级、五年级、六年级评过的，四、五年级连续的、五、六年级连续的，四、六年级连续的，四、五、六连续的这7种情况。当，四、五、六连续的是0时最多，是3时最少。
【解答】解：如图：
1+4+5+2+3+3+3+20
＝21+20
＝41（人）
1+4+5+2+3+3+20
＝18+20
＝38（人）
答：这个班最多有41名同学，最少有38名同学。
【点评】明确数量之间的包含关系是解决本题的关键。
24．同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参观的有45人．去动物园的一共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数＝去参观的总人数．把数代入计算即可．
【解答】解：70+65﹣45
＝135﹣45
＝90（人）
答：去动物园的一共有90人．
【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．知识点是：既A又B＝（A+B）﹣总人数．
25．某小学有115人参加了音乐、美术兴趣小组，其中76人参加音乐小组，54人参加美术小组，同时参加这两个小组的有多少人？
【答案】15。
【分析】根据容斥问题公式，用参加音乐小组的人数加上参加美术小组的人数，减去总人数，就是参加两个小组的人数。
【解答】解：76+54﹣115
＝130﹣115
＝15（人）
答：同时参加这两个小组的有15人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
26．希望小学三（1）班参加音乐兴趣小组的有32人，参加美术兴趣小组的有30人，这两个小组都参加的有14人。如果每个人至少参加这两个兴趣小组中的一个，则这个班共有学生多少人？
【答案】48人。
【分析】用参加音乐兴趣小组的人数加上参加美术兴趣小组的人数，减去两个小组都参加的人数，求出这个班的总人数。
【解答】解：32+30﹣14＝48（人）
答：这个班共有学生48人。
【点评】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。
27．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】先把手中有黄旗的人数和手中有蓝旗的人数和手中有红旗的人数相加，手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人，说明重复计算了6+6＝12人，手中只有红、黄两种小旗的有9人，说明重复计算了9人，蓝两种小旗的有4人，说明重复计算了4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，说明重复计算了3人，将这些重复计算的减去即可．
【解答】解：由分析可得：34+26+18﹣6×2﹣9﹣4﹣3＝50（人）
答：这个班共有50人．
【点评】这种出现重复计算的问题中，将重复计算的部分去掉即可，属于简单题型．
28．某餐馆有30道招牌菜，小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，而且有3道菜是两人都吃过的，那么有多少道菜是两人都没吃过的？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，”可知：15+9＝24道包括三部分：只有小高吃过的、只有萱萱吃过的、两人都吃过的，所以两人一共吃过的菜有：24﹣3＝21（道），用30减去21就是两人都没吃过的；据此解答．
【解答】解：30﹣（15+9﹣3）
＝30﹣21
＝9（道）
答：有9道菜两人都没吃过．
【点评】本题考查了容斥原理的灵活运用，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B+既非A又非B．
29．某校对一年级某班新生做一项调查，学生共48人，会唱歌的人数占全班的，会跳舞的占全班的，两项都不会的有3人，两项都会的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分数乘法的意义，分别求出会唱歌的人数和会跳舞的人数，然后求出两者的和，这样再减去至少会一种的人数48﹣3＝45人，就是两项都会的有多少人．
【解答】解：4832（人）
4836（人）
48﹣3＝45（人）
32+36﹣45﹣2＝23（人）
答：两项都会的有23人．
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
30．学校运动会，三（1）班参加跳绳比赛的有15人，参加接力比赛的有10人。这两项比赛都参加的有6人，三（1）班一共有多少人参加这两项比赛？
【答案】19人。
【分析】根据容斥原理“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”，用参加跳绳的15人加参加接力比赛的10人的和，减去两项都参加的16人即得总人数。
【解答】解：15+10﹣6
＝25﹣6
＝19（人）
答：三（1）一共有19人参加这两项比赛。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
31．三年级（2）班有56名学生，这个月进行了两次数学测试：第一次得100分的学生的学号是：6，9，15，16，27，33，56；第二次得100分的学生的学号是：7，9，16，27，36，40，48，51，53．这两次测试中，得过100分的有多少人？
【答案】13人。
