6.1.2　空间向量的数量积 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．1.2　空间向量的数量积
1. 掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．
2. 了解向量a在向量b上的投影向量的含义，了解空间向量数量积的几何意义．
3. 了解向量m在平面α上的投影向量的含义，会确定一个向量在一个平面上的投影向量．
活动一 探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律
1. 复习巩固
(1) 平面向量的夹角的概念：
(2) 平面向量的数量积的概念及运算律：
2. 空间向量的数量积
类比平面向量，探究空间向量的夹角、数量积的概念及运算律．
(1) 空间向量的夹角：
①定义：已知两个非零向量a，b，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
　　　　
②范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别提醒：当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向；当〈a，b〉＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2) 空间向量的数量积及运算律：
①定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos 〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
②数量积的运算律
交换律 a·b＝b·a
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (λ∈R)
分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c
思考1
由向量的数量积的定义，可以得出两个非零空间向量a与b垂直的充要条件是什么？
思考2
由向量的数量积的定义，可以得出空间向量a的模的计算公式是什么？
思考3
类比平面向量中向量a在向量b上的投影向量的概念，你认为如何定义空间中向量a在向量b上的投影向量？有了投影向量的概念后，如何理解数量积的定义？
思考4
利用空间向量的数量积的定义如何验证其运算律？
例1　对于向量a，b，c和实数λ，下列说法中正确的是(　　)
A. 若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B. 若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C. 若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D. 若a·b＝a·c，则b＝c
活动二 空间向量的数量积的简单应用
例2　如图，在棱长为1的正四面体 ABCD 中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1) ·；
(2) ·；
(3) ·；
(4) ·.
例3　如图，A，B为平面α外两点，点A，B在平面α上的射影分别为点A′，B′，m为平面α内的向量．求证：·m＝·m.
1. 已知a，b的模及 a与 b的夹角，直接代入数量积公式计算．
2. 如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
　
(2024开封期末)如图，在空间四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝120°，AD⊥BC.
(1) 求·；
(2) 求CD的长．
活动三　向量在平面上的投影向量的定义及应用
3. 向量在平面上的投影向量的定义
如图，设向量m＝，过点C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量m在平面α上的投影向量．
由例3可知，对于平面α内的任一向量n，
有m·n＝·n，
也就是说，空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积．
思考5
由一个向量在另一个向量上的投影向量的概念及由一个向量在一个平面上的投影向量的概念，你对数量积的定义又有怎样的认识？
例4　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1上任意一点．
(1) 确定向量在平面ABC上的投影向量，并求·；
(2) 确定向量在直线BC上的投影向量，并求·.
1. (2024吉安期末)在正四面体P-ABC中，棱长为2，且E是棱AB的中点，则·的值为(　　)
A. －1 B. －2 C. －3 D. －7
2. (2024盐城期末)已知多面体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝，∠BAA1＝∠DAA1＝，则AC1等于(　　)
A. 2 B. 20 C. 5 D. 25
3. (多选)(2024佛山月考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＝＋＋
B. ||＝
C. ⊥
D. cos 〈，〉＝
4. (教材改编)若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝________．
5. (教材改编)如图，四棱锥SABCD的底面是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD.
(1) 求向量在向量上的投影向量；
(2) 若线段BC上存在异于点B，C的一点P，使得PS⊥PD，求a的最大值．
6．1.2　空间向量的数量积
【活动方案】
1. 略
思考1：a·b＝0
思考2：|a|＝＝＝＝.
思考3：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量．
与平面向量的情形类似，我们有a·b＝·b，即向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积．
思考4：略
例1　B　若a⊥b，则a·b＝0，故A错误；B显然正确；由a2＝b2，得|a|＝|b|，长度相等，但方向不定，故C错误；由a·b＝a·c，得a·(b－c)＝0，所以 a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，故D错误．
例2　(1) ·＝·＝||||·cos 〈，〉＝cos 60°＝.
(2) ·＝·＝||2＝.
(3) ·＝·＝||||·cos 〈，〉＝cos 120°＝－.
(4) ·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
例3　由AA′⊥α，且m在α内可知·m＝0.
同理·m＝0，
所以·m＝(＋＋)·m＝·m＋·m＋·m＝0＋·m＋0＝·m，
故命题成立．
跟踪训练　(1) 因为AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，
所以·＝||||cos 〈，〉＝3×4×cos 120°＝－6.
(2) 因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝16＋9＋25＋2×(4×3×cos 60°＋3×5×cos 60°＋4×5×cos 90°)＝77，
所以CD＝||＝.
思考5：向量a，b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上投影|b|cos 〈a，b〉的乘积．
例4　(1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABC，
所以即为在平面ABC上的投影向量．
又因为在平面ABC内，
所以·＝·＝×1×cos 45°＝1.
(2) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥BC，且CC1⊥BC，因此，即为在直线BC上的投影向量，从而·＝·＝||2＝1.
【检测反馈】
1. A　如图，由正四面体的性质，得·＝·＝·＝2×2×cos ＝2.由E是棱AB的中点，得·＝(＋)·(－)＝(·－·－2＋·)＝×(－4＋2)＝－1.
2. A　由题意，得||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋|2＋2(·＋·＋·)＝4＋4＋4＋2×(2×2×cos ＋2×2×cos ＋2×2×cos )＝20，所以||＝＝2.
3. BD　设＝a，＝b，＝c.对于A，因为BM＝2A1M，C1N＝2B1N，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝＝(－)，所以＝－＝＋－(－)＝＋＋，故A错误；对于B，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，a·c＝b·c＝，所以||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝×(3＋2)＝，所以||＝，故B正确；对于C，易知＝＋，＝＋＝－＋，此时·＝(＋)(－＋)＝(c＋a)(c－a＋b)＝|c|2－a·c＋b·c＋a·c－|a|2＋a·b＝1－＋＋－1＋0＝≠0，所以与不垂直，故C错误；对于D，由C知·＝，因为||2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2a·c＝3，所以||＝，因为||2＝(－a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c＝3，所以||＝，所以cos 〈，〉＝＝，故D正确．故选BD.
4. 　因为|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5，所以|a－b＋2c|＝.
5. (1) 连接AC.
因为SA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以SA⊥AC，
故向量在向量上的投影向量为.
(2) 连接AP.
因为SA⊥平面ABCD，PD 平面ABCD，
所以SA⊥PD.
又PS⊥PD，SA∩SP＝S，SA 平面SAP，PS 平面SAP，
所以PD⊥平面SAP.
又AP 平面SAP，所以AP⊥PD.
设BP＝m，所以CP＝2－m，
所以AP＝，DP＝，
所以a2＋m2＋a2＋(2－m)2＝4，
所以a2＝2m－m2.
因为0所以当m＝1时，a的最大值为1.