2024-2025 学年第二学期上师宝分 5 月月考高一数学试卷
2025.5.12
一、填空题(本大题共有 12 题, 1~6 题每题 4 分, 7~12 题每题 5 分, 满分 54 分)
1. 在复数范围内, 的所有平方根为_____.
2. 设常数 ,已知函数 的最小正周期为 2 ,则 的值为_____.
3. 已知函数 的图像经过定点(-1,1),则 _____.
4 设 且满足 ,则 _____.
5. 若向量 、 满足 ,则 _____.
6. 已知集合 ,集合 ,若 ,则实数 的取值范围是_____.
7. 已知 ,则 _____.
8. 已知关于 的一元二次方程 有两个虚根 ,且 ,则实数 的值为_____.
9 已知函数 图象的一部分如图所示,则 _____.
10. 已知点 在线段 上(不含端点), 是直线 外一点,且 ,则 的最小值是_____
11. 已知 ,点 是平面上一个动点,则当 由 0 连续变到 时,线段 扫过的面积是_____.
12. 若函数 对于任意 ,总存在 使得 ,则称 是 上的 “ 阶依赖函数”. 已知函数 是 上的 “ 阶依赖函数”,则实数 的取值范围是_____
二、选择题(4 题共 18 分,13~14 每题 4 分,15~16 每题 5 分)
13. 已知角 终边上一点 ,若 ,则实数 的值为( )
A. 1 B. 2 C. ±1 D.
14. 在平行四边形 中, . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
15. 如果两个复数的实部互为相反数,虚部相等,那么这两个复数互为 “共胚复数”. 已知 与 互为 “共胚复数”,其中 , 为虚数单位,则 的值为( )
A. -2 B. 0 C. 3 D. -1
16. 在 中, 为线段 上的动点,且 , 则 最小值为 ( )
A. B. C. D.
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分, 分),请在答题纸相应区域内写出必要 的步骤.
17. 在公差为 的等差数列 中,已知 ,且 .
(1) 求 ；
(2)若 ,求 .
18. 中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路,是推动绿色发展的战略举措. 2024 年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本 2500 万元,每生产 (百辆),需另投入成本 (万元),且
,由市场调研知,若每辆车售价 5 万元,则当年内生产的车辆能在当年全部销售完.
(1)求出 2024 年的利润 (万元)关于年产量 (百辆)的函数关系式；
(2)当 2024 年的年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润.
19. 已知复平面上有点 、 ,向量 与向量 对应的复数分别为 和 .
(1)求点 的坐标；
(2)设点 对应的复数为 ,复数 满足 , ,且 为纯虚数,求复数 .
20. 已知定义域为 的函数 的最小正周期为 ,且直线 是其图像的一条对称轴.
(1)求函数 的解析式,并指出该函数的振幅、频率、圆频率和初始相位；
(2)将函数 的图像向右平移 个单位,再将所得图像上的每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到新的函数 ,已知函数 为常数且 在开区间 , 内恰有 2021 个零点,求常数 和 的值.
21. 对于定义域为 的函数 ,区间 . 若满足条件: 使 在区间 上的值域为 ,即 ,则把 称为 上的闭函数; 若满足条件: 存在一个常数 ,对于任意的 ,如果 ,那么 ,则把 称为 上的压缩函数；
(1)已知函数 是区间 上的压缩函数, , 是区间 上的压缩函数, 直接各写出一个满足条件的区间 和 . (不需要严格证明)
(2)函数 是 上的闭函数,且是 上的压缩函数,求 的解析式,并说明理由.
(3)给定常数 ,以及关于 的函数 ,是否存在实数 使 是区间 , 上的闭函数,若存在,请求出 的值; 若不存在,请说明理由.2024-2025 学年第二学期上师宝分 5 月月考高一数学试卷
一、填空题(本大题共有 12 题, 1~6 题每题 4 分, 7~12 题每题 5 分, 满分 54 分)
1. 在复数范围内, 的所有平方根为_____.
【解析】
设常数 ,已知函数 的最小正周期为 2 ,则 的值为_____.
【解析】
已知函数 的图像经过定点(-1,1),则 _____.
【解析】
4 设 且满足 ,则 _____.
【解析】（连等设K思想）
5. 若向量 、 满足 ,则 _____.
【解析】
已知集合 ,集合 ,若 ,则实数 的取值范围是_____.
【解析】
已知 ,则 _____.
【解析】
已知关于 的一元二次方程 有两个虚根 ,且 ,则实数 的值为_____.
【解析】
9.已知函数 图象的一部分如图所示,则 _____.
【解析】
10. 已知点 在线段 上(不含端点), 是直线 外一点,且 ,则 的最小值是_____
【解析】
已知 ,点 是平面上一个动点,则当 由 0 连续变到 时,线段 扫过的面积是_____.
