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2024七下数学
同步精品课件
北师大版七年级下册
北师大2024版七下数学 期末复习讲解课件
七下数学期末小专题特训
（共13小专题）
小专题(一) 乘法公式的灵活运用
1.计算：
(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)(a8＋b8)；
解：原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)(a8＋b8)
＝(a4－b4)(a4＋b4)(a8＋b8)
＝(a8－b8)(a8＋b8)
＝a16－b16.
(2)15(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416).
解：原式＝(42－1)(42＋1)(44＋1)(48＋1)(416＋1)
＝(44－1)(44＋1)(48＋1)(416＋1)
＝(48－1)(48＋1)(416＋1)
＝(416－1)(416＋1)
＝432－1.
类型二 整体运用
2.若m，n满足(m2＋2n2＋5)(m2＋2n2－5)＝24，则m2＋2n2的值为( )
A.7 B.3.5
C.3.5或－7 D.7或－7
A
3.如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形.设AB＝10，两正方形的面积和S1＋S2＝52，则图中阴影部分的面积为______.
12
4.计算：
(1)(a－b－2)(a－b＋2)；
解：原式＝(a－b)2－4
＝a2－2ab＋b2－4.
(2)(5x＋2y－3)(5x－2y＋3).
解：原式＝(5x)2－(2y－3)2
＝25x2－4y2＋12y－9.
6.若x满足(9－x)(x－4)＝2，求(9－x)2＋(x－4)2的值.
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设9－x＝a，x－4＝b，
则ab＝(9－x)(x－4)＝_____，
a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝_____，
所以(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝______.
(1)请补全小明的解法；
(2)已知(30－x)(x－20)＝－10，则(30－x)2＋(x－20)2的值为_______；
2
5
21
120
(3)若x满足(2 025－x)2＋(x－2 023)2＝2 024，求(2 025－x)(x－2 023)的值.
解：设2 025－x＝m，x－2 023＝n，
则m2＋n2＝2 024，m＋n＝2.
因为(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，
所以4＝2 024＋2mn，
所以mn＝－1 010，
即(2 025－x)(x－2 023)＝－1 010.
小专题(二) 平行线中的拐点问题
类型一 含一个拐点的问题
1.如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点.若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )
A.110° B.115°
C.120° D.125°
C
第1题图
2.如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝20°，则∠DEB的度数为( )
A.80° B.90°
C.100° D.110°
第2题图
B
3.如图，某地下管道流经B，C，D三点拐弯后与原来方向相同.若∠ABC＝120°，∠BCD＝85°，则∠CDE的度数是( )
A.45° B.40°
C.35° D.25°
第3题图
D
4.将一副三角尺按如图所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是( )
A.15° B.30°
C.45° D.60°
第4题图
A
5.某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行走路线与开始的路线互相平行.已知第一次转过的角度和第三次转过的角度如图所示，则第二次拐弯角(∠1)的度数是________.
90°
类型二 含多个拐点的问题
6.如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4等于( )
A.∠1＋∠2－∠3
B.∠1＋∠3－∠2
C.180°＋∠3－∠1－∠2
D.∠2＋∠3－∠1－180°
D
7.如图，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C＋∠D的度数为( )
A.180° B.200°
C.240° D.无法确定
C
第7题图
8.如图，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠F＋∠C的度数为_________.
第8题图
540°
9.(1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G______∠B＋∠F＋∠D；(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)如图2，若AB∥CD，则能得到什么结论？
请直接写出结论.
图1
图2
解：∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D＝∠E1＋∠E2＋…＋∠En.
＝
小专题(三) 相交线与平行线中的思想方法
类型一 方程思想
1.如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF的度数为_________.
120°
2.如图，已知FC∥AB∥DE，∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠1，∠D，∠B的
度数.
解：因为∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，
所以设∠1＝2x°，
则∠D＝3x°，∠B＝4x°.
因为FC∥AB∥DE，
所以∠FCB＋∠B＝180°，∠DCG＋∠D＝180°，
所以∠FCB＝180°－∠B＝180°－4x°，∠DCG＝180°－∠D＝180°－3x°.
因为∠FCB＋∠1＋∠DCG＝180°，
所以(180－4x)＋2x＋(180－3x)＝180°，
解得x＝36，
所以∠1＝2x°＝72°，∠D＝3x°＝108°，∠B＝4x°＝144°.
类型二 分类讨论思想
3.若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少24°，则∠A的度数是_______________.
4.已知∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边.若∠1＝35°，则∠2的度数为_______________.
12°或129°
35°或145°
5.如图，将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°.按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE(不超过一周).当CE∥AB时，∠BCD的度数为_______________.
150°或30°
6.如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G.若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，求∠PGF的度数.
解：如图，分两种情况讨论：
(1)当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°.
因为∠MFD＝∠BEF＝58°，
所以CD∥AB，
所以∠GEB＝∠FGE.
因为EG平分∠BEF，
所以∠GEB＝∠GEF＝ ∠BEF＝29°，
所以∠FGE＝∠GEB＝29°，
所以∠PGF＝∠PGE－∠FGE＝90°－29°＝61°；
(2)当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°.
同理可得∠P′GF＝∠P′GE＋∠FGE＝119°.
综上所述，∠PGF的度数为61°或119°.
类型三 从特殊到一般的思想
7.如图，已知AB∥CD，解决下列问题：
(1)如图1，∠1＋∠2＝_________；
(2)如图2，∠1＋∠2＋∠3＝_________；
(3)如图3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_________；
(4)如图4，探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝_________________.
图1
图2
图3
图4
180°
360°
540°
(n－1)·180°
小专题(四) 三角形三边关系的应用
类型一 判断三条线段是否能组成三角形
1.以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是( )
A.1 cm，3 cm，5 cm B.2 cm，2 cm，3 cm
C.2 cm，3 cm，5 cm D.2 cm，5 cm，1 cm
B
2.现有四条线段，长度依次是2，3，4，5，从中任选三条能组成_____个三角形.
3
类型二 利用三边关系求字母的值或取值范围
3.已知三角形的两边长为4和10，第三边长为a.
(1)求a的取值范围；
解：因为三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，
所以10－4＜a＜10＋4，
即6＜a＜14.
(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值为多少？
解：因为a为整数，
所以当a＝13时，组成的三角形的周长最大，
最大值为4＋10＋13＝27.
4.已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长.
解：因为(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以b－2＝0，c－3＝0，
所以b＝2，c＝3.
因为a为方程|x－4|＝2的解，
所以a＝6或a＝2.
当a＝6时，2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，2＋2>3，符合三角形的三边关系.
因为a＝2，b＝2，c＝3，
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
类型三 利用三边关系化简求值
5.已知三角形的三边长分别为1，a－1，3，则化简|a－3|＋|a－5|的结果为_____.
6.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|－a－b＋c|＋2|a＋c－b|－|b－a－c|.
解：因为a，b，c是△ABC的三边长，
所以a＋b＞c，a＋c＞b，
所以－a－b＋c＜0，a＋c－b＞0，b－a－c＜0，
所以|－a－b＋c|＋2|a＋c－b|－|b－a－c|
＝a＋b－c＋2(a－b＋c)＋b－a－c
＝a＋b－c＋2a－2b＋2c＋b－a－c
＝2a.
2
类型四 利用三边关系证明边的不等关系
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.试说明：AB＋BC＋CD＋AD＞AC＋BD.
解：因为AB＋BC＞AC，CD＋AD＞AC，BC＋CD＞BD，
AB＋AD＞BD，
所以2AB＋2BC＋2CD＋2AD＞2AC＋2BD，
所以AB＋BC＋CD＋AD＞AC＋BD.
