5.3.1　函数的单调性 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

5.3.1　函数的单调性(1)
1. 结合实例，借助几何直观掌握函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性及单调区间.
2. 通过初等方法与导数方法在研究函数单调性的比较，体会导数方法在研究函数单调性的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．
活动一 掌握导数与函数单调性的关系
思考1
如图1是某跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象，如图2是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋2.8的图象．a＝，b是函数h(t)的零点．
图1 图2
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
思考2
观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．
(2) (3) (4)
一般地，函数f(x)的单调性与导函数 f′(x) 的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．
思考3
(1) 试结合y＝x3进行思考：如果函数f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f′(x)>0吗？
(2) 如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
f′(x)>0(f′（x)<0）是y＝f(x)在某个区间上单调递增（减）的充分不必要条件．
活动二 掌握利用导数研究函数的单调性及单调区间
例1　利用导数判断下列函数的单调性：
(1) f(x)＝x3＋3x；
(2) f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)；
(3) f(x)＝.
例2　求下列函数的单调区间：
(1) f(x)＝3x2－2ln x；
(2) f(x)＝x2·e－x；
(3) f(x)＝x＋.
用导数求函数单调区间的一般步骤：
(1) 求定义域；(2) 求f′(x)；(3) 解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4) 确定单调区间．
例3　已知导函数f′(x)的下列信息：
当10；
当x<1或x>4时，f′(x)<0；
当x＝1或x＝4时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状．
1. （2023阜新期末）设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)
　　　
A B C D
2. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是(　　)
A. (－∞，2) B. (0，3) C. (1，4) D. (2，＋∞)
3. （多选）（2024十堰月考）下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是(　　)
A. y＝x＋ B. y＝x ln x C. y＝ D. y＝x－sin x
4. （2024北京西城区月考）函数f(x)＝sin 2x＋2cos x在区间(0，π)上的单调减区间为　　　　．
5. 判断函数f(x)＝的单调性．
5．3.1　函数的单调性(2)
1. 进一步掌握利用导数求函数的单调区间．
2. 利用导数研究函数的增长快慢情况．
3. 利用导数解决函数中含参的单调性问题．
活动一 进一步掌握利用导数求函数的单调区间
例1　求函数f(x)＝x3－x2－2x＋1的单调区间．
思考1
如果用函数的单调性的定义去解决问题，运算过程是否麻烦？两者比较，你有什么体会？
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数y＝f(x)的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
活动二　函数单调性的应用一（比较函数增长的快慢）　
探究　你能运用函数的知识探究y＝ln x与y＝x3在区间(0，＋∞)上的增长快慢情况吗？
结论　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．
例2　设x>0，f(x)＝ln x，g(x)＝1－，两个函数的图象如图所示．判断f(x)，g(x)的图象与C1，C2之间的对应关系．
思考2
例2中，从两个函数的图象看，你能得到哪些不等式？
证明：ex≥x＋1.
活动三　函数单调性的应用二（求参数范围）　
例3　(1) 如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1的单调减区间为[0，2]，求实数a的值；
(2) 如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1在区间[0，2]上单调递减，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)＝x2(x－a)，若f(x)在区间(2，3)上单调，则实数a的取值范围为　　　　．
1. 若函数f(x)＝ex－(a－3)x－2是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，0] B. （－∞，0) C. (－∞，3] D. （－∞，3)
2. 已知函数f(x)＝x－a ln x在区间(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. (1，＋∞) B. [1，＋∞） C. (0，＋∞) D. [0，＋∞）
3. （多选）已知曲线f(x)＝eax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝－ B. a＝－2
C. f(x)在R上单调递增 D. f(x)在R上单调递减
4. （2024福州期末）已知函数f(x)＝mx3－x＋2在区间[1，2]内单调递减，则实数m的取值范围是　　　　．
5. 已知函数f(x)＝2＋.
(1) 求证：f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；
(2) 当x>4时，求证：f(x)>.
5.3.1　函数的单调性(1)
【活动方案】
思考1：从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0；从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0.
思考2：(1) 由图可知函数y＝x单调递增，y′＝1>0.
(2) y′＝(x2)′＝2x，当x<0时，y′<0；当x>0时，y′>0.由图可知，当x<0时，y＝x2单调递减；当x>0时，y＝x2单调递增．
(3) y′＝(x3)′＝3x2≥0.由图可知函数y＝x3单调递增．
(4) y′＝′＝－<0.由图可知，当x<0时，y＝单调递减；当x>0时，y＝单调递减．
思考3：(1) 不是，因为y′＝3x2≥0恒成立，且y＝x3在R上单调递增，所以f′(x)不一定恒大于0，也有可能等于0.
(2) 函数f(x)为常数．
例1　(1) 因为f(x)＝x3＋3x，
所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)>0，
所以函数f(x)＝x3＋3x在R上单调递增，如图1所示．
(2) 因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)，
所以f′(x)＝cos x－1<0，
所以函数f(x)＝sin x－x在区间(0，π)上单调递减，如图2所示．
(3) 因为f(x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f′(x)＝>0，
所以函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，如图3所示．
图1 图2 图3
例2　(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x－.