【分析】根据题意可得：第一次得100分的学生有7人，第二次得100分的学生有9人，其中两次都得100分的学生有3人，然后用第一、二次得100分学生人数的和，减去两次都得100分的学生人数即可。
【解答】解：7+9﹣3
＝16﹣3
＝13（人）
答：这两次测试中，得过100分的有13人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
32．三（1）班同学在“每日一练”活动中，每人要完成两道智力闯关题．今天做对第一题的有22人，做对第二题的有26人，两道题都做对的有10人，两道题都做错的有2人．三（1）班一共有多少人？
【答案】40人．
【分析】用22加上26求出两部分人数的和，然后再减去两道题都做对的10人（即重复计算的人数），就是至少做对一题的人数，然后再加上两道题都做错的2人，就是三（1）班一共有多少人．
【解答】解：22+26﹣10+2
＝38+2
＝40（人）
答：三（1）班一共有40人．
【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少做对一题的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
33．三（1）班有28人订阅了《现代少年报》，有26人订阅了《中国少年报》，有5人两种报都订了。订这两种报的共有多少人？
【答案】49人。
【分析】用订阅了《现代少年报》的人数加上订阅了《中国少年报》的人数，再减去两种报都订的人数，求订这两种报的共有多少人。
【解答】解：28+26﹣5＝49（人）
答：订这两种报的共有49人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键知道各部分的关系做题。
34．四年级有60名同学．有35人参加了跳绳，有22人参加了踢毽子，这两项活动都参加的有6人，只参加跳绳的有多少人？两项活动都没参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用参加跳绳的人数减去这两项活动都参加的人数即可；
（2）根据“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”求出至少参加一种的人数，用总人数60减去至少参加一种的人数即可．
【解答】解：（1）35﹣6＝29（人）
（2）60﹣（35+22﹣6）
＝60﹣51
＝9（人）
答：只参加跳绳的有29人，两项活动都没参加的有9人．
【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
35．小明家有爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、妹妹和姑姑．其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，喜欢吃香蕉的有爸爸、妹妹、妈妈和姑姑．喜欢吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶．
（1）小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有几人？
（2）小明家喜欢吃草莓或西瓜的共有几人？
【答案】5人；5人．
【分析】（1）其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，有2人；喜欢吃香蕉的有爸爸、妹妹、妈妈和姑姑，有4人．求小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有几人，把这两部分的人数相加，再减去妈妈1人即可．
（2）其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，有2人；喜欢吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶，有3人；把这两部分的人数相加即可．
【解答】解：（1）2+4﹣1
＝6﹣1
＝5（人）
答：小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有5人．
（2）2+3＝5（人）
答：小明家喜欢吃草莓或西瓜的共有5人．
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．
36．红火小学三年有210名学生，四年有170名学生。大家都扎了疫苗，两个年级共有多少名学生扎了疫苗？
【答案】380名。
【分析】用三年的人数加上四年的人数，求两个年级的总人数即可。
【解答】解：210+170＝380（名）
答：两个年级共有380名学生扎了疫苗。
【点评】本题主要利用整数加减法的运算法则计算。
37．某次献爱心活动中，三年级（1）班捐款的有12人，捐书的有8人，既捐款又捐书的有5人，一共有多少同学参加这次爱心活动？
【答案】15。
【分析】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去。捐款的里面包括既捐款又捐书的5人，捐书的里面也包括既捐款又捐书的5人。
【解答】解：12+8﹣5
＝20﹣5
＝15（人）
答：一共有15同学参加这次爱心活动。
【点评】明确个数量之间的关系是解决本题的关键。
38．订阅《作文大王》的有24人，订阅《传统文化故事》的有17人，两种都订阅的有5人．只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有多少人？
【答案】31．
【分析】用订阅《作文大王》的人数减去两种都订阅的人数，求出只订阅《作文大王》的人数，同理，求出只订阅《传统文化故事》的人数，相加即可．
