2024-2025学年上海市上海中学高二下学期数学期中试卷（含答案）

上中2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（1－6每题3分，7－12每题4分）
1．直线的倾斜角是 ．
2．直线的一个法向量可以是 ．
3．圆的圆心是 ．
4．抛物线的焦点到准线的距离为 ．
5．双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
6．一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是 ．
7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若的横坐标之和为5，则直线最多有 条.
8．直线与圆在第一象限有交点，则的范围是 ．
9．两圆和的公共弦长为 ．
10．在中，已知的平分线所在直线方程是边上的高所在直线是，则点的坐标为 ．
11．如图，已知为双曲线的左，右焦点．过点分别作直线交双曲线于四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，则双曲线的离心率为 ．
12．平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为 ．
二、选择题（每题4分）
13．＂是＂方程表示焦点在轴上的椭圆＂的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要
14．设曲线的参数方程为，直线的方程为，则曲线上到直线的距离为的点的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．曲线公共点的个数（ ）．
A.没有 B.有，且为奇数个 C.有，且为偶数个 D.有，但不能确定几个
16．在直角坐标系中，已知分别是定直线和上的动点，若的面积为定值，则线段的中点的轨迹为（ ）．
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
三、解答题
17．（本题6分）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程．
18．（本题6分）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程．
19．（本题8分）已知点，动点满足．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围．
20．（本题10分）椭圆中，动弦长为．
（1）请写出椭圆的参数方程；
（2）求面积的取值范围．
21．（本题12分）如图，已知抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记面积分别为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；
（3）求的最小值及此时点的坐标．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，已知为双曲线的左，右焦点．过点分别作直线交双曲线于四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】连接，设，由双曲线的定义可得
由题意可得，由双曲线的定义可得
在三角形中，
由余弦定理可得
即为，化简可得
在直角三角形中，，所以，即为，即
12．平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】两切线均过原点，连心线所在直线经过原点，该直线设为，设两圆与轴的切点分别为，则两圆方程分别为：，
与交于，均在两圆上．
，，
又两圆半径之积为，，
联立（1）（2）（3），可得是方程的两根，
化简得，即．
又，，即．
由于所求直线的倾斜角是连心线所在直线倾斜角的两倍，即
直线的方程为．
二、选择题
13.B 14.B 15.D 16.C
15．曲线公共点的个数（ ）．
A.没有 B.有，且为奇数个 C.有，且为偶数个 D.有，但不能确定几个
【答案】D
【解析】由于圆圆心为过原点且半径等于，
正弦曲线也过原点，故这两个曲线一定有一个交点是原点．
但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定.故选D．
16．在直角坐标系中，已知分别是定直线和上的动点，若的面积为定值，则线段的中点的轨迹为（ ）．
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【解析】设，则，
由于的面积为定值且为定值，从而为定值，
设，设线段的中点为，则
故为定值，从而线段的中点的轨迹为双曲线．故选C．
三．解答题
17.
18.或
19.（1） （2）
20．（1） （2）
21．（本题12分）如图，已知抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记面积分别为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；
（3）求的最小值及此时点的坐标．
【答案】（1） （2）
（3）取得最小值，此时．
【解析】（1）由题意得，即．所以，抛物线的方程为．
（2）由已知，设直线的倾斜角为，则，
线段AB的长，以线段为直径的圆的半径为8，故其面积为．
（3）设，重心．令，则．
由于直线过，故直线方程为，代入，
得，故，即，所以．
又由于及重心在轴匕，故，得．所以直线方程为，
得．由于在焦点的右侧，故．
从而
令，则
当时，取得最小值，此时．