6.1.3　共面向量定理 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．1.3　共面向量定理
1. 了解共面向量的定义，理解共面向量定理．
2. 能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．
活动一 空间共面向量的定义及共面向量定理
1. 知识回顾
(1) 平面向量中共线向量的定义及判定：
(2) 空间向量中共线向量的定义及判定：
2. 探究空间共面向量的概念及判定方法
(1) 共面向量的定义：
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量．
(2) 试在正方体中列举一些共面向量，你能再找出空间共面的向量吗？
(3) 共面向量的判定：
平面向量中，向量b与非零向量a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa，类比到空间
向量，即有共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.
这就是说，向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．
共线(平行)向量 共面向量
定义 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量 能平移到同一个平面内的向量叫作共面向量
充要 条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb
活动二　理解共线向量与共面向量的概念　
例1　下列说法中，正确的是(　　)
A. 平面内的任意两个向量都共线
B. 空间的任意三个向量都不共面
C. 空间的任意两个向量都共面
D. 空间的任意三个向量都共面
例2　已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，则下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是(　　)
A. ＝＋＋
B. ＝2－－
C. ＝＋＋
D. ＝＋＋
活动三　共面向量的应用　
例3　如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
例4　在平面向量中有如下结论：
已知，不共线，若＝x＋y，且x＋y＝1，则P，A，B三点共线．
你能据此得到空间向量中类似的结论吗？
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得＝x＋y或对空间内任意一点O有＝＋x＋y.
1. (教材改编)已知非零向量e1，e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点(　　)
A. 共线　 B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 共面 D. 不共面
2. (2023清远期末)在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC上的一点，且5＝t＋2＋3，则t的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. －2
3. (多选)下列命题中，假命题的为(　　)
A. 若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B. 若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C. 若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面
D. 若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y
4. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别是棱AA1，BC，C1D1的中点，设M是该正方体表面上的一点，若＝x＋y(x，y∈R)，则点M的轨迹长度是________．
5. (教材改编)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，M，N分别为棱BC，AB的中点．设＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示，；
(2) 若AC＝2A1C1，用向量的方法证明A1N∥平面C1MA.
6．1.3　共面向量定理
【活动方案】
1. (1) 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
(2) 略
2. 略
例1　C　 共线向量的方向相同或相反，故A不正确；空间的任意三个向量都不共面，显然不正确，例如一个零向量，两个非零向量，即是共面向量，故B不正确；空间任意两个向量共面，故C正确；利用正方体中从一个顶点出发的三个单位向量，不是共面向量，故D不正确．
例2　D　由共面向量定理，得若M，A，B，C四点共面，则存在实数x，y使得＝x＋y，则＝(1－x－y)＋x＋y，故可以判断A，B，C错误，D正确．
例3　因为点M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋，
同理＝＋，
所以＝＋＋
＝(＋)＋＋(＋)
＝＋＝＋.
又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面．
因为MN不在平面CDE内，
所以MN∥平面CDE.
例4　类比上述结论，猜想，已知，，不共面，若＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面. 证明如下：
由x＋y＋z＝1，可得x＝1－y－z，
则＝x＋y＋z
＝(1－y－z)＋y＋z
＝＋y(－)＋z(－)，
所以 －＝y＋z，
即＝y＋z.
由 A，B，C三点不共线，可知和不共线，
所以，，共面且有公共起点A，
所以P，A，B，C四点共面．
【检测反馈】
1. C　因为＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，显然，不共线，则A，B，C三点不共线，所以5－＝5(e1＋e2)－(3e1－3e2)＝2e1＋8e2＝，所以，，共面．又A为公共始点，所以A，B，C，D四点共面．
2. C　因为5＝t＋2＋3＝t＋2＋3(－)，所以8＝t＋2＋3，即＝＋＋.因为M是平面ABC上一点，所以＋＋＝1，所以t＝3.
3. BD　对于A，由共面向量定理，得p与a，b共面，故A是真命题；对于B，若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，故B是假命题；对于C，若＝x＋y，则，，三个向量在同一个平面内，即P，M，A，B四点共面，故C是真命题；对于D，若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，故D是假命题．故选BD.
4. 3　因为＝x＋y(x，y∈R)，所以点M在平面EFG内，取A1D1，AB，CC1的中点N，H，P，则点M的轨迹是正六边形EHFPGN，轨迹长度是正六边形的周长，即l＝6EN＝3.
5. (1) 因为M，N分别为棱BC，AB的中点，
所以＝＋＝－c＋a，
＝＋＝＋(＋)＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c.
(2) 因为＝(＋)，所以＝(a＋b).
因为＝＋，AC＝2A1C1，
所以＝c＋b.
设＝x＋y，所以由(1)可知－c＋a＝x×(a＋b)＋y×(c＋b)，
解得x＝1，y＝－1，所以＝－，
所以向量，，共面．
又A1N 平面C1MA，
所以A1N∥平面C1MA.