【解析】
若函数 对于任意 ,总存在 使得 ,则称 是 上的 “ 阶依赖函数”. 已知函数 是 上的 “ 阶依赖函数”,则实数 的取值范围是_____
【解析】
二、选择题(4 题共 18 分,13~14 每题 4 分,15~16 每题 5 分)
13. 已知角 终边上一点 ,若 ,则实数 的值为( )
A. 1 B. 2 C. ±1 D.
【解析】
14. 在平行四边形 中, . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】
15. 如果两个复数的实部互为相反数,虚部相等,那么这两个复数互为 “共胚复数”. 已知 与 互为 “共胚复数”,其中 , 为虚数单位,则 的值为( )
A. -2 B. 0 C. 3 D. -1
【解析】
16. 在 中, 为线段 上的动点,且 , 则 最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】（三点共线+解三角形+基本不等式）
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分, 分),请在答题纸相应区域内写出必要的步骤.
17. 在公差为 的等差数列 中,已知 ,且 .
(1) 求 ；
(2)若 ,求 .
【解析】
(1)由 , ,
,解得 或 ,
当 时,
,
当 时,
；
(2) 由 , ,
所以数列前10项为正数,第11项为0,从第12项起为负数,所以
18. 中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路,是推动绿色发展的战略举措. 2024 年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本 2500 万元,每生产 (百辆),需另投入成本 (万元),且
,由市场调研知,若每辆车售价 5 万元,则当年内生产的车辆能在当年全部销售完.
(1)求出 2024 年的利润 (万元)关于年产量 (百辆)的函数关系式；
(2)当 2024 年的年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润.
【解析】
(1)由题意知,利润 收入一总成本,所以利润
所以2024年的利润 关于年产量 的函数关系式为
(2)当 时,
所以当 时, ；
当 时,
当且仅当 ,即 时取得等号;
综上,当产量为 时,取得最大利润,最大利润为 2100 万元.
19. 已知复平面上有点 、 ,向量 与向量 对应的复数分别为 和 .
(1)求点 的坐标；
(2)设点 对应的复数为 ,复数 满足 , ,且 为纯虚数,求复数 .
【解析】
(1) ,
故点 的坐标为(5,1)；
(2) ,
则为纯虚数
即 ,即 ,
,
,即 , ,故 .
20. 已知定义域为 的函数 的最小正周期为 ,且直线 是其图像的一条对称轴.
(1)求函数 的解析式,并指出该函数的振幅、频率、圆频率和初始相位；
(2)将函数 的图像向右平移 个单位,再将所得图像上的每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到新的函数 ,已知函数 为常数且 在开区间 , 内恰有 2021 个零点,求常数 和 的值.
【解析】
(1)由三角函数的周期公式可得
,令 ,得
由于直线 为函数 的一条对称轴,
所以 ,得
由于 , ,则
因此, ,
所以振幅为 1 ,频率为 ,圆频率为 2 ,初始相位为 ;
(2) 将函数 的图象向右平移 个单位,得到函数in2x再将所得的图象上每一点的纵坐标不变, 横坐标伸长为原来的 2 倍后所得到的图象对应的函数为
令 ,可得
令 ,得
,
则关于 的二次方程 必有两不等实根 ,则 异号.
①当 且 时,则方程 和
在区间 均有偶数个根,从而方程 也有偶数个根，不符。
②当 ,则 ,此时 ,当 时, 只有一根, 有两根,所以 在 上有三个根,由于 ,
则方程 在 上有3 个根,
由于方程 在区间 上只有一个根,在区间 上无实解,方程 在区间 上无实数解,在区间 上有两个根,因此,关于 的方程 在区间 上有2020个根,在区间 上有2022个根,不合题意；
③当 时,则 ,此时 ,当 时, 只有一根,
有两根,所以,关于 的方程 在 上有三
个根,由于 ,则方程 在 上有3 个根,由于方程 在区间 上无实数根,在区间 上只有一个实数根,方程 在区间 上有
两个实数解,在区间 上无实数解,因此,关于 的方程
在区间 上有2021个根,满足题意.
④若有一根绝对值大于1,则另一根绝对值大于0且小于 1,有偶数个根,不合题意,
综上所述： , .
21. 对于定义域为 的函数 ,区间 . 若满足条件: 使 在区间 上的值域为 ,即 ,则把 称为 上的闭函数; 若满足条件: 存在一个常数 ,对于任意的 ,如果 ,那么 ,则把 称为 上的压缩函数；
(1)已知函数 是区间 上的压缩函数, , 是区间 上的压缩函数, 直接各写出一个满足条件的区间 和 . (不需要严格证明)
(2)函数 是 上的闭函数,且是 上的压缩函数,求 的解析式,并说明理由.
(3)给定常数 ,以及关于 的函数 ,是否存在实数 使 是区间 , 上的闭函数,若存在,请求出 的值; 若不存在,请说明理由.
【解析】
(1) 即可, 即可.
(2) 是 上的闭函数,所以值域是 .
假设 ,则 ,
所以 ,即 或
若 则可证明 .
反证: 若存在 ,则 ,矛盾; 若存在 ,则
矛盾.
同理,若 则 .
(3)因为 ,所以 .
情形 1: 若 ,则 单调递增,从而有 即 是 两根,
所以 即 时, ,当 时, 无解
情形 2: 若 ,则 单调递减,从而有 即得 ,矛盾.
情形 3: 若 ,因为 ,但 0 不在定义域中,矛盾.
综上,当 时, ,当 时, 无解.