【解答】解：（24﹣5）+（17﹣5）
＝19+12
＝31（人）
答：只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有31人．
【点评】本题主要考查了容斥原理，明确容斥关系中，各部分之间的数量关系，是本题解题的关键．
39．一次测试有两道题目，答对第一题的有26人，答对第二题的有18人，两题都答对的有9人，两题都没有答对的有4人．一共有多少人答题？
【答案】39人．
【分析】用答对第一题的人数加上答对第二题的人数，然后减去两题都答对的人数（重复计算的人数），再加上两题都没有答对的人数，就是一共的人数．
【解答】解：26+18﹣9+4
＝35+4
＝39（人）
答：一共有39人答题．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
40．三（2）班的同学们到游乐园玩，坐碰碰车的有18人，玩旋转木马的有22人，两样都玩的有6人，去游乐园的有多少名同学？
【答案】34名。
【分析】根据容斥问题公式：总数量＝A+B﹣既A又B，代入数据解答即可。
【解答】解：18+22﹣6
＝40﹣6
＝34（名）
答：去游乐园的有34名同学。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B（两种情况）。
41．学校征订报刊，五（1）班同学全部订了自己喜欢的报刊，其中有的人订了《小学生作文》，有的人订了《新少年》．如果每人至少订了其中的一种报刊，那么两种报刊都订的占全班的几分之几？
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据分数加法的运算方法，把订《小学生作文》和订《新少年》的同学占全班同学人数的分率求和，再用它减去1，求出两种报刊都订的同学占全班的几分之几即可．
【解答】解：1
1
答：两种报刊都订的占全班的．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．
42．三（1）班有46人，其中24人订阅了《趣味数学》，23人订阅了《开心作文》，有18人两种刊物都订阅了。有多少人两种刊物都没订阅？
【答案】17人
【分析】因为有18人两种刊物都订阅了是重叠部分的人数，所以根据容斥原理求至少订阅一种的人数是：24+23﹣18＝29（人），然后用46减去29就是两种刊物都没有订阅的总人数；据此解答。
【解答】解：46﹣（24+23﹣18）
＝46﹣29
＝17（人）
答：有17人两种刊物都没有订阅。
【点评】本题解答依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
43．苹果、梨、橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和橘子），为保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于相加后都是偶数，根据数和的奇偶性可知，两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，每种水果都是奇、偶两种性质，三种水果就是2×2×2＝8种奇偶性，即得到奇偶性不同的8堆．根据最不利原则可知，只要分出8+1＝9堆，必有两堆奇偶性相同，合并后这三种水果的个数都是偶数；据此解答．
【解答】解：由于相加后都是偶数，根据数和的奇偶性可知，两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，每种水果都是奇、偶两种性质，三种水果就是2×2×2＝8种奇偶性，即得到奇偶性不同的8堆．
根据最不利原则可知，只要分出8+1＝9堆，必有两堆奇偶性相同，合并后这三种水果的个数都是偶数．
答：最少要分成9堆（每堆都有苹果、梨和橘子），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数．
【点评】明确相加后都是偶数，则两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，是解题关键．
44．三（2）班报名参加作文竞赛的有21人，报名参加数学竞赛的有25人，其中参加作文和数学两项竞赛的有8人。如果三（2）班的同学们都参加了竞赛，那么三（2）班一共有多少人？
【答案】38人。
【分析】三（2）班的人数＝参加作文竞赛的人数+参加数学竞赛的人数﹣参加作文和数学两项竞赛的人数；据此解答即可。
【解答】解：21+25﹣8
＝46﹣8
＝38（人）
答：三（2）班一共有38人。
【点评】本题考查了容斥原理知识点，基本计算方法：总数＝A+B﹣既A又B。
45．78个同学报名参加文体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有39人，即参加体育组又参加文娱组的有18人．参加文娱组的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“B类元素个数＝A类与B类元素个数的总和﹣A类元素的个数+既是A类又是B类的元素个数”代入数据解答即可．
【解答】解：78﹣39+18
＝39+18
＝57（人）
答：参加文娱组的有57人．
【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
46．小丽在自己班进行调查，得到如表数据：
会跳舞的 28人
不会跳舞的 23人
会弹钢琴的 19人
会拉二胡的 32人
这个班不会弹钢琴和不会拉二胡的分别有多少人？.
