2025届高考数学模拟试题（卷）（六）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由可得 ，又因为，所以.故选：A.
2．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B【解析】因为，
所以，解得，故选B.
3．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D【解析】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，
因为点到轴的距离为9，即，所以，解得，故选D
4．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】因为，，，所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC；，
故选：B.
5．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 【详解】依题意，，对于A，，，不能被5整除，A不是；对于B，，，不能被5整除，B不是；对于C，，，能被5整除，C是；对于D，，，不能被5整除，D不是.故选：C
6．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（ ）cm.
A． B． C． D．
【答案】C【解析】将投影至底面为，是底面大圆的一条弦且与小圆相切（切点为）时最长，所以，所以，故选：C.
7．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B【详解】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，，
则，，，
所以，当且仅当时等号成立，因此，的最小值为2.故选：B.
8．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】方程有三个不同的实数根，即函数的图象与直线有三个不同交点，作函数的图象如图所示，，
观察图象，得当时，函数的图象与直线有三个交点，
所以实数a的取值范围是，故选A
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
【答案】AC【解析】A.，故A正确；B.，，由图知，则，即，因，故，则，当时，，故，故B错误；C.新函数，因，故C正确；D.新函数，故D错误.故选：AC.
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积为2
B．若，则直线被圆截得的弦长为
C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个
D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为
【答案】ABD【详解】对于A，，设点P,记 则
因为 , 所以 解得 , 所以 的面积为
，故A正确；
对于B，若，则，
所以，所以直线为，所以，
又因为，圆心到直线距离，所以直线被圆截得的弦长为，故B正确；
对于C，由椭圆的性质可知，即.
若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个；若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个；
故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误；对于D：设，，因为，所以，所以点的横坐标为，D选项正确.故选：ABD.
11．沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【解析】因为纸带是由一个长方形纸条一端扭曲180°后粘贴而成封闭环，沿着三等分线剪开时，会一次性剪完纸带的所有三等分线．所以剪开图是两个套在一起的环，并且两个环的宽度是原纸带环宽度的.正确剪开图是B．故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ．
【答案】或【详解】若直线与相交于两点，且，则圆心到直线的距离，所以，解得或．故答案为：或.
13．若，，则
【答案】 【详解】，又，故，故，则，解得，故，故.
14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】或【解析】令，则，由当时，，所以，即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，所以，所以是偶函数，在递减，所以，，
即不等式等价为，所以，解得或．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在中，角所对的边分别为，，，且，.
(1)若边上的高，求证：为等边三角形；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
【详解】（1）证明：在中，，，由余弦定理得，即①.又，即，故②.由①②得，即，故.
所以为等边三角形.（2）在中，由，
得，又直线为的平分线，
则，所以，即③，又由余弦定理可得，即.④，
由③④可知，解得或（舍），所以的周长为.
16．（本小题满分15分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
【解】（1）的定义域为R，. …………1分
若，令，得或，令，得；
若，令，得或，令，得. ……………3分
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减. ………4分
（2）当时，，
令，则， …………6分
令，
则.
当和时，，单调递减；
当时，，单调递增. …………8分
所以的极小值为，的极大值为， ……………9分
画出函数的大致图象，如图，
…………11分
由图可知，
当或时，函数有1个零点； …………13分
当或时，函数有2个零点； …………14分
当时，函数有3个零点. …………15分
17．（15分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．
(1)当时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件，于是，与为互斥事件，由于，，则，即甲最终获胜的概率为．
（2）由（1）可知，，若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取，，
则的分布列为：
3
则，
若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0，
，则的分布列为：
1 0
则，所以，
由于，则，于是时，两种方案都可以选，
当时，，应该选第二种方案，
当时，，应该选第一种方案．
18．（17分）在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点.
(1)若为的中点，
（i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系；
（ii）求证：平面.
(2)若三棱柱是棱长均为2的正三棱柱，当二面角为时，求到平面的距离.
【详解】（1）（i）连结，交于点，连结交BE于点.
因为为的中点，为的中点，
所以为的重心，所以.
又因为为的中线，
所以点也为的重心，所以点在线段BE上.
（ii）连结，并延长交AC于点，连结DG.
因为为的重心，所以.
又因为，所以，即.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）取AB的中点.
因为为棱长相等的正三棱柱，所以为正三角形，所以.
又因为在正三棱柱中平面，所以，.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，
设，可知，所以，
所以，.
设平面的法向量为，则所以
令，则可得.
易知平面的一个法向量为，
所以，即，解得（舍），或.
所以，.又，
则到平面的距离.
19．（17分）已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 .
（i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ;
（ii）设数列的前 项和为 .求证:
对 .
(其中 表示不超过 的最大整数，例如 )
【详解】（1）由题可得，又，
则，又其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2，
则，则，故双曲线方程为：；
（2）（i）因在双曲线上，
则.
因，则在第一象限，
则此时点P满足方程：，
则，故点P对应切线斜率为：
.
则切线方程为：.
与渐近线联立，可得，同理可得.
则，
又，
则，
又，则，
故数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则；
（ii）由（1）可得，则.
则，
注意到
，
又 ，则；
另一方面，.
注意到时，，则.
则
，又，
则.
下面证明：，
注意到，
则要证，即证，
注意到，
则证明.
令，因，则，则对于函数.
有，
令，则，
则，
故在上单调递增，在上单调递减，
又注意到，则当时，.
则.
最后由不等式同向可加性可得：
又注意到，则，
则.
则
.
综上可知，.2025届高考数学模拟试题（卷）（六）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．C．D．
5．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ）
A． B． C． D．
6．美味的火锅中也充满了有趣的数学知识，如图将火锅抽象为乙图的两个同心圆柱，大、小圆柱的半径分别为25cm与5cm，汤料只放在两圆柱之间，将汤勺视为一条线段，若将汤锅装满，将汤勺置于两圆柱之间无论如何放置汤料都不会将汤勺淹没，则汤勺长度最短为：（ ）cm.
A． B． C． D．
7．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为 B．当时，的值域为
C．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积为2
B．若，则直线被圆截得的弦长为
C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个
D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为
11．沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ．
13．若，，则
14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在中，角所对的边分别为，，，且，.
(1)若边上的高，求证：为等边三角形；
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
16．（本小题满分15分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，讨论的零点个数.
17．（15分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．
(1)当时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
18．（17分）在三棱柱中，点在上，且，为线段上的动点.
(1)若为的中点，
（i）在图中画出的重心，并说明点与线段BE的位置关系；
（ii）求证：平面.
(2)若三棱柱是棱长均为2的正三棱柱，当二面角为时，求到平面的距离.
19．（17分）已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 .
（i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ;
（ii）设数列的前 项和为 .求证:
对 .
(其中 表示不超过 的最大整数，例如 )
