6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
1. 理解直线的方向向量和平面的法向量．
2. 会用待定系数法求平面的法向量．
活动一 理解直线的方向向量和平面的法向量的概念
1. 直线的方向向量与平面的法向量
(1) 定义：
直线的 方向向量 直线l上的非零向量e以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量
平面的 法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量
(2) 用向量确定直线的位置：
条件 直线l上一点A
直线的方向向量
性质 如果在直线l上取＝a，那么对于直线 l上任意一点P，一定存在实数t，使得 ＝t
作用 定位置 点A和向量a可以确定直线l的位置
定点 可以具体表示出直线l上的任意一点
(3) 用向量确定平面的位置：
①通过平面α内的一个定点O和两个向量a和b来确定：
条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
性质 对于平面α上任意一点P，存在有序实数组(x，y)，使得＝xa＋yb
②通过平面α内的一个定点A和法向量来确定：
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量a，a叫作平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是确定的
活动二　会求平面的法向量　
2. 平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系中，求平面的法向量的一般步骤：
(1) 设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
(3) 根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
(4) 解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．
例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量．
例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
变式　若例2中条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．
例3　在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的一个法向量为n＝(A，B，C)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．
1. 在空间直角坐标系中，平面可以用三元一次方程来表示．
2. 方程 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0的几何意义是：经过点P(x0，y0，z0)，且法向量为n＝(A，B，C)的平面．
例4　已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，＝(2，－1，4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，1).
(1) 求证：是平面ABCD的法向量；
(2) 求平行四边形ABCD的面积．
1. 已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z 等于(　　)
A. 0 B. 1 C. D. 3
2. (教材改编)在空间直角坐标系中，已知点P(0，3，－1)，向量u＝(2，－1，1)，则过点P且以u为法向量的平面方程为(　　)
A. 2x－y＋z＝－4 B. x＋2y－z＝7
C. x－y＋2z＝－5 D. －x＋2y＋z＝5
3. (多选)在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2)
B. 直线BD1的一个方向向量为(2，2，2)
C. 平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1)
D. 平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
4. (教材改编)已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，－1)，B(k，2k，2)在平面α内，则k＝________．
5. (2024河北月考)已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，求平面SCD和平面SAB的法向量．
6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量
【活动方案】
例1　设正方体的棱长为1，以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，
所以＝(1，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).
因为·＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0，
所以⊥.
同理⊥.
又因为AD1∩AC＝A，AD1 平面ACD1，AC 平面ACD1，
所以⊥平面ACD1，
所以是平面ACD1的法向量．
例2　因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直．
以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，，0)，E(0，，)，B(1，0，0)，C(1，，0)，
所以＝(0，，)，＝(1，，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则即
所以
令y＝－1，则x＝z＝，
所以平面ACE的一个法向量为(，－1，).
变式　因为P(0，0，1)，C(1，，0)，
所以＝(1，，－1)，
即直线PC的一个方向向量为(1，，－1).
设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z).
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1).
则即
所以令y＝1，则z＝，
所以平面PCD的一个法向量为(0，1，).
例3　由题意可得＝(x－x0，y－y0，z－z0).
因为n是平面α的法向量，
所以n⊥，则n·＝0，
即(A，B，C)·(x－x0，y－y0，z－z0)＝0，
即A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，
所以满足题意的关系式为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.
例4　(1) 因为P是平行四边形ABCD所在平面外一点，＝(2，－1，4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，1)，
所以·＝－2－2＋4＝0，·＝－4＋4＋0＝0，
所以⊥ ，⊥ .
又因为AB∩AD＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以⊥ 平面ABCD，
即是平面ABCD的法向量．
(2) 因为cos ∠BAD＝＝＝，
所以sin ∠BAD＝＝，
所以平行四边形ABCD的面积＝||·||·sin ∠BAD＝8.　
【检测反馈】
1. A　因为A(0，y，3)和B(－1，2，z)，所以＝(－1，2－y，z－3).因为直线l的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，故设＝km，所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得k＝－，y＝，z＝，所以 y－z＝0.
2. A　设过点P且以u为法向量的平面上不同于点P的任一点A(x，y，z)，则＝(x，y－3，z＋1)，所以·u＝2x－(y－3)＋(z＋1)＝2x－y＋z＋4＝0，所以过点P且以u为法向量的平面方程为2x－y＋z＝－4.
3. AC　由题意，得B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1).因为＝(－1，1，1)，所以向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B错误；设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z), 则由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)，得令x＝1，得n＝(1，1，1)，故C正确；设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)，得令b＝1，得m＝(0，1，1)，故D错误．故选AC.
4. 9　由题意，得＝(k，2k＋3，3).因为n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n·＝0，所以(－3，1，2)·(k，2k＋3，3)＝－3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9.
5. 因为SA⊥平面ABCD，AB，AD均在平面ABCD内，
所以SA⊥AB，SA⊥AD.
又∠ABC＝90°，AD∥BC，所以AB⊥AD，
所以以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)，
所以＝(1，0，0)是平面SAB的一个法向量．
因为＝(2，2，－2)，＝(1，0，－2)，
设平面SCD的法向量n＝(x，y，z),
则 即
取z＝1，得x＝2，y＝－1，
所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量．