6.2.2　空间向量的坐标表示 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6．2.2　空间向量的坐标表示(1)
1. 在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间坐标刻画点的位置．
2. 能用空间坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标线性运算法则．
3. 会根据向量的坐标形式解决有关平行问题．
活动一 探究空间向量的坐标表示
　　1. 复习巩固
(1) 空间向量基本定理：
(2) 平面向量的坐标表示：
(3) 空间直角坐标系：
①若空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，通常用{i，j，k}表示；
②在空间内选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴．这时我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面；
③作空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°；
④在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2. 探究空间直角坐标系中的坐标
如图，给定空间直角坐标系和向量a，i，j，k作为基向量，则存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).
在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间内任意一点P，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，所以向量的坐标为＝(x，y，z)，我们把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点P的坐标，记作P(x，y，z)，x叫作横坐标，y叫作纵坐标，z叫作竖坐标．
3. 空间向量的坐标运算法则
(1) 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，
a∥b(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R).
(2) 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).
一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
活动二 空间直角坐标系中点的坐标及向量的坐标
例1　如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1) 写出D′，C，A′，B′四点的坐标；
(2) 写出向量，，，的坐标．
建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．
如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量的坐标．
活动三 空间向量的坐标运算及应用
例2　已知a＝(1，－3，8)，b＝(3，10，－4)，求a＋b，a－b，3a.
例3　已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0，10)和D(8，4，9)，O是坐标原点，求证：四边形ABCD是梯形．
1. (2023潍坊期末)在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(2a－a2，b＋1，2c－1)关于z轴的对称点M′的坐标为(－1，2，9)，则a＋b＋c的值为(　　)
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
2. (2023汕尾期末)已知空间向量a＝(2，－1，2)，b＝(1，－2，1)，则2a－b等于(　　)
A. (4，－2，4) B. (2，－1，2) C. (3，0，3) D. (1，－2，1)
3. (多选)(教材改编)若点A(5，2，4)，B(2，－1，7)，P是AB的三等分点，则点P的坐标为(　　)
A. (3，0，6) B. (3，1，6) C. (4，1，5) D. (4，0，5)
4. (教材改编)已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，m)，且ka＋b与a－2b平行，则k＝________．
5. 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，若 p＝，q＝，求下列各式的坐标：
(1) p＋2q；
(2) 3p－q.
6．2.2　空间向量的坐标表示(2)
1. 理解并掌握空间向量数量积的坐标运算法则．
2. 会根据向量的坐标形式解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．
活动一　 用坐标表示空间向量数量积
1. 复习平面向量数量积的坐标表示：
2. 回忆平面向量数量积的坐标表示的推导方法：
思考1
类比平面向量，你能推导空间向量的数量积的坐标表示吗？
结论：
(1) 一般地，设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2) 特别地，当b＝a时，可以得到向量a的长度公式：|a|＝.
(3) cos 〈a，b〉＝.
由此可得空间向量垂直的坐标表示
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
思考2
你能用向量方法推导空间直角坐标系中任意两点之间的距离公式吗？
结论：点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离公式AB＝.
活动二 空间向量的数量积的坐标运算及其应用
例1　(1) 设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos 〈a，b〉＝________；
(2) 已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则||＝________．
若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·2b＝－2，则 x＝________．
例2　已知A(3，1，3)，B(1，5，0)，求：
(1) 线段AB的中点坐标和AB的长度；
(2) 到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b.
(1) 求||；
(2) 求cos 〈，〉．
利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解．
1. (2023常州开学考试)已知在空间直角坐标系中，点A(1，2，3)关于yOz平面对称点为B(－1，2，3)，点B关于y轴对称点为C，则BC的长为(　　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 2
2. (2024淮安月考)已知向量a＝(9，8，5)，b＝(2，1，1)，则向量a在向量b上的投影向量c等于(　　)
A. (，－，－) B. (－，，)
C. (，，) D. (－，－，－)
3. (多选)(2024景德镇期末)已知向量a＝(1，－1，0)，b＝(－1，0，1)，c＝(2，－3，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. |c|＝ B. b⊥c
C. a·c＝5 D. 向量a，b的夹角为
4. (教材改编)已知空间向量a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，若2a－b与b垂直，则|a|＝________．
5. 如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.求：
(1) 向量的坐标；
(2) 与夹角的余弦值．
6．2.2　空间向量的坐标表示(1)
【活动方案】
1. (1) 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
(2) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y).
例1　(1) 因为点D′在z轴上，且OD′＝2，
所以＝0i＋0j＋2k，
所以点D′的坐标是(0，0，2).
同理，点C的坐标是(0，4，0).
点A′在x轴，y轴，z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
所以点A′的坐标是(3，0，2).