8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线.试说明：AD＋BD＞ (AB＋AC).
解：因为BD＋AD＞AB，
CD＋AD＞AC，
所以BD＋AD＋CD＋AD＞AB＋AC.
因为AD是边BC上的中线，
所以BD＝CD，
所以AD＋BD＞ (AB＋AC).
小专题(五) 与三角形内角和有关的模型
类型一 “8”字型
1.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
解：连接BC.
因为∠D＋∠E＋∠DFE＝∠FBC＋∠FCB＋∠BFC＝180°，
∠DFE＝∠BFC，
所以∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB，
所以∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠FBC＋∠FCB＝∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
2.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
解：如图，因为∠A＋∠B＋∠4＝180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∠3＝∠4，
所以∠A＋∠B＝∠1＋∠2.
同理可得∠C＋∠D＝∠2＋∠3，∠E＋∠F＝∠1＋∠3，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2(∠1＋∠2＋∠3)＝360°.
类型二 “燕尾”型
3.如图，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠ACD＝30°，求∠BDC的度数.
解：连接BC.
因为∠A＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°，
即∠ABD＋∠DBC＋∠ACD＋∠DCB＝130°，
所以∠DBC＋∠DCB＝130°－(∠ABD＋∠ACD)＝60°，
所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝120°.
4.如图，已知∠BAD和∠BCD的平分线相交于点M，AM交BC于点O，CM交AD于点P.试说明：∠M＝ (∠B＋∠D).
解：因为∠B＋∠BAM＋∠AOB＝∠M＋∠BCM＋∠COM，
∠AOB＝∠COM，
所以∠B＋∠BAM＝∠M＋∠BCM，
所以∠BAM－∠BCM＝∠M－∠B.
同理可得∠MAD－∠MCD＝∠D－∠M.
因为AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，
所以∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，
所以∠M－∠B＝∠D－∠M，
所以∠M＝ (∠B＋∠D).
5.如图，∠ABD，∠ACD的平分线相交于点P，∠A＝50°，∠D＝10°，求∠P的度数.
解：延长PC，交BD于点E，设AC，PB相交于点F.
因为∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠CFP＝180°，
∠AFB＝∠CFP，
所以∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF.
因为∠P＋∠PBE＋∠BEP＝180°，∠BEP＋∠PED＝180°，
所以∠P＋∠PBE＝∠PED.
同理可得∠PED＝∠PCD－∠D，
所以∠P＋∠PBE＝∠PCD－∠D，
所以∠P＋∠PCF＋∠P＋∠PBE＝∠A－∠D＋∠ABF＋∠PCD.
因为BP，CP分别是∠ABD和∠ACD的平分线，
所以∠ABF＝∠PBE，∠PCF＝∠PCD，
所以2∠P＝∠A－∠D＝50°－10°＝40°，
所以∠P＝20°.
小专题(六)
与三角形角平分线有关的求角度模型
模型一 求两内角平分线的夹角
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，∠A＝40°.
(1)∠BOC的度数为_________；
(2)若∠A＝α，猜想∠BOC与α的数量关系，并说明理由.
解：∠BOC＝90°＋ .理由如下：
因为∠A＝α，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.
110°
模型二 求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角
2.如图，在△ABC中，内角∠ABC和外角∠ACD的平分线BA1，CA1相交于点A1.
(1)试说明：∠A1＝ ∠A；
解：因为CA1平分∠ACD，
所以∠A1CD＝ ∠ACD.
因为BA1平分∠ABC，
所以∠A1BC＝ ∠ABC.
因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，所以∠A＋∠ABC＝∠ACD.
同理可得∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD，
(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……作∠A2 024 BC和∠A2 024CD的平分线交于点A2 025，得∠A2 025.若∠A＝α，则∠A2 025的度数为______.(用含α的式子表示)
模型三 求两外角平分线的夹角
3.如图，BF，CF分别平分△ABC的外角∠CBP，∠BCQ.
(1)若∠A＝40°，则∠F的度数为________；
(2)试探究∠F和∠A之间的数量关系，并说明理由.
解：∠F＝90°－ ∠A.
理由如下：
因为BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
70°
小专题(七) 三角形中的分类讨论
类型一 三角形边长相关的分类讨论
1.已知等腰三角形的周长等于20，其中一边长为4，那么这个等腰三角形的三边长分别为___________.
4，8，8
2.已知等腰三角形的三条边长分别为n＋6，6，n＋2，求该等腰三角形的周长.
解：分两种情况讨论：
(1)当6＝n＋2时，解得n＝4，
所以此时三角形的三边长为10，6，6，
所以等腰三角形的周长为10＋6＋6＝22；
(2)当n＋6＝6时，解得n＝0，
所以此时三角形的三边长为6，6，2，
所以等腰三角形的周长为2＋6＋6＝14.
综上所述，该等腰三角形的周长为22或14.
解：如图，因为BD为△ABC的中线，所以AD＝CD.
设AD＝CD＝x cm，则AB＝AC＝2x cm.
分两种情况讨论：
(1)当AB＋AD＝12 cm时，
即2x＋x＝12，解得x＝4.
此时BC＋x＝15，解得BC＝11 cm.
此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝8 cm，BC＝11 cm，能构成三角形；
3.在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12 cm与15 cm两部分，求△ABC的各边长.
(2)当AB＋AD＝15 cm时，
即2x＋x＝15，解得x＝5.
此时BC＋x＝12，解得BC＝7 cm.
此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝10 cm，
BC＝7 cm，能构成三角形.
综上所述，△ABC的各边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
类型二 三角形高的位置不确定时，需分类讨论
4.在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)如图1，当∠C为锐角时，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝80°.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝ ∠BAC＝40°，
所以∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝20°；
图1
(2)如图2，当∠C为钝角时，
∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝40°.
因为AE平分∠BAC，所以∠CAE＝ ∠BAC＝20°，
所以∠EAD＝∠CAD＋∠EAC＝40°.
综上所述，∠EAD的度数为20°或40°.
图2
5.在非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)如图1，当△ABC是锐角三角形时，
因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
所以∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝45°，
所以∠BHE＝90°－∠ABD＝45°，
所以∠BHC＝180°－∠BHE＝135°；
图1
(2)如图2，当△ABC是钝角三角形时，
因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠A＋∠ACE＝90°，∠BHC＋∠HCD＝90°.
因为∠ACE＝∠HCD，
所以∠BHC＝∠A＝45°.
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.
图2
小专题(八) 全等三角形的基本模型
类型一 “手拉手”模型
1.将两块含45°角、大小不同的直角三角尺△COD和△AOB按如图1所示摆放，连接AC，BD.
(1)试说明：AC＝BD；
解：在△AOC和△BOD中，因为CO＝DO，∠AOC＝∠BOD，
AO＝BO，
所以△AOC≌△BOD(SAS)，所以AC＝BD.
图1
解：AC1⊥BD1.理由如下：
延长BD1，交AC1于点M.
因为∠AOB＝∠C1OD1＝90°，
所以∠AOC1＝∠BOD1.
因为AO＝BO，C1O＝D1O，
所以△AOC1≌△BOD1(SAS)，
(2)将图1中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度到△C1OD1的位置(如图2)，连接AC1，BD1，直线AC1与BD1存在着什么样的位置关系？请说明理由.
图1 图2
所以∠C1AO ＝∠D1BO.
因为∠OAB＋∠ABD1＋∠D1BO＝90°，
所以∠OAB＋∠ABD1＋∠C1AO＝90°，
所以∠AMB＝90°，所以AC1⊥BD1.
