6.2.1　空间向量基本定理 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6.2.1　空间向量基本定理
1. 掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的．
2. 在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量．
活动一 探究空间向量基本定理
1. 知识回顾
(1) 平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_____________.
(2) 特例：
回顾＝(＋)，＝λ＋(1－λ)的几何意义．
2. 探究空间向量基本定理
(1) 空间内的任一向量可以用空间的一个已知向量表示吗？为什么？空间内的任一向量可以用空间的两个已知向量表示吗？为什么？
(2) 空间内的任一向量可以用空间的三个已知向量表示吗？
(3) 将你探究的结论分别用文字语言、符号语言、图形语言表示出来．
1. 空间向量基本定理：
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
2. 概念：
由此定理可知，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}叫作空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量．
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示．
3. 推论：
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.
　活动二 理解空间向量基本定理及相关概念
　例1　设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
活动三　空间向量基本定理的应用
　例2　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1) ；
(2) ；
(3) .
　例3　如图，在正方体OADB-CA′D′B′中，E是AB与OD的交点，M是OD′与CE的交点，试分别用向量，，表示和.
先把要求的空间向量放在一个平面内，利用平面向量的基本定理，用该平面内的已知的向量来表示，最后用已知的基底来表示，体现了空间问题平面化．
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1) 用向量a，b，c表示，；
(2) 若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
1. (教材改编)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则 等于(　　)
A. －a＋b＋c B. a－b＋c C. a＋b＋c D. －a－b＋c
2. (教材改编)如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在线段OA上，且OA＝3AM，N为BC的中点，则 等于(　　)
A. a－b＋c B. －a＋b＋c
C. a＋b－c D. a＋b－c
3. (多选)(2024乐山期末)下列说法中，正确的是(　　)
A. 若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D. 若{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，c}也是空间的一个基底
4. (2024揭阳月考)已知{a，b，c}是空间的一个基底，向量p＝3a＋b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，向量p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c，则x－y＝________．
5. 已知多面体ABCD-A′B′C′D′是平行六面体．
(1) 化简＋＋，并在图中标出结果；
(2) 设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设＝α＋β＋γ，求α，β，γ的值．
6.2.1　空间向量基本定理
【活动方案】
1. (1) λ1e1＋λ2e2
(2) ＝(＋)表示P为线段AB的中点．＝λ＋(1－λ)表示P，A，B三点共线．
2. (1) 不能．一个向量只能表示与已知向量共线的向量；两个向量只能表示与已知向量共面的向量．
(2) 任一向量可以用三个不共面的空间向量表示．
(3) 略
例1　B　作为空间向量的基底原则是不共面，而①中x＝a＋b，说明向量x与a，b共面，因而不能作为基底．②③均可以作为空间的基底．
跟踪训练　假设，，共面，则存在实数λ，μ使得 ＝λ＋μ，
所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
所以此方程组无解，
所以，，不共面，
所以{，，}可以作为空间的一个基底．
例2　(1) 因为P是C1D1的中点，
所以＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b.
(2) 因为N是BC的中点，
所以＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c.
(3) 因为M是AA1的中点，
所以＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.
例3　因为＝＋，
所以＝＋＝＋＋.
连接CD′，易得△OME∽△D′MC，
得＝.
又OE＝D′C，
所以OM＝D′M＝OD′，
所以＝＝＋＋.
跟踪训练　(1) ＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c).
(2) ＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，
所以x＝，y＝－，z＝－1.
【检测反馈】
1. B　如图，因为＝＋＝＋＝＋(＋)，又＝c，＝－b，＝a, 所以＝a－b＋c.
2. B　因为N为BC的中点，所以＝＋.因为OA＝3AM，所以＝，所以＝－＝＋－＝－a＋b＋c.
3. ACD　对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量，由于非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，即向量a，b与任何一个向量均共面，则a，b必共线，故A正确；对于B，空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一个基底，故B错误；对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，故C正确；对于D，由于是空间的一个基底，故a，b，c不共面，而a＋b，a－b与a，b共面，故与c不共面，且a＋b，a－b不共线，故{a＋b，a－b，c}也是空间的一个基底，故D正确．故选ACD.
4. 1　因为p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋c，且p＝3a＋b＋c，所以x－y＝1.
5. (1) 取线段AA′的中点E，
则 ＝，＝＝，
取D′F＝D′C′.
因为AB＝D′C′，所以＝＝，
则＋＋＝＋＋＝.
标图略．
(2) 因为 ＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＝α＋β＋γ，
所以α＝，β＝，γ＝.