2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校高二下学期数学期中试卷（含答案）

上外附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．抛物线的焦点到准线的距离是________．
2．二项式的展开式中所有项的系数和为________．
3．若，则的值为________．
4．天气预报预测五一期间上海的降雨概率是0.2，北京的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则上海、北京两地都不降雨的概率是________
5．已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面的面积是，则球心到这个平面的距离为________．
6．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为_____．
7．已知，，随机变量的分布列如下：
若，则________．
8．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在，，，，共5所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为________．
9．已知是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为________．
10．已知实数、满足，则的取值范围是________．
11．在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则________．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若的面积为，则的值为________．
二、选择题（本大题共4小题，满分18分。13-14小题每题4分，15-16小题每题5分）
13．空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
14．现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
A．没有空盒子的方法共有16种
B．有空盒子的方法共有256种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
15．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件相互独立 B．事件与事件互斥
C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立
16．已知函数，若不等式的解集中恰有三个不同的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分78分）
17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如图，已知圆柱的高为2，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，为的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）求到平面的距离．
19．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）
已知函数，的图象在处的切线为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，比较与-1大小关系，并说明理由；
（3）若，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值．
20．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）
如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正切值；
（3）是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
已知椭圆，过点的直线与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点．
（1）当时，求的长度；
（2）设，，求证：为定值，并求出该值；
（3）点和点关于坐标原点对称，若的内切圆面积等于，求直线的方程．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.或; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则________．
【答案】
【解析】正四棱锥中，，
设平面与直线交于点，
因为，
所以
因为，所以所以，
又，所以，所以，
因为共面，所以，解得．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若的面积为，则的值为________．
【答案】
【解析】已知，则，
解得，
又则，
设，又的面积为，
则，解得，
由题意可得直线的斜率，则方程为，
将代入上式，则，解得，
由题意可得
易知．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.C 15.A 16.A
15．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件相互独立 B．事件与事件互斥
C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立
【答案】A
【解析】事件为＂所抽袋子里有红球＂，事件为＂所抽袋子里有白球＂，事件为＂所抽袋子里有黑球＂，
对于，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，错误；
对于，，事件与事件相互独立，正确；
对于，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，错误；
对于，，事件与事件不独立，错误．
16．已知函数，若不等式的解集中恰有三个不同的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，函数在处的取值满足：
，此时解集为，恰好包含三个整数，故选A.
三．解答题
17.（1）2,1,1 （2）不公平
18.（1） （2）
19.（1） （2） （3）
20．（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）
如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正切值；
（3）是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解 （2） （3）存在，
【解析】证明：（1）连接，由是正方形可知，点为中点，
又为的中点，所以，又面面，所以平面；
（2）由底面底面，
由是正方形可知，，
又平面平面，即就是所求角，
因为，故所正切值为；
（3）在线段上存在点，使平面．理由如下：
取中点，连接，
在四棱锥中，
由（2）可知，平面，而平面，平面平面，
且平面平面平面平面
故在线段上存在点，使平面，由为中点，得．
21．【答案】（1） （2） （3）