类型二 三垂直模型
2.将含有45°角的直角三角尺ABC(∠ACB＝90°)和直尺按如图所示的方式摆放在桌子上，然后分别过A，B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE(忽略直尺的宽度).
(1)请写出图中的一对全等三角形并说明；
解：△ADC≌△CEB.
理由如下：
因为AD⊥CE，BE⊥CE，
所以∠ADC＝∠CEB＝90°＝∠ACB，
所以∠ACD＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，
所以∠CAD＝∠BCE.
因为AC＝CB，
所以△ADC≌△CEB(AAS).
(2)你能发现并说明线段AD，BE，DE之间的关系吗？
解：AD＝BE＋DE.
理由如下：由(1)知△ADC≌△CEB，
所以AD＝CE，CD＝BE.
因为CE＝CD＋DE，
所以AD＝BE＋DE.
3.已知∠ABC＝90°，D是线段AB所在直线上的一点，AD＝BC.
(1)如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC，DF，CF，求∠FDC的度数；
图1
解：因为AF⊥AB，
所以∠A＝90°＝∠B.
因为AF＝BD，
AD＝BC，
所以△FAD≌△DBC(SAS)，
所以∠ADF＝∠BCD.
因为∠B＝90°，所以∠BDC＋∠BCD＝90°，
所以∠BDC＋∠ADF＝90°，
所以∠FDC＝180°－(∠BDC＋∠ADF)＝90°.
(2)如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，求∠FDC的度数.
图2
解：因为AF⊥AB，所以∠A＝90°.
因为∠ABC＝90°，
所以∠DBC＝180°－∠ABC＝90°＝∠A.
因为AF＝BD，AD＝BC，
所以△FAD≌△DBC(SAS)，
所以∠ADF＝∠BCD.
因为∠DBC＝90°，所以∠BDC＋∠BCD＝90°，
所以∠ADF＋∠BDC＝90°，即∠FDC＝90°.
类型三 一线三等角模型
4.如图，D，A，E三点在同一条直线上，且∠D＝∠E＝∠BAC，AB＝AC，试探究BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由.
解：DE＝CE＋BD.理由如下：
因为∠D＋∠ABD＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠BAE＝180°，
所以∠D＋∠ABD＝∠BAE.
因为∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，且∠D＝∠BAC，
所以∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
因为∠D＝∠E，∠ABD＝∠CAE，AB＝CA，
所以△ABD≌△CAE(AAS)，
所以AD＝CE，BD＝AE.
因为DE＝AD＋AE，
所以DE＝CE＋BD.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变______(填“大”或“小”)，但∠BDA与∠EDC的度数和始终是_________；
小
140°
(2)当DC的长是多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由.
解：当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由如下：
由(1)知∠BDA＋∠EDC＝140°.
因为∠BDA＋∠DAB＝180°－∠B＝180°－40°＝140°，
所以∠EDC＝∠DAB.
当DC＝2时，因为AB＝2，所以AB＝DC.
在△ABD和△DCE中，
因为∠B＝∠C，AB＝DC，∠DAB＝∠EDC，
所以△ABD≌△DCE(ASA).
故当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
6.已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，点E，F在直线CD上，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.
(1)如图1，若直线CD经过∠BCA的内部，且点E，F在射线CD上，给出条件“∠BCA＝∠α＝90°”，猜想BE与CF之间的数量关系是______________；
图1
BE＝CF
(2)如图2，将(1)中“∠BCA＝∠α＝90°”改为“0°<∠BCA<180°，∠α＋∠BCA＝180°”，其余条件不变，请你探究EF，BE，AF三条线段之间的数量关系，并说明理由；
解：EF＋AF＝BE.
理由如下：
因为∠α＋∠BCA＝180°，∠CFA＝∠α，
所以∠CFA＋∠BCA＝180°，
所以∠CFA＋∠BCE＋∠ACF＝180°.
图2
因为∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，
所以∠BCE＝∠CAF.
因为∠BEC＝∠CFA，BC＝CA，
所以△BCE≌△CAF(AAS)，
所以BE＝CF，CE＝AF，
所以EF＋AF＝EF＋CE＝CF，
所以EF＋AF＝BE.
(3)如图3，改变直线CD的位置，使CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，则EF，BE，AF三条线段之间的数量关系是____________________.
图3
EF＝BE＋AF
小专题(九) 构造全等三角形的技巧
类型一 利用“倍长中线法”构造全等三角形
1.如图，在△ABC中，D为BC的中点.
(1)试说明：AB＋AC＞2AD；
解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
因为D为BC的中点，
所以BD＝CD.
在△ADC和△EDB中，
因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，
所以△ADC≌△EDB(SAS)，所以AC＝EB.
在△ABE中，AB＋EB＞AE，
所以AB＋AC＞2AD.
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围.
解：由(1)知AC＝EB.
因为AC＝3，所以EB＝3.
在△ABE中，AB－EB＜AE＜AB＋EB，
所以5－3＜2AD＜5＋3，所以1＜AD＜4.
2.如图，已知CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.试说明：AC＝2AE.
解：延长AE至点F，使AE＝EF，连接BF.
因为AE是△ABD的中线，所以BE＝DE.
在△ADE和△FBE中，
因为AE＝FE，∠AED＝∠FEB，DE＝BE，
所以△ADE≌△FBE(SAS)，
所以DA＝BF，∠ADE＝∠FBE.
因为∠ABF＝∠ABD＋∠FBE，∠BAD＝∠BDA，
所以∠ABF＝∠ABD＋∠BDA＝∠ABD＋∠BAD.
因为∠ABD＋∠BAD＋∠ADB＝180°，
∠ADB＋∠ADC＝180°，
所以∠ADC＝∠ABD＋∠BAD，
所以∠ABF＝∠ADC.
在△ABF和△CDA中，
因为AB＝CD，∠ABF＝∠CDA，BF＝DA，
所以△ABF≌△CDA(SAS)，所以AF＝AC.
因为AF＝2AE，所以AC＝2AE.
类型二 利用“截长补短法”构造全等三角形
3.在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＋∠ADC＝180°，点E，F分别在直线BC，CD上，且∠EAF＝ ∠BAD.
(1)如图1，当点E，F分别在边BC，CD上时，试说明：EF＝BE＋FD；
图1
解：延长EB至点G，使BG＝DF，连接AG.
因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABG＝180°，
所以∠ADC＝∠ABG.
因为AB＝AD，BG＝DF，
所以△ABG≌△ADF(SAS)，
所以AG＝AF，∠BAG＝∠DAF.
因为∠EAF＝ ∠BAD，
所以∠BAE＋∠DAF＝∠BAE＋∠BAG＝ ∠BAD，所以∠EAG＝∠EAF.
因为AE＝AE，所以△EAG≌△EAF(SAS)，
所以GE＝EF.
因为GE＝BE＋BG，所以EF＝BE＋FD.
(2)如图2，当点E，F分别在边BC，CD的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF，BE，FD之间的数量关系，并说明理由.
图2
解：(1)中的结论不成立，EF＝BE－FD.理由如下：
在BE上截取BM＝DF，连接AM.
同(1)可得△ABM≌△ADF(SAS)，
所以AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
所以∠BAM＋∠MAD＝∠DAF＋∠MAD，
所以∠BAD＝∠MAF.
因为∠EAF＝ ∠BAD，所以∠EAF＝ ∠MAF，
所以∠EAF＝∠EAM.
因为AE＝AE，所以△AME≌△AFE(SAS)，
所以EM＝EF，
所以EM＝BE－BM＝BE－DF，
所以EF＝BE－FD.
小专题(十) 等腰三角形中辅助线的作法
类型一 已知等腰三角形作中线或高
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，求BC的长.
