5.2.1　基本初等函数的导数 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

5.2.1　基本初等函数的导数
1. 能根据导数的定义求常见函数的导数，加深对导数概念的理解，并熟悉具体的求解步骤．
2. 进一步体会由特殊到一般的数学方法，培养归纳和探求一般规律的能力．
3. 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步提升思维能力.
活动一 函数y＝xn的求导公式的推导
1. 回忆导数的定义及利用定义求导数的步骤．
2. 探求函数y＝xn的求导公式．
问题1：常数函数的导数是什么？
问题2：运用导数定义，求下列几个函数的导数：
①f(x)＝x; ②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝.
问题3：通过以上几个函数的求导过程，你有什么发现？
(C)′＝　　　　；（C为常数）(xn)′＝　　　　．
活动二 掌握函数y＝(xn)′的导数公式的应用
例1 求下列函数的导数：
(1) y＝x12；　　　
(2) y＝；　　　
(3) y＝.
活动三　掌握基本初等函数的求导公式　
基本初等函数的导数公式
1. 若f(x)＝c（c为常数），则f′(x)＝0；
2. 若f(x)＝xα（α∈R，且α≠0），则f′(x)＝αxα-1；
3. 若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；
4. 若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；
5. 若f(x)＝ax（a>0，且a≠1），则f′(x)＝ax ln a；特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；
6. 若f(x)＝logax（a>0，且a≠1），则f′(x)＝；特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.
例2　求下列函数的导数：
(1) y＝x；　　　　(2) y＝log2x.
活动四　掌握导数的几何意义及实际意义　
例3　若直线y1＝－x＋b是函数y2＝图象在某点处的切线，求常数b的值及切点的坐标．
例4　求曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程．
例5　求曲线y＝x3过点(1，1)的切线方程．
(1) 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2) 求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
例6　假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）之间的关系为p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
1. 已知f(x)＝ln x，则f′(e)的值是(　　)
A. 0 B. C. 1 D. e
2. （2024曲靖期末）曲线y＝sin x在点T(2π，0)处的切线方程是(　　)
A. x－y－2π＝0 B. x－y＋2π＝0
C. x＋y－2π＝0 D. x＋y＋2π＝0
3. （多选）（2023洛阳月考）下列求导运算中，正确的是(　　)
A. (2x)′＝2xlog2e B. (x5)′＝5x4
C. (sin 1)′＝cos 1 D. (log3x)′＝
4. （2023雅安模拟）若f(x)＝ex，则f(x)的图象在点(－1，f（－1)）处的切线与坐标轴所围成的面积为　　　　．
5. （2023全国随堂练习）氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500 g氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A(t)＝500×0.834t g．（参考数据：ln 0.834≈－0.181 5，0.8347≈0.280 6）
(1) 氡气的散发速度是多少？
(2) A′(7)的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？
5.2.1　基本初等函数的导数
【活动方案】
1. 略
2. 问题1：常数函数的导数是0.
问题2：①因为＝＝1，
所以f′(x)＝1.
②因为＝＝2x＋Δx，
所以 ＝2x，即f′(x)＝2x.
③因为＝＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，所以 ＝3x2，即f′(x)＝3x2.
④因为＝＝，
所以 ＝，即f′(x)＝.
问题3：0　nxn-1
例1　(1) y′＝(x12)′＝12x11.
(2) y′＝′＝(x-4)′＝－4x-5＝－.
(3) y′＝()′＝(x)′＝.
例2　(1) y′＝(x)′＝＝.
(2) y′＝(log2x)′＝.
例3　由题意，得y′2＝－，切线的斜率k＝－1，
则－＝－1，解得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，切点坐标为(1，1)，
所以1＝－1＋b，解得b＝2；
当x＝－1时，切点坐标为(－1，－1)，
所以－1＝1＋b，解得b＝－2.
例4　由题意，得y′＝2x，且点(1，1)在曲线上，则切线斜率k＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.　
例5　由题意，得y′＝3x2，若点(1，1)是切点，则切线的斜率k＝3，故切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
若点(1，1)不是切点，设切点为(m，m3)(m≠1)，则切线的斜率k＝3m2＝，化简，得(m－1)2·(2m＋1)＝0，解得m＝－或m＝1(舍去)，故切点为，则切线方程为3x－4y＋1＝0.
综上，曲线过点(1，1)的切线方程为3x－4y＋1＝0或3x－y－2＝0.
例6　根据基本初等函数的导数公式表，
有p′(t)＝1.05t ln 1.05，
所以p′(10)＝1.0510ln 1.05≈0.08，
所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．
【检测反馈】
1. B　因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝，则f′(e)＝.
2. A　y′＝(sin x)′＝cos x，所以曲线y＝sin x在点T(2π，0)处切线的斜率为k＝cos 2π＝1，故曲线y＝sin x在点T(2π，0)处的切线的方程是y－0＝1×(x－2π)，即x－y－2π＝0.
3. BD　对于A，(2x)′＝2x ln 2，故A错误；对于B，(x5)′＝5x4，故B正确；对于C，(sin 1)′＝0，故C错误；对于D，(log3x)′＝，故D正确．故选BD.
4. 　由题意，得f′(x)＝ex，则f′(－1)＝.又f(－1)＝，所以f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－＝(x＋1)，即y＝x＋，则切线与坐标轴的交点分别为(－2，0)，，故围成的三角形面积为××＝.
5. (1) 氡气的散发速度就是剩留量函数的导数，
因为A(t)＝500×0.834t，
所以A′(t)＝500×0.834t ln 0.834.
(2) 因为A′(t)＝500×0.834t ln 0.834，
所以A′(7)＝500×0.8347ln 0.834≈－25.5，
它表示在第7天附近，氡气大约以25.5 g/天的速度自然散发．