【答案】32人，19人。
【分析】根据前两个条件求出这个班的总人数，然后分别减去会弹钢琴的人数和会拉二胡的人数就是这个班不会弹钢琴和不会拉二胡的分别有多少人。
【解答】解：28+23＝51（人）
51﹣19＝32（人）
51﹣32＝19（人）
答：这个班不会弹钢琴的有32人，不会拉二胡的有19人。
【点评】本题考查了简单的容斥原理，关键是求出这个班的总人数。
47．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人．”可得两者的总人数：34+27＝61人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：61﹣54＝7（人），据此解答即可．
【解答】解：34+27﹣54
＝61﹣54
＝7（人）
答：两种兴趣小组都参加的有7人．
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．
48．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？
【答案】12人。
【分析】既参加数学竞赛又参加美术竞赛的人数＝参加数学竞赛的30人+参加美术竞赛的26人﹣三（2）班全班参加竞赛人数；据此解答即可。
【解答】解：30+26﹣44
＝56﹣44
＝12（人）
答：既参加数学竞赛又参加美术竞赛的12人。
【点评】本题属于容斥原理问题，既A又B＝A+B﹣总数。
49．六年级有120名同学参加学校田径运动会，其中的同学参加了田赛，的同学参加了径赛．田赛和径赛都参加的同学有多少名？
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分数乘法的意义分别求出参加田赛和参加径赛的人数，再根据参加田赛的人数+参加径赛的人数﹣总人数＝两项都参加的人数．
【解答】解：12075（人）
12080（人）
75+80﹣120
＝155﹣120
＝35（人）
答：田赛和径赛都参加的同学有35名．
【点评】本题考查了简单的容斥原理：A元素的个数+B元素的个数﹣元素总个数＝既A又B元素的个数，关键是求出参加田赛和径赛的人数．
50．三（2）班有48人，每人至少订了2种课外书中的一种，其中订《数学王国》的有25人，订《作文天地》的有32人。两种课外书都订的有多少人？
【答案】9人。
【分析】根据容斥问题公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。解答即可。
【解答】解：25+32﹣48
＝57﹣48
＝9（人）
答：两种课外书都订的有9人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。
51．100个学生中每人至少懂一种外语，其中76人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，只懂2种语言的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知，76人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，则76+83+65＝224（人），这224人实际上是把只懂2种语言的人多算了1次、懂三种语言的人多算了两次，所以只懂2种语言的有224﹣100﹣50﹣50＝24（人）．
【解答】解：76+83+65＝224（人）
224﹣100﹣50﹣50＝24（人）
答：只懂2种语言的有24人．
【点评】此题考查了三量重叠问题的灵活运用，A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
52．学校开展体育活动，三年级第一小组参加跳绳的同学有王平、冯华、林芳、刘明、周娟、毛萍、王佳、钟林．参加拔河的同学有蒋倩、张峰、王平、周娟、林芳、李宇、冯华、毛萍（每人至少参加一项体育活动）．
（1）如图．
（2）三年级第一小组一共有多少人？
【答案】（1）
（2）11。
【分析】（1）先将两种都参加的同学填入两个大圆圈相交的部分，然后再分别把两种活动中除了两种都参加的同学填入对应的圈内；
（2）分别数出图中三种情况的人数相加即可。
【解答】解：（1）
（2）3+5+3
＝8+3
＝11（人）
答：三年级第一小组一共有11人。
【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握韦恩图的画法和应用。
53．7月购进的电器： 6 种；
8月购进的电器： 7 种。
两个月一共购进了多少种电器？
【答案】6，7，8。
【分析】根据图意可得，7月购进的电器：6种；8月购进的电器：7种，先把两者的种数相加，再减去重复的4种（烧水壶、洗衣机、电饭煲、录音机、风扇），即可求两个月一共购进了多少种电器。
【解答】解：7月购进的电器：6种；8月购进的电器：7种。
6+7﹣5
＝13﹣5
＝8（种）
答：两个月一共购进了8种电器。
故答案为：6，7。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