解：过点A作AD⊥BC于点D，
所以∠ADB＝90°.
因为AE⊥BE，
所以∠E＝90°，
所以∠ADB＝∠E.
因为AB＝AC，
所以BD＝CD＝ BC.
因为∠ABE＝∠ABC，AB＝AB，
所以△ABD≌△ABE，
所以BD＝BE＝2，
所以BC＝2BD＝4.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF，试说明：DE＝DF.
解：连接AD.
因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.
因为EF∥BC，
所以AD⊥EF.
因为AE＝AF，
所以AD垂直平分EF，
所以DE＝DF.
类型二 先构造三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质解题
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，试说明：DG⊥EF.
解：连接 ED，DF.
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为BE＝CD，BD＝CF，
所以△BED≌△CDF(SAS)，
所以DE＝FD.
因为G是EF的中点，
所以DG⊥EF.
类型三 逆用“三线合一”构造等腰三角形
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，CD⊥BE，交BE的延长线于点D.试说明：BE＝2CD.
解：延长BA，CD相交于点Q.
因为∠BAC＝90°，
所以∠CAQ＝90°＝∠BAE，
所以∠ACQ＋∠Q＝90°.
因为CD⊥BE，
所以∠BDQ＝∠BDC＝90°，
所以∠ABE＋∠Q＝90°，
所以∠ACQ＝∠ABE.
在△ABE和△ACQ中，因为∠ABE＝∠ACQ，AB＝AC，∠BAE＝∠CAQ，
所以△ABE≌△ACQ(ASA)，所以BE＝CQ.
因为BE是∠ABC的平分线，
所以∠QBD＝∠CBD.
在△QDB和△CDB中，因为∠QBD＝∠CBD，BD＝BD，∠BDQ＝∠BDC，
所以△QDB≌△CDB(ASA)，所以QD＝CD，
所以BE＝CQ＝2CD.
小专题(十一) 等腰三角形中的分类讨论
类型一 腰和底不确定时需分类讨论
1.已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为( )
A.3 B.10
C.6.5 D.3或6.5
2.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 ABC是“倍长三角形”，底边 BC的长为5，则腰AB的长为______.
C
10
类型二 当顶角和底角不确定时需分类讨论
3.已知等腰三角形的一个角为30°，则其底角的度数为( )
A.75° B.65°或75°
C.30° D.30°或75°
4.如果一个等腰三角形的一个角的邻补角为124°，那么该等腰三角形顶角的度数为______________.
D
56°或68°
5.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，求∠C的度数.
解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°.
分两种情况讨论：
(1)当∠A是顶角时，∠C＝∠B＝x°，
所以∠A＋2∠B＝180°，
即4x＝180，解得x＝45，
此时∠C＝45°；
(2)当∠A是底角时，∠C＝∠A＝2x°，
所以2∠A＋∠B＝180°，
即5x＝180，解得x＝36，
此时∠C＝72°.
综上所述，∠C的度数为45°或72°.
类型三 当三角形的形状不确定时需分类讨论
6.若某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数为_______________.
65°或115°
7.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)当MN与AC相交，交点为D时，如图1，∠ADM＝40°，
则∠A＝90°－∠ADM＝50°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝ (180°－∠A)＝65°；
图1
(2)当MN与CA的延长线相交，交点为D时，如图2，∠ADN＝40°，则∠DAB＝90°－∠ADN＝50°，
所以∠BAC＝180°－∠DAB＝130°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝ (180°－∠BAC)＝25°.
综上所述，∠B的度数为65°或25°.
图2
类型四 已知等腰三角形的一边确定另一个顶点时需分类讨论
8.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.
已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，且使得△ABC
为等腰三角形，则这样的点C有_____个.
8
小专题(十二)
角平分线与线段垂直平分线的综合应用
1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F，试说明：∠BAF＝∠ACF.
解：因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠DAC.
因为FE是AD的垂直平分线，
所以FA＝FD，
所以∠FAD＝∠FDA.
因为∠ACF＋∠ACD＝180°，∠FDA＋∠DAC＋∠ACD＝180°，
所以∠ACF＝∠FDA＋∠DAC.
因为∠BAF＝∠FAD＋∠BAD，
所以∠BAF＝∠ACF.
2.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的______________，射线AE是∠DAC的__________；
垂直平分线
平分线
解：因为DF是线段AB的垂直平分线，
所以DA＝DB，
所以∠BAD＝∠B＝40°.
因为∠B＝40°，∠C＝50°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝90°，
所以∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝50°.
因为AE平分∠CAD，
所以∠DAE＝ ∠CAD＝25°.
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.试说明：AD＝BD.
解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠DEA＝90°＝∠C.
因为AD平分∠BAC，
所以∠CAD＝∠EAD.
在△DCA和△DEA中，
因为∠CAD＝∠EAD，∠C＝∠DEA，AD＝AD，
所以△DCA≌△DEA(AAS)，所以AC＝AE.
因为AB＝2AC＝AE＋BE，
所以AE＝BE，即E为AB的中点.
又因为DE⊥AB，
所以DE垂直平分AB，所以AD＝BD.
4.如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是边BC的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.
(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
解：因为D是边BC的中点，
DE⊥BC，
所以PB＝PC，
所以∠PBC＝∠PCB.
因为BP平分∠ABC，
所以∠PBC＝∠ABP，
所以∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.
因为∠A＝60°，∠ACP＝24°，
所以∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°＝96°，
所以3∠ABP＝96°，所以∠ABP＝32°.
(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，直接写出m，n满足的关系式____________.
m＋3n＝120
小专题(十三) 轴对称的性质及其应用
类型一 利用轴对称的性质求角度和线段长
1.如图，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为_______cm.
第1题图
4.5
2.如图，在△ABC中，∠BAC>∠B，∠C＝50°，将∠B折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB，BC于点D，P.当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为______________________.
第2题图
40°或25°或32.5°
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，把△BCD沿BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O.若∠DBC＝15°，求∠BOD的度数.
解：因为AD∥BC，
所以∠BDO＝∠DBC＝15°.
由折叠的性质，得∠DBO＝∠DBC＝15°，
所以∠BOD＝180°－∠DBO－∠BDO＝180°－2×15°＝150°.
类型二 利用轴对称的性质解决最短路径问题
4.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在边BC，CD上分别找点M，N.当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为_________.
100°
5.如图，∠ABC内有一点P，在边AB，BC上各取点P1，P2，求作△PP1P2，使△PP1P2的周长最小.
解：如图所示，分别作点P关于AB，BC的对称点N，M，连接MN，分别交AB，BC于点P1，P2，连接PP1，PP2，则△PP1P2即为所求三角形.
6.如图，已知牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
解：作点P关于河流的对称点C，关于草地的对称点D，连接CD，交河流和草地于A，B两点，连接PA，PB，则最短路线为P－AB－P.
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2025春北师大版七下数学期末小专题特训
目录
小专题(一) 乘法公式的灵活运用
小专题(二) 平行线中的拐点问题
小专题(三) 相交线与平行线中的思想方法
小专题(四) 三角形三边关系的应用
小专题(五) 与三角形内角和有关的模型
小专题(六) 与三角形角平分线有关的求角度模型
小专题(七) 三角形中的分类讨论
小专题(八) 全等三角形的基本模型
小专题(九) 构造全等三角形的技巧
小专题(十) 等腰三角形中辅助线的作法
小专题(十一) 等腰三角形中的分类讨论
小专题(十二) 角平分线与线段垂直平分线的综合应用
小专题(十三) 轴对称的性质及其应用
小专题(一) 乘法公式的灵活运用
类型一 连续运用
1.计算：
(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)(a8＋b8)；
解：原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)(a8＋b8)
＝(a4－b4)(a4＋b4)(a8＋b8)
＝(a8－b8)(a8＋b8)
＝a16－b16.
