2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校高一下学期数学期中试卷（含答案）

上外附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.函数的初始相位为________．
2.函数的最小正周期是________．
3.已知，，且，则的值为________．
4.已知向量，，，的夹角为，则________．
5.函数的严格增区间为________．
6.等边的边长是2，则________.
7.已知，，，则在上的投影为________.
8.根据下图，函数的解析式为________
9．定义在上的函数既是奇函数又是周期函数，其最小正周期是，当时，则的值为________．
10.函数在上有3个零点，则范围是________．
11.函数，图像在轴上的截距是1，且关于直线对称，若存在，使成立，则实数范围是________．
12.已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）．
13、下列说法正确的是（ ）
A．与是同一向量 B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量 D．对任一向量，是一个单位向量
14、函数的部分图像是（ ）
A． B．
C． D．
15、先将函数的周期扩大为原来2倍，再将图像向右平移，则所得图像解析式为（ ）
A． B．
C． D．
16、已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知函数．
（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；
（2）当时，求的值域．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
在中，角、、所对的边分别为、、，且．
（1）若、、满足，求角大小；
（2）若，且，求的面积．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，某公园有三条观光大道，，围成直角三角形，其中直角边，斜边．
（1）若甲乙都以每分钟的速度从点出发，甲沿运动，乙沿运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；
（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点，，（，，分别是，，中点）．设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且，请将甲乙之间的距离表示为的函数，求甲乙之间的最小距离，并指出此时的值．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知函数．
（1）若且的最大值是2，求函数在上的单调增区间；
（2）若，函数在上只有一个零点，求的取值范围；
（3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小正数的值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知、都是单位向量，，，函数，．
（1）当时，求值；
（2）若，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.函数，图像在轴上的截距是1，且关于直线对称，若存在，使成立，则实数范围是________．
【答案】
【解析】函数的图象在轴上的截距为1，
函数的图象关于直线对称，，，则，．
则，．
当时，，则，
所以，即．
存在，不等式成立，
大于或等于函数在的最小值，
即，解得或．所以实数的取值范围为．
二、选择题
13.C 14.D 15.A 16.D
16、已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
的值域为即
的周期为，不妨令，解得，
即，观察四个选项，只有选项不满足，
故选：D．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知函数．
（1）若且的最大值是2，求函数在上的单调增区间；
（2）若，函数在上只有一个零点，求的取值范围；
（3）已知的一条对称轴方程为，令，存在常数，使得函数为偶函数，求最小正数的值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）若且的最大值为2，则，即，得，
即，则，
当时，，由时，为增函数，
此时，即函数在上的单调递增区间是．
（2）若，
由，得,
设，当，则，
设，则，作出函数的图象如图：
当时，，
当时，，
当时，，
则要使函数在上有且仅有一个零点，
则或，即实数的取值范围．
（3）的一条对称轴方程为，，
则满足，平方得，得，
得，得，则，
则
则，
存在常数，使得函数为偶函数，
则即且，
当时，取得最小值，此时最小的正数．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知、都是单位向量，，，函数，．
（1）当时，求值；
（2）若，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同零点？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2） （3）是，
【解析】（1）当时，，
则；
（2），，
则
令，则，则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍），
②当，即时，
当时，函数取得最小值此时最小值，得，
③当，即时，
当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍），
综上若的最小值为-1，则实数．
（3）令，得或，
方程或在上有四个不同的实根，
则得，则,即实数的取值范围是．