6.3.4 空间距离的计算
能用向量方法解决点线、点面、线面、面面的距离的计算问题.
活动一 背景引入
问题:如图,在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处修建一个蔬菜存储库.如何在公路上选择一个点,修一条公路到达点A,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计?
思考1
空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些?
思考2
能否用所学的空间向量来解决有关于这些距离的问题呢?
活动二 点到平面的距离
1. 点到平面的距离
已知P是平面α外的一点,PO⊥α,A是平面α内的任意一点,设n为平面α的法向量,则点P到平面α的距离为d=.
1. 如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P 到平面α的距离求解.
2. 如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求点B到平面B1CD1的距离.
求点到平面的距离的主要方法:
(1) 作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;
(2) 在三棱锥中用等体积法求解;
(3) 向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,M是平面外一点,MA为过点A的斜线段).
在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1) 求证:B1C∥平面A1BD;
(2) 求直线B1C到平面A1BD的距离.
活动三 点到直线的距离
2. 点到直线的距离
已知P是直线l外的一点,A是直线l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l垂直的向量n,则点P到直线l的距离为d=.
思考3
能不能借助直线l的方向向量来求点到直线的距离?
3. 两条平行直线之间的距离
思考4
类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离?
例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是BC和CD的中点.
(1) 求证:EF∥B1D1;
(2) 求两条平行线EF和B1D1间的距离.
用向量方法研究空间距离问题的一般步骤:
(1) 确定法向量;
(2) 选择参考向量;
(3) 确定参考向量到法向量的投影向量;
(4) 求投影向量的长度.
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=4,E是PA的中点,求PC到平面BED的距离,并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系.
1. 已知点O(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,2),则点O到直线BC的距离为( )
A. B. C. D.
2. (2023临沂三中期末)已知平面α的一个法向量n=(1,-2,-2),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面外一点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )
A. 10 B. 3 C. D.
3. (多选)(教材改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法中正确的是( )
A. 点A到直线BE的距离是
B. 点O到平面ABC1D1的距离为
C. 平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D. 点P到直线AB的距离为
4. (教材改编)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,D,E,N分别为PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=2AB=4,则直线MN到平面BDE的距离为________.
5. 如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
6.3.4 空间距离的计算
【活动方案】
问题:过点A修一条垂直于该条公路的路线理论上最短.
思考1:点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离;传统方法都是把这些距离归结到平面内解决.
思考2:略
例1 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),
所以=(1,1,0),=(1,0,1),=(-1,0,0).
设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,
即x+y=0,x+z=0.
令x=-1,则y=1,z=1,
所以n=(-1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量.
因为n·=1,|n|=,
所以点B到平面B1CD1的距离为d===.
跟踪训练 (1) 连接AB1交A1B于点E,连接DE.
因为D,E分别为AC,AB1的中点,
所以DE∥B1C.
因为DE 平面A1BD,B1C 平面A1BD,
所以B1C∥平面A1BD.
(2) 由(1),得B1C∥平面A1BD,所以直线B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),所以=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
所以解得
令z=1,所以n=(3,0,1),
所以所求距离为d==.
思考3:如图,P是直线l外的一点,PO⊥l,O为垂足,A是l上任意一点,设e是直线l的方向向量,记φ=〈,e〉,则cos φ=,故点P到直线l的距离为d=||sin φ.
思考4:求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
例2 以{,,}为单位正交基底,建立空间直角坐标系D-xyz,
则C(0,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),E(,1,0),F(0,,0).
(1) 因为=(,,0),=(1,1,0)=2,
所以∥,
故EF∥B1D1.
(2) 因为EF∥B1D1,所以点E到直线B1D1的距离即为两条平行线EF和B1D1间的距离.
方法一:连接EB1,ED1.设在平面EB1D1内与直线B1D1垂直的向量为n=(x,y,z),则由n⊥,得x+y=0.
由n与,共面可知,存在实数m,p,使得
n=m+p.
因为=(-1,-1,0),=(-,0,-1),
所以(x,y,z)=m(-1,-1,0)+p(-,0,-1)=(-m-p,-m,-p),
即
所以 x=y+z.
令x=1,则y=-1,z=4,即n=(1,-1,4).
故点E到直线B1D1的距离为d===,
即两条平行线EF和B1D1间的距离为.
方法二:连接EB1,则=(,0,1).
记θ=〈,〉,
因为·=,||=,||=,
所以cos θ==,
sin θ=,
故点E到直线B1D1的距离为d=||sin θ=×=,
即两条平行线EF和B1D1间的距离为.
跟踪训练 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则F为CD的中点,A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2),
所以=(-4,0,2),=(2,-2,2).
设平面BED的法向量为n=(x,y,z),
则即所以
取z=2,则x=1,y=,得n=(1,,2).
因为=(2,2,-4),
所以n·=2+6-8=0,
所以n⊥,故PC∥平面BED,
所以PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.
因为=(0,0,2),所以点P到平面BED的距离d===,
即PC到平面BED的距离为,且直线PC上各点到平面BED的距离都相等.
【检测反馈】
1. A 由O(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,2),可得=(2,0,0),=(-2,2,2),则向量在方向上的投影向量的长度为==,所以点O到直线BC的距离为=.
2. C 因为A(-1,3,0),P(-2,1,4),所以=(-1,-2,4).又平面α的一个法向量n=(1,-2,-2),所以点P到平面α的距离d===.
3. BCD 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),则E(,0,1),O(,,1).又=++,故P(,,).对于A,=(-,0,1),=(-1,0,0),故点A到直线BE的距离为==,故A错误;对于B,=(0,1,1),=(-,-,0),设平面ABC1D1的法向量为m=(x1,y1,z1),则即取y1=1,则m=(0,1,-1),故点O到平面ABC1D1的距离为==,故B正确;对于C,=(-1,0,1),=(-1,0,1),故∥,而B,A1,C,D1不共线,故BA1∥CD1,因为BA1 平面B1CD1,CD1 平面B1CD1,故BA1∥平面B1CD1,同理BD∥平面B1CD1,而BD∩BA1=B,BD,BA1均在平面DBA1内,所以平面DBA1∥平面B1CD1,故平面DBA1与平面B1CD1的距离即为点B1到平面DBA1的距离.又=(-1,1,0),=(-1,0,0),设平面DBA1的法向量为n=(x2,y2,z2),则即取y2=1,则n=(1,1,1),故点B1到平面DBA1的距离为=,故C正确;对于D,=(,,),=(1,0,0),故点P到直线AB的距离为==,故D正确.故选BCD.
4. 易知BA,BC,PA两两垂直,则以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.由题意,得B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),P(2,0,4),D(2,0,2),E(1,,2),M(2,0,1),N(0,,0),所以=(-1,,0),=(-2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则令y=1,得n=(,1,-).又=(-2,,-1),所以·n=0,且MN 平面BDE,所以MN∥平面BDE,所以直线MN到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离.因为=(0,0,1),所以点M到平面BDE的距离为d===.
5. 取AD的中点O,连接PO,CO.
在△PAD中,因为PA=PD,所以PO⊥AD.
因为侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO 平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以=(-1,0,1),=(-1,1,0).
假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为,
设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则=(-1,y,0).
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),
则所以
即x0=y0=z0,
取x0=1,
则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1),
所以点Q到平面PCD的距离d===,解得y=-或y=(舍去),
所以=(0,,0),=(0,,0),
则||=,||=,
所以存在点Q满足题意,此时=.