(2)15(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416).
解：原式＝(42－1)(42＋1)(44＋1)(48＋1)(416＋1)
＝(44－1)(44＋1)(48＋1)(416＋1)
＝(48－1)(48＋1)(416＋1)
＝(416－1)(416＋1)
＝432－1.
类型二 整体运用
2.若m，n满足(m2＋2n2＋5)(m2＋2n2－5)＝24，则m2＋2n2的值为(A)
A.7 B.3.5
C.3.5或－7 D.7或－7
3.如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形.设AB＝10，两正方形的面积和S1＋S2＝52，则图中阴影部分的面积为 12 .
4.计算：
(1)(a－b－2)(a－b＋2)；
解：原式＝(a－b)2－4
＝a2－2ab＋b2－4.
(2)(5x＋2y－3)(5x－2y＋3).
解：原式＝(5x)2－(2y－3)2
＝25x2－4y2＋12y－9.
5.已知x＋＝3，求x4＋的值.
解：因为x＋＝3，所以(x＋)2＝32，
所以x2＋＋2＝9，所以x2＋＝7，
所以x4＋＝(x2＋)2－2＝72－2＝47.
6.若x满足(9－x)(x－4)＝2，求(9－x)2＋(x－4)2的值.
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设9－x＝a，x－4＝b，
则ab＝(9－x)(x－4)＝ 2 ，
a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝ 5 ，
所以(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ 21 .
(1)请补全小明的解法；
(2)已知(30－x)(x－20)＝－10，则(30－x)2＋(x－20)2的值为 120 ；
(3)若x满足(2 025－x)2＋(x－2 023)2＝2 024，求(2 025－x)(x－2 023)的值.
解：设2 025－x＝m，x－2 023＝n，
则m2＋n2＝2 024，m＋n＝2.
因为(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，
所以4＝2 024＋2mn，
所以mn＝－1 010，
即(2 025－x)(x－2 023)＝－1 010.
小专题(二) 平行线中的拐点问题
类型一 含一个拐点的问题
1.如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点.若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是(C)
A.110° B.115°
C.120° D.125°
第1题图
2.如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝20°，则∠DEB的度数为(B)
A.80° B.90°
C.100° D.110°
第2题图
3.如图，某地下管道流经B，C，D三点拐弯后与原来方向相同.若∠ABC＝120°，∠BCD＝85°，则∠CDE的度数是(D)
A.45° B.40°
C.35° D.25°
第3题图
4.将一副三角尺按如图所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是(A)
A.15° B.30°
C.45° D.60°
第4题图
5.某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行走路线与开始的路线互相平行.已知第一次转过的角度和第三次转过的角度如图所示，则第二次拐弯角(∠1)的度数是 90° .
类型二 含多个拐点的问题
6.如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4等于(D)
A.∠1＋∠2－∠3
B.∠1＋∠3－∠2
C.180°＋∠3－∠1－∠2
D.∠2＋∠3－∠1－180°
7.如图，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C＋∠D的度数为(C)
A.180° B.200°
C.240° D.无法确定
第7题图
8.如图，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠F＋∠C的度数为 540° .
第8题图
9.(1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G ＝ ∠B＋∠F＋∠D；(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)如图2，若AB∥CD，则能得到什么结论？请直接写出结论.
图1 图2
解：∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D＝∠E1＋∠E2＋…＋∠En.
小专题(三) 相交线与平行线中的思想方法
类型一 方程思想
1.如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF的度数为 120° .
2.如图，已知FC∥AB∥DE，∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠1，∠D，∠B的度数.
解：因为∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，
所以设∠1＝2x°，
则∠D＝3x°，∠B＝4x°.
因为FC∥AB∥DE，
所以∠FCB＋∠B＝180°，∠DCG＋∠D＝180°，
所以∠FCB＝180°－∠B＝180°－4x°，∠DCG＝180°－∠D＝180°－3x°.
因为∠FCB＋∠1＋∠DCG＝180°，
所以(180－4x)＋2x＋(180－3x)＝180°，
解得x＝36，
所以∠1＝2x°＝72°，∠D＝3x°＝108°，∠B＝4x°＝144°.
类型二 分类讨论思想
3.若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少24°，则∠A的度数是 12°或129° .
4.已知∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边.若∠1＝35°，则∠2的度数为 35°或145° .
5.如图，将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°.按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE(不超过一周).当CE∥AB时，∠BCD的度数为 150°或30° .
6.如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G.若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，求∠PGF的度数.
解：如图，分两种情况讨论：
(1)当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°.
因为∠MFD＝∠BEF＝58°，
所以CD∥AB，
所以∠GEB＝∠FGE.
因为EG平分∠BEF，
所以∠GEB＝∠GEF＝∠BEF＝29°，
所以∠FGE＝∠GEB＝29°，
所以∠PGF＝∠PGE－∠FGE＝90°－29°＝61°；
(2)当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°.
同理可得∠P′GF＝∠P′GE＋∠FGE＝119°.
综上所述，∠PGF的度数为61°或119°.
类型三 从特殊到一般的思想
7.如图，已知AB∥CD，解决下列问题：
图1 图2
图3 图4
(1)如图1，∠1＋∠2＝ 180° ；
(2)如图2，∠1＋∠2＋∠3＝ 360° ；
(3)如图3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ 540° ；
(4)如图4，探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝ (n－1)·180° .
小专题(四) 三角形三边关系的应用
类型一 判断三条线段是否能组成三角形
1.以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是(B)
A.1 cm，3 cm，5 cm B.2 cm，2 cm，3 cm
C.2 cm，3 cm，5 cm D.2 cm，5 cm，1 cm
2.现有四条线段，长度依次是2，3，4，5，从中任选三条能组成 3 个三角形.
类型二 利用三边关系求字母的值或取值范围
3.已知三角形的两边长为4和10，第三边长为a.
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值为多少？
解：(1)因为三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，
所以10－4＜a＜10＋4，
即6＜a＜14.
(2)因为a为整数，
所以当a＝13时，组成的三角形的周长最大，
最大值为4＋10＋13＝27.
4.已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长.
解：因为(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以b－2＝0，c－3＝0，
所以b＝2，c＝3.
因为a为方程|x－4|＝2的解，
所以a＝6或a＝2.
当a＝6时，2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，2＋2>3，符合三角形的三边关系.
因为a＝2，b＝2，c＝3，
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
类型三 利用三边关系化简求值
5.已知三角形的三边长分别为1，a－1，3，则化简|a－3|＋|a－5|的结果为 2 .
6.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|－a－b＋c|＋2|a＋c－b|－|b－a－c|.
解：因为a，b，c是△ABC的三边长，
所以a＋b＞c，a＋c＞b，
所以－a－b＋c＜0，a＋c－b＞0，b－a－c＜0，
所以|－a－b＋c|＋2|a＋c－b|－|b－a－c|
＝a＋b－c＋2(a－b＋c)＋b－a－c
＝a＋b－c＋2a－2b＋2c＋b－a－c
＝2a.
类型四 利用三边关系证明边的不等关系
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.试说明：AB＋BC＋CD＋AD＞AC＋BD.
解：因为AB＋BC＞AC，CD＋AD＞AC，BC＋CD＞BD，AB＋AD＞BD，
所以2AB＋2BC＋2CD＋2AD＞2AC＋2BD，
所以AB＋BC＋CD＋AD＞AC＋BD.
8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线.试说明：AD＋BD＞(AB＋AC).