令f′(x)>0，得x>；
令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
(2) 函数f(x)的定义域为R，
且f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2).
令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得x<0或x>2，
所以f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调增区间为(0，2).
(3) 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且f′(x)＝1－.
令f′(x)>0，得x>1或x<－1；
令f′(x)<0，得－1所以函数f(x)的单调减区间为(－1，0)和(0，1)，单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
例3　当10，可知f(x)在区间(1，4)上单调递增；
当x<1或x>4时，f′(x)<0，可知f(x)在区间(－∞，1)和(4，＋∞)上都单调递减；
当x＝1或x＝4时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．
【检测反馈】
1. C　由y＝f′(x)的图象可知，当x<0和x>2时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当02. D　f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.令f′(x)>0，则x>2，故函数f(x)的单调增区间为(2，＋∞).
3. ABD　对于A，y′＝1－>0在区间(1，＋∞)上恒成立，所以函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增，故A正确；对于B，y′＝1＋ln x>0在区间(1，＋∞)上恒成立，所以函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，y′＝，当x>e时，y′<0，当10，所以函数y＝在区间(1，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减，故C错误；对于D，y′＝1－cos x≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，所以函数y＝x－sin x在区间(1，＋∞)上单调递增，故D正确．故选ABD.
4. 　由题意，得f′(x)＝2cos 2x－2sin x＝2(1－2sin2x)－2sinx<0，即2sin2x＋sinx－1>0，即(2sin x－1)(sin x＋1)>0.因为00，所以sin x>，解得5. f′(x)＝
＝＝.
令f′(x)>0，则2kπ－令f′(x)<0，则2kπ＋故在区间(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)上，f(x)单调递增；在区间(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)上，f(x)单调递减．
5．3.1　函数的单调性(2)
【活动方案】
例1　函数f(x)＝x3－x2－2x＋1的定义域为R.对f(x)求导数，得f′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2).
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.
x＝－1和x＝2把函数定义域划分成三个区间，f′(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 f(－1)＝ 单调递减 f(2)＝－ 单调递增
所以f(x)在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(－1，2)上单调递减，如图所示．
思考1：是，用导数研究函数的单调性简单．
探究：因为对数函数y＝ln x的导数为y′＝>0(x∈(0，＋∞))，所以y＝ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，当x越来越大时，y′＝越来越小，所以函数y＝ln x递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”，如图1.
因为幂函数y＝x3的导数为y′＝3x2>0(x∈(0，＋∞))，所以y＝x3在区间(0，＋∞)上单调递增，当x越来越大时，y′＝3x2越来越大，所以函数y＝x3递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”，如图2.
图1 图2
例2　因为f(x)＝ln x，g(x)＝1－，
所以f′(x)＝，g′(x)＝.
当x＝1时，f′(x)＝g′(x)＝1；
当0f′(x)>1；
当x>1时，0所以f(x)，g(x)在区间(0，＋∞)上都是增函数．在区间(0，1)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“陡峭”；在区间(1，＋∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”，所以f(x)，g(x)的图象依次是图中的C2，C1.
思考2：当01－；当x>1时，ln x>1－.
跟踪训练　令g(x)＝ex－(x＋1)，
则g′(x)＝ex－1.
令g′(x)>0，得x>0；令g′(x)<0，得x<0，
所以函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减，
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，
当x<0时，g(x)>g(0)＝0，
当x＝0时，g(x)＝0，
所以g(x)≥0，即ex≥x＋1.
例3　(1) f′(x)＝6x2＋2ax，则由题意，得6×22＋2a×2＝0，解得a＝－6，即实数a的值为－6.
(2) f′(x)＝6x2＋2ax，则由题意，得解得a≤－6，故实数a的取值范围是
(－∞，－6].
跟踪训练　(－∞，3]∪　由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax.若f(x)在区间(2，3)上单调，则当x∈(2，3)时，f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．如图，由f′(x)的图象可知，f′(2)＝12－4a≥0或f′(3)＝27－6a≤0，解得a≤3或a≥，即实数a的取值范围为(－∞，3]∪.
　　　
【检测反馈】
1. C　因为函数f(x)＝ex－(a－3)x－2是R上的单调增函数，所以f′(x)＝ex－a＋3≥0在R上恒成立，即a≤ex＋3在R上恒成立．因为ex＋3>3，所以a≤3，即实数a的取值范围是(－∞，3].
2. B　因为函数f(x)＝x－a ln x在区间(0，1)内单调递减，所以f′(x)≤0在区间(0，1)内恒成立，即f′(x)＝1－≤0，所以a≥x恒成立，所以a≥xmax，即a≥1.
3. AD　f′(x)＝aeax，由题意，得f′(0)＝a＝－，则f′(x)＝－e－x<0，故f(x)在R上单调递减．故选AD.
4. 　由题意，得f′(x)＝3mx2－1≤0在区间[1，2]内恒成立．当m＝0时， f′(x)＝－1≤0恒成立，满足题意；当m>0时，f′(2)≤0，即12m－1≤0，解得m≤，所以05. (1) 因为f′(x)＝－＝，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
(2) 由(1)知，当x>4时，f(x)单调递增，
则f(x)>f(4)＝2＋＝.