点B′在x轴，y轴，z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，
所以点B′的坐标是(3，4，2).
(2) ＝＝0i＋4j＋0k＝(0，4，0)；
＝－＝－0i－0j－2k＝(0，0，－2)；
＝＋＝－3i＋4j＋0k＝(－3，4，0)；
＝＋＋＝－3i＋4j＋2k＝(－3，4，2).
跟踪训练　分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则M(0，，0)，N(，，)，
所以＝(，0，).
例2　a＋b＝(1，－3，8)＋(3，10，－4)＝(1＋3，－3＋10，8－4)＝(4，7，4)，
a－b＝(1，－3，8)－(3，10，－4)＝(1－3，－3－10，8＋4)＝(－2，－13，12)，
3a＝3(1，－3，8)＝(3×1，－3×3，3×8)＝(3，－9，24).
例3　依题意，得＝(－2，3，1)，＝(2，－5，3)，
所以＝－＝(2，－5，3)－(－2，3，1)＝(4，－8，2).
同理＝(2，－4，1)，＝(10，1，8)，＝(8，5，7).
由＝2 ，得∥.
又不存在实数t，使得＝t，即，不共线，所以四边形ABCD是梯形．
【检测反馈】
1. A　依题意，点M(2a－a2，b＋1，2c－1)关于z轴的对称点为M′(a2－2a，－b－1，2c－1)，得解得a＝1，b＝－3，c＝5，所以a＋b＋c＝3.
2. C　2a－b＝(4，－2，4)－(1，－2，1)＝(3，0，3).
3. AC　因为＝(3，3，－3)，若＝＝(1，1，－1)，所以P(3，0，6)，若＝＝(2，2，－2)，所以P(4，1，5)，故点P的坐标为(3，0，6)或(4，1，5).故选AC.
4. －　由题意，得ka＋b＝(1－k，k，m)，a－2b＝(－3，1，－2m).因为ka＋b与a－2b平行，所以当m＝0时，＝，解得k＝－；当m≠0时，＝＝，解得k＝－.综上，k＝－.
5. 由题意，得p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6).
(1) p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9).
(2) 3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(4，3，15).
6．2.2　空间向量的坐标表示(2)
【活动方案】
1. 若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2. 略
思考1：设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，
则a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1j＋z1k，b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2j＋z2k，所以a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j＝x1x2＋y1y2＋z1z2.　
思考2：设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).
又2＝·＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2，
所以||＝.
例1　(1) －　cos 〈a，b〉＝＝＝－.
(2) 2　||＝＝2.
跟踪训练　2　根据题意，得c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得 x＝2.
例2　(1) 设M是AB的中点，O是坐标原点，
则＝(3，1，3)，＝(1，5，0)，
所以＝(＋)＝[(3，1，3)＋(1，5，0)]＝(2，3，)，
所以线段AB中点的坐标是(2，3，).
因为＝(－2，4，－3)，所以线段AB的长度为||＝＝.
(2) 设点P(x，y，z)到A，B两点距离相等，则
＝，
化简，得4x－8y＋6z＋7＝0，
所以到A，B两点距离相等的点P的坐标x，y，z满足的条件是4x－8y＋6z＋7＝0.
跟踪训练　(1) 以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，F(0，，)，G(0，0，)，
所以＝(－a，0，)，
则||＝＝.
(2) 由(1) 知＝(－a，0，)，＝(－a，0，0)，
所以cos 〈，〉＝＝＝.
【检测反馈】
1. B　由题意，得点B(－1，2，3)关于y轴的对称点为C(1，2，－3)，故BC＝＝2.
2. C　由向量a＝(9，8，5)，b＝(2，1，1)，得a·b＝9×2＋8×1＋5×1＝31，而|b|2＝6，向量a在向量b上的投影向量c＝b＝(2，1，1)＝(，，).
3. AC　对于A，|c|＝＝，故A正确；对于B，b·c＝－2＋1＝－1≠0，故B错误；对于C，a·c＝2＋3＝5，故C正确；对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝－，所以向量a，b的夹角为，故D错误．故选AC.
4. 　因为a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，所以2a－b＝(4，2n－1，2).因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，解得n＝，所以a＝(1，，2)，所以|a|＝＝.
5. (1) 由题意，得CD＝，BD＝1.
过点D作DE⊥BC于点E，
则DE＝CD·sin 30°＝，OE＝OB－BD·cos 60°＝1－＝，
所以点D的坐标为(0，－，).
因为C(0，1，0)，所以＝(0，－，).
(2) 因为点A的坐标为(，，0)，点B的坐标为(0，－1，0)，
所以＝(－，－1，)，＝(0，2，0)，
所以与夹角的余弦值为cos 〈，〉＝＝－.