解：因为BD＋AD＞AB，
CD＋AD＞AC，
所以BD＋AD＋CD＋AD＞AB＋AC.
因为AD是边BC上的中线，
所以BD＝CD，
所以AD＋BD＞(AB＋AC).
小专题(五) 与三角形内角和有关的模型
类型一 “8”字型
1.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
解：连接BC.
因为∠D＋∠E＋∠DFE＝∠FBC＋∠FCB＋∠BFC＝180°，∠DFE＝∠BFC，
所以∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB，
所以∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠FBC＋∠FCB＝∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
2.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
解：如图，因为∠A＋∠B＋∠4＝180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＝∠4，
所以∠A＋∠B＝∠1＋∠2.
同理可得∠C＋∠D＝∠2＋∠3，∠E＋∠F＝∠1＋∠3，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2(∠1＋∠2＋∠3)＝360°.
类型二 “燕尾”型
3.如图，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠ACD＝30°，求∠BDC的度数.
解：连接BC.
因为∠A＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°，
即∠ABD＋∠DBC＋∠ACD＋∠DCB＝130°，
所以∠DBC＋∠DCB＝130°－(∠ABD＋∠ACD)＝60°，
所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝120°.
4.如图，已知∠BAD和∠BCD的平分线相交于点M，AM交BC于点O，CM交AD于点P.试说明：∠M＝(∠B＋∠D).
解：因为∠B＋∠BAM＋∠AOB＝∠M＋∠BCM＋∠COM，∠AOB＝∠COM，
所以∠B＋∠BAM＝∠M＋
∠BCM，
所以∠BAM－∠BCM＝∠M－∠B.
同理可得∠MAD－∠MCD＝∠D－∠M.
因为AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，
所以∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，
所以∠M－∠B＝∠D－∠M，
所以∠M＝(∠B＋∠D).
5.如图，∠ABD，∠ACD的平分线相交于点P，∠A＝50°，∠D＝10°，求∠P的度数.
解：延长PC，交BD于点E，设AC，PB相交于点F.
因为∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠CFP＝180°，∠AFB＝∠CFP，
所以∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF.
因为∠P＋∠PBE＋∠BEP＝180°，∠BEP＋∠PED＝180°，
所以∠P＋∠PBE＝∠PED.
同理可得∠PED＝∠PCD－∠D，
所以∠P＋∠PBE＝∠PCD－∠D，
所以∠P＋∠PCF＋∠P＋∠PBE＝∠A－∠D＋∠ABF＋∠PCD.
因为BP，CP分别是∠ABD和∠ACD的平分线，
所以∠ABF＝∠PBE，∠PCF＝∠PCD，
所以2∠P＝∠A－∠D＝50°－10°＝40°，
所以∠P＝20°.
小专题(六) 与三角形角平分线有关的求角度模型
模型一 求两内角平分线的夹角
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，∠A＝40°.
(1)∠BOC的度数为 110° ；
(2)若∠A＝α，猜想∠BOC与α的数量关系，并说明理由.
解：∠BOC＝90°＋.理由如下：
因为∠A＝α，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.
因为BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
所以∠OBC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－α)＝90°－.
在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°＋.
模型二 求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角
2.如图，在△ABC中，内角∠ABC和外角∠ACD的平分线BA1，CA1相交于点A1.
(1)试说明：∠A1＝∠A；
解：因为CA1平分∠ACD，
所以∠A1CD＝∠ACD.
因为BA1平分∠ABC，
所以∠A1BC＝∠ABC.
因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，所以∠A＋∠ABC＝∠ACD.
同理可得∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD，
所以∠A1＝∠A1CD－∠A1BC＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A.
(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……作∠A2 024 BC和∠A2 024CD的平分线交于点A2 025，得∠A2 025.若∠A＝α，则∠A2 025的度数为 .(用含α的式子表示)
模型三 求两外角平分线的夹角
3.如图，BF，CF分别平分△ABC的外角∠CBP，∠BCQ.
(1)若∠A＝40°，则∠F的度数为 70° ；
(2)试探究∠F和∠A之间的数量关系，并说明理由.
解：∠F＝90°－∠A.
理由如下：
因为BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
所以∠FBC＝∠CBP，∠FCB＝∠BCQ，
所以∠F＝180°－∠FBC－∠FCB＝180°－(∠CBP＋∠BCQ)＝180°－(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)＝(∠ABC＋∠ACB).
因为∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
所以∠F＝(180°－∠A)＝90°－∠A.
小专题(七) 三角形中的分类讨论
类型一 三角形边长相关的分类讨论
1.已知等腰三角形的周长等于20，其中一边长为4，那么这个等腰三角形的三边长分别为 4，8，8 .
2.已知等腰三角形的三条边长分别为n＋6，6，n＋2，求该等腰三角形的周长.
解：分两种情况讨论：
(1)当6＝n＋2时，解得n＝4，
所以此时三角形的三边长为10，6，6，
所以等腰三角形的周长为10＋6＋6＝22；
(2)当n＋6＝6时，解得n＝0，
所以此时三角形的三边长为6，6，2，
所以等腰三角形的周长为2＋6＋6＝14.
综上所述，该等腰三角形的周长为22或14.
3.在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12 cm与15 cm两部分，求△ABC的各边长.
解：如图，因为BD为△ABC的中线，所以AD＝CD.
设AD＝CD＝x cm，则AB＝AC＝2x cm.
分两种情况讨论：
(1)当AB＋AD＝12 cm时，
即2x＋x＝12，解得x＝4.
此时BC＋x＝15，解得BC＝11 cm.
此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝8 cm，BC＝11 cm，能构成三角形；
(2)当AB＋AD＝15 cm时，
即2x＋x＝15，解得x＝5.
此时BC＋x＝12，解得BC＝7 cm.
此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝10 cm，
BC＝7 cm，能构成三角形.
综上所述，△ABC的各边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
类型二 三角形高的位置不确定时，需分类讨论
4.在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)如图1，当∠C为锐角时，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝80°.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝40°，
所以∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝20°；
(2)如图2，当∠C为钝角时，
∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝40°.
因为AE平分∠BAC，所以∠CAE＝∠BAC＝20°，
所以∠EAD＝∠CAD＋∠EAC＝40°.
综上所述，∠EAD的度数为20°或40°.
图1 图2
5.在非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)如图1，当△ABC是锐角三角形时，
因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
所以∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝45°，
所以∠BHE＝90°－∠ABD＝45°，
所以∠BHC＝180°－∠BHE＝135°；
(2)如图2，当△ABC是钝角三角形时，
因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠A＋∠ACE＝90°，∠BHC＋∠HCD＝90°.
因为∠ACE＝∠HCD，
所以∠BHC＝∠A＝45°.
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.
图1 图2
小专题(八) 全等三角形的基本模型
类型一 “手拉手”模型
1.将两块含45°角、大小不同的直角三角尺△COD和△AOB按如图1所示摆放，连接AC，BD.
(1)试说明：AC＝BD；
(2)将图1中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度到△C1OD1的位置(如图2)，连接AC1，BD1，直线AC1与BD1存在着什么样的位置关系？请说明理由.
图1 图2
解：(1)在△AOC和△BOD中，因为CO＝DO，∠AOC＝∠BOD，AO＝BO，
所以△AOC≌△BOD(SAS)，所以AC＝BD.
(2)AC1⊥BD1.理由如下：
延长BD1，交AC1于点M.
因为∠AOB＝∠C1OD1＝90°，
所以∠AOC1＝∠BOD1.
因为AO＝BO，C1O＝D1O，
所以△AOC1≌△BOD1(SAS)，
所以∠C1AO ＝∠D1BO.