54．甲、乙、丙3个小朋友参加礼仪知识竞赛，甲答对了20题，乙答对了25题，丙答对了32题。甲答对的20题丙都答对了，乙答对的题中有15题丙也答对了。甲、丙一共答对了多少道题？乙、丙一共答对了多少道题？
【答案】32道；42道。
【分析】（1）求甲和丙一共答对了多少道题，用20加32，再减去重复计算的20道题即可；
（2）求乙和丙一共答对了多少道题，用25加32，再减去重复计算的15道题即可。
【解答】解：20+32﹣20
＝52﹣20
＝32（道）
25+32﹣15
＝57﹣15
＝42（道）
答：甲、丙一共答对了32道题，乙、丙一共答对了42道题。
【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
55．三（1）班每人至少订阅了一本杂志，其中有28人订阅了《数学王国》，还有30人订阅了《作文天地》，其中两种书都订阅的有13人。三（1）班一共有多少人？
【答案】45人。
【分析】先计算出订两种杂志的总人数，因为有两种杂志都订的人数重复数了，所以订两种杂志的总人数就比班级实际人数多，即订两种杂志的总人数减去两种杂志都订的人数，就是班级实际的人数。
【解答】解：30+28﹣13
＝58﹣13
＝45（人）
答：三（1）班一共有45人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
56．桃源超市两天一共卖出多少种不同的商品？
【答案】8种。
【分析】昨天卖出了5种商品，今天也卖出了5种商品，其中相同的有2种相同（台灯和足球），然后根据容斥原理解答即可。
【解答】解：5+5﹣2
＝10﹣2
＝8（种）
答：桃源超市两天一共卖出8种不同的商品。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
57．假期同学们到历史博物馆和民俗馆参加研学活动，每人至少参加了一项活动，其中参加历史博物馆研学的有25人，参加民俗馆研学的有28人，两项都参加的有11人。全班共有多少人？
【答案】42人。
【分析】用参加历史博物馆研学的人数加上参加民俗馆研学的人数，再减去两项都参加的人数，即可求出全班共有多少人。
【解答】解：25+28﹣11
＝53﹣11
＝42（人）
答：全班共有42人。
【点评】本题考查容斥原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
58．三（1）班每人都订了报纸，订《小学生周报》的有25人，订《小博士报》的有21人，两种报纸都订的有9人，三（1）班一共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】把订《小学生周报》有25人，订《小博士报》的有21人相加，去掉重复的两种报纸都订的有9人，即可得出答案．
【解答】解：25+21﹣9
＝46﹣9
＝37（人）
答：三（1）班一共有37人．
【点评】此题考查容斥原理的实际运用，掌握基本计算方法：总人数＝A+B﹣既A又B．
59．三年级三个班认养了一批树苗，其中56棵不是（1）班认养的，65棵不是（2）班认养的，61棵不是（3）班认养的。问：（1）班、（2）班、（3）班分别认养了多少棵？
【答案】35棵、26棵、30棵。
【分析】根据题干可知，（2）、（3）班共认养了56棵树；（1）、（3）班共认养了65棵树；（1）、（2）班共认养了61棵树，由此可得：（2）、（3）班共认养的56棵+（1）、（2）班共认养的61棵﹣（1）、（3）班共认养的65棵＝2×（2）班认养树的棵数，由此即可计算得出（2）班认养树的棵数，然后再进一步解答即可。
【解答】解：根据题干分析可得：
（2）班种认养的棵数：
（56+61﹣65）÷2
＝52÷2
＝26（棵）
（1）班认养树的棵数：
61﹣26＝35（棵）
（3）班认养树的棵数：
56﹣26＝30（棵）
答：（1）班、（2）班、（3）班分别认养了35棵、26棵、30棵。
【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键是求出（2）班认养树的棵数。
60．下面是天天鲜蔬菜店两天的进货情况．
（1）天天鲜蔬菜店两天一共运进了多少种蔬菜？
（2）你还能提出其它数学问题并解答吗？
【答案】（1）10；（2）两天都运进的蔬菜有几种？3种.（答案不唯一.）
【分析】（1）根据图示，昨天进了：大白菜、茄子、青椒、藕、黄瓜、豆角6种蔬菜，今天进了：黄瓜、蒜苔、莴苣、青椒、藕、土豆、西红柿7种蔬菜，其中两天都进的有：青椒、藕、黄瓜3种蔬菜，所以，用昨天进的种类+今天进的种类，减去两天都进的种类，就是两天一共运进的种类。
（2）问题：两天都运进的蔬菜有几种？数一数即可得出结论。
【解答】解：（1）6+7﹣3＝10（种）
答：天天鲜蔬菜店两天一共运进了10种蔬菜.
（2）两天都运进的蔬菜有几种？
答：3种.
（答案不唯一.）
【点评】本题主要考查容斥问题，关键是利用容斥问题公式解答。
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