因为∠OAB＋∠ABD1＋∠D1BO＝90°，
所以∠OAB＋∠ABD1＋∠C1AO＝90°，
所以∠AMB＝90°，所以AC1⊥BD1.
类型二 三垂直模型
2.将含有45°角的直角三角尺ABC(∠ACB＝90°)和直尺按如图所示的方式摆放在桌子上，然后分别过A，B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE(忽略直尺的宽度).
(1)请写出图中的一对全等三角形并说明；
(2)你能发现并说明线段AD，BE，DE之间的关系吗？
解：(1)△ADC≌△CEB.
理由如下：
因为AD⊥CE，BE⊥CE，
所以∠ADC＝∠CEB＝90°＝∠ACB，
所以∠ACD＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，
所以∠CAD＝∠BCE.
因为AC＝CB，
所以△ADC≌△CEB(AAS).
(2)AD＝BE＋DE.
理由如下：由(1)知△ADC≌△CEB，
所以AD＝CE，CD＝BE.
因为CE＝CD＋DE，
所以AD＝BE＋DE.
3.已知∠ABC＝90°，D是线段AB所在直线上的一点，AD＝BC.
(1)如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC，DF，CF，求∠FDC的度数；
(2)如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，求∠FDC的度数.
图1 图2
解：(1)因为AF⊥AB，
所以∠A＝90°＝∠B.
因为AF＝BD，
AD＝BC，
所以△FAD≌△DBC(SAS)，
所以∠ADF＝∠BCD.
因为∠B＝90°，所以∠BDC＋∠BCD＝90°，
所以∠BDC＋∠ADF＝90°，
所以∠FDC＝180°－(∠BDC＋∠ADF)＝90°.
(2)因为AF⊥AB，所以∠A＝90°.
因为∠ABC＝90°，
所以∠DBC＝180°－∠ABC＝90°＝∠A.
因为AF＝BD，AD＝BC，
所以△FAD≌△DBC(SAS)，
所以∠ADF＝∠BCD.
因为∠DBC＝90°，所以∠BDC＋∠BCD＝90°，
所以∠ADF＋∠BDC＝90°，即∠FDC＝90°.
类型三 一线三等角模型
4.如图，D，A，E三点在同一条直线上，且∠D＝∠E＝∠BAC，AB＝AC，试探究BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由.
解：DE＝CE＋BD.理由如下：
因为∠D＋∠ABD＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠BAE＝180°，
所以∠D＋∠ABD＝∠BAE.
因为∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，且∠D＝∠BAC，
所以∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
因为∠D＝∠E，∠ABD＝∠CAE，AB＝CA，
所以△ABD≌△CAE(AAS)，
所以AD＝CE，BD＝AE.
因为DE＝AD＋AE，
所以DE＝CE＋BD.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 小 (填“大”或“小”)，但∠BDA与∠EDC的度数和始终是 140° ；
(2)当DC的长是多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由.
解：当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由如下：
由(1)知∠BDA＋∠EDC＝140°.
因为∠BDA＋∠DAB＝180°－∠B＝180°－40°＝140°，
所以∠EDC＝∠DAB.
当DC＝2时，因为AB＝2，所以AB＝DC.
在△ABD和△DCE中，
因为∠B＝∠C，AB＝DC，∠DAB＝∠EDC，
所以△ABD≌△DCE(ASA).
故当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
6.已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，点E，F在直线CD上，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.
(1)如图1，若直线CD经过∠BCA的内部，且点E，F在射线CD上，给出条件“∠BCA＝∠α＝90°”，猜想BE与CF之间的数量关系是 BE＝CF ；
(2)如图2，将(1)中“∠BCA＝∠α＝90°”改为“0°<∠BCA<180°，∠α＋∠BCA＝180°”，其余条件不变，请你探究EF，BE，AF三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，改变直线CD的位置，使CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，则EF，BE，AF三条线段之间的数量关系是 EF＝BE＋AF .
图1 图2 图3
解：EF＋AF＝BE.
理由如下：
因为∠α＋∠BCA＝180°，∠CFA＝∠α，
所以∠CFA＋∠BCA＝180°，
所以∠CFA＋∠BCE＋∠ACF＝180°.
因为∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，
所以∠BCE＝∠CAF.
因为∠BEC＝∠CFA，BC＝CA，
所以△BCE≌△CAF(AAS)，
所以BE＝CF，CE＝AF，
所以EF＋AF＝EF＋CE＝CF，
所以EF＋AF＝BE.
小专题(九) 构造全等三角形的技巧
类型一 利用“倍长中线法”构造全等三角形
1.如图，在△ABC中，D为BC的中点.
(1)试说明：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围.
解：(1)延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
因为D为BC的中点，
所以BD＝CD.
在△ADC和△EDB中，
因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，
所以△ADC≌△EDB(SAS)，所以AC＝EB.
在△ABE中，AB＋EB>AE，
所以AB＋AC>2AD.
(2)由(1)知AC＝EB.
因为AC＝3，所以EB＝3.
在△ABE中，AB－EB
所以5－3<2AD<5＋3，所以12.如图，已知CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.试说明：AC＝2AE.
解：延长AE至点F，使AE＝EF，连接BF.
因为AE是△ABD的中线，所以BE＝DE.
在△ADE和△FBE中，
因为AE＝FE，∠AED＝∠FEB，DE＝BE，
所以△ADE≌△FBE(SAS)，
所以DA＝BF，∠ADE＝∠FBE.
因为∠ABF＝∠ABD＋∠FBE，∠BAD＝∠BDA，
所以∠ABF＝∠ABD＋∠BDA＝∠ABD＋∠BAD.
因为∠ABD＋∠BAD＋∠ADB＝180°，
∠ADB＋∠ADC＝180°，
所以∠ADC＝∠ABD＋∠BAD，
所以∠ABF＝∠ADC.
在△ABF和△CDA中，
因为AB＝CD，∠ABF＝∠CDA，BF＝DA，
所以△ABF≌△CDA(SAS)，所以AF＝AC.
因为AF＝2AE，所以AC＝2AE.
类型二 利用“截长补短法”构造全等三角形
3.在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＋∠ADC＝180°，点E，F分别在直线BC，CD上，且∠EAF＝∠BAD.
(1)如图1，当点E，F分别在边BC，CD上时，试说明：EF＝BE＋FD；
(2)如图2，当点E，F分别在边BC，CD的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF，BE，FD之间的数量关系，并说明理由.
图1 图2
解：(1)延长EB至点G，使BG＝DF，连接AG.
因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABG＝180°，
所以∠ADC＝∠ABG.
因为AB＝AD，BG＝DF，
所以△ABG≌△ADF(SAS)，
所以AG＝AF，∠BAG＝∠DAF.
因为∠EAF＝∠BAD，
所以∠BAE＋∠DAF＝∠BAE＋∠BAG＝∠BAD，所以∠EAG＝∠EAF.
因为AE＝AE，所以△EAG≌△EAF(SAS)，
所以GE＝EF.
因为GE＝BE＋BG，所以EF＝BE＋FD.
(2)(1)中的结论不成立，EF＝BE－FD.理由如下：
在BE上截取BM＝DF，连接AM.
同(1)可得△ABM≌△ADF(SAS)，
所以AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
所以∠BAM＋∠MAD＝∠DAF＋∠MAD，
所以∠BAD＝∠MAF.
因为∠EAF＝∠BAD，所以∠EAF＝∠MAF，
所以∠EAF＝∠EAM.
因为AE＝AE，所以△AME≌△AFE(SAS)，
所以EM＝EF，
所以EM＝BE－BM＝BE－DF，
所以EF＝BE－FD.
小专题(十) 等腰三角形中辅助线的作法
类型一 已知等腰三角形作中线或高
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，求BC的长.
解：过点A作AD⊥BC于点D，
所以∠ADB＝90°.
因为AE⊥BE，
所以∠E＝90°，
所以∠ADB＝∠E.
因为AB＝AC，
所以BD＝CD＝BC.
因为∠ABE＝∠ABC，AB＝AB，
所以△ABD≌△ABE，
所以BD＝BE＝2，
所以BC＝2BD＝4.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF，试说明：DE＝DF.
解：连接AD.
因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.
因为EF∥BC，
所以AD⊥EF.
因为AE＝AF，
所以AD垂直平分EF，
所以DE＝DF.
类型二 先构造三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质解题
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，试说明：DG⊥EF.
解：连接 ED，DF.
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为BE＝CD，BD＝CF，
所以△BED≌△CDF(SAS)，
所以DE＝FD.
因为G是EF的中点，
所以DG⊥EF.
类型三 逆用“三线合一”构造等腰三角形
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，CD⊥BE，交BE的延长线于点D.试说明：BE＝2CD.
解：延长BA，CD相交于点Q.
因为∠BAC＝90°，
所以∠CAQ＝90°＝∠BAE，
所以∠ACQ＋∠Q＝90°.
因为CD⊥BE，
所以∠BDQ＝∠BDC＝90°，
所以∠ABE＋∠Q＝90°，
所以∠ACQ＝∠ABE.
在△ABE和△ACQ中，因为∠ABE＝∠ACQ，AB＝AC，∠BAE＝∠CAQ，
所以△ABE≌△ACQ(ASA)，所以BE＝CQ.
因为BE是∠ABC的平分线，
所以∠QBD＝∠CBD.
在△QDB和△CDB中，因为∠QBD＝∠CBD，BD＝BD，∠BDQ＝∠BDC，
所以△QDB≌△CDB(ASA)，所以QD＝CD，
所以BE＝CQ＝2CD.
小专题(十一) 等腰三角形中的分类讨论
类型一 腰和底不确定时需分类讨论
1.已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为(C)
A.3 B.10
C.6.5 D.3或6.5
2.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 ABC是“倍长三角形”，底边 BC的长为5，则腰AB的长为 10 .
类型二 当顶角和底角不确定时需分类讨论
3.已知等腰三角形的一个角为30°，则其底角的度数为(D)
A.75° B.65°或75°
C.30° D.30°或75°
4.如果一个等腰三角形的一个角的邻补角为124°，那么该等腰三角形顶角的度数为 56°或68° .
5.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，求∠C的度数.
解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°.
分两种情况讨论：
(1)当∠A是顶角时，∠C＝∠B＝x°，
所以∠A＋2∠B＝180°，
即4x＝180，解得x＝45，
此时∠C＝45°；
(2)当∠A是底角时，∠C＝∠A＝2x°，
所以2∠A＋∠B＝180°，
即5x＝180，解得x＝36，
此时∠C＝72°.
综上所述，∠C的度数为45°或72°.
类型三 当三角形的形状不确定时需分类讨论
6.若某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数为 65°或115° .
7.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)当MN与AC相交，交点为D时，如图1，∠ADM＝40°，则∠A＝90°－∠ADM＝50°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝(180°－∠A)＝65°；
(2)当MN与CA的延长线相交，交点为D时，如图2，∠ADN＝40°，则∠DAB＝90°－∠ADN＝50°，
所以∠BAC＝180°－∠DAB＝130°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝(180°－∠BAC)＝25°.
综上所述，∠B的度数为65°或25°.
图1 图2
类型四 已知等腰三角形的一边确定另一个顶点时需分类讨论
8.
在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 8 个.
小专题(十二) 角平分线与线段垂直平分线的综合应用
1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F，试说明：∠BAF＝∠ACF.
解：因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠DAC.
因为FE是AD的垂直平分线，
所以FA＝FD，
所以∠FAD＝∠FDA.
因为∠ACF＋∠ACD＝180°，∠FDA＋∠DAC＋∠ACD＝180°，
所以∠ACF＝∠FDA＋∠DAC.
因为∠BAF＝∠FAD＋∠BAD，
所以∠BAF＝∠ACF.
2.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 垂直平分线 ，射线AE是∠DAC的 平分线 ；
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数.
解：因为DF是线段AB的垂直平分线，
所以DA＝DB，
所以∠BAD＝∠B＝40°.
因为∠B＝40°，∠C＝50°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝90°，
所以∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝50°.
因为AE平分∠CAD，
所以∠DAE＝∠CAD＝25°.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.试说明：AD＝BD.
解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠DEA＝90°＝∠C.
因为AD平分∠BAC，
所以∠CAD＝∠EAD.
在△DCA和△DEA中，
因为∠CAD＝∠EAD，∠C＝∠DEA，AD＝AD，
所以△DCA≌△DEA(AAS)，所以AC＝AE.
因为AB＝2AC＝AE＋BE，
所以AE＝BE，即E为AB的中点.
又因为DE⊥AB，
所以DE垂直平分AB，所以AD＝BD.
4.如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是边BC的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.
(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，直接写出m，n满足的关系式 m＋3n＝120 .
解：因为D是边BC的中点，
DE⊥BC，
所以PB＝PC，
所以∠PBC＝∠PCB.
因为BP平分∠ABC，
所以∠PBC＝∠ABP，
所以∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.
因为∠A＝60°，∠ACP＝24°，
所以∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°＝96°，
所以3∠ABP＝96°，所以∠ABP＝32°.
小专题(十三) 轴对称的性质及其应用
类型一 利用轴对称的性质求角度和线段长
1.如图，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为 4.5 cm.
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠BAC>∠B，∠C＝50°，将∠B折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB，BC于点D，P.当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为 40°或25°或32.5° .
第2题图
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，把△BCD沿BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O.若∠DBC＝15°，求∠BOD的度数.
解：因为AD∥BC，
所以∠BDO＝∠DBC＝15°.
由折叠的性质，得∠DBO＝∠DBC＝15°，
所以∠BOD＝180°－∠DBO－∠BDO＝180°－2×15°＝150°.
类型二 利用轴对称的性质解决最短路径问题
4.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在边BC，CD上分别找点M，N.当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为 100° .
5.如图，∠ABC内有一点P，在边AB，BC上各取点P1，P2，求作△PP1P2，使△PP1P2的周长最小.
解：如图所示，分别作点P关于AB，BC的对称点N，M，连接MN，分别交AB，BC于点P1，P2，连接PP1，PP2，则△PP1P2即为所求三角形.
6.如图，已知牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
解：作点P关于河流的对称点C，关于草地的对称点D，连接CD，交河流和草地于A，B两点，连接PA，PB，则最短路线为P－AB－P.
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2025春北师大版七下数学期末小专题特训
目录
小专题(一) 乘法公式的灵活运用
小专题(二) 平行线中的拐点问题
小专题(三) 相交线与平行线中的思想方法
小专题(四) 三角形三边关系的应用
小专题(五) 与三角形内角和有关的模型
小专题(六) 与三角形角平分线有关的求角度模型
小专题(七) 三角形中的分类讨论
小专题(八) 全等三角形的基本模型
小专题(九) 构造全等三角形的技巧
小专题(十) 等腰三角形中辅助线的作法
小专题(十一) 等腰三角形中的分类讨论
小专题(十二) 角平分线与线段垂直平分线的综合应用
小专题(十三) 轴对称的性质及其应用
小专题(一) 乘法公式的灵活运用
类型一 连续运用
1.计算：
(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)(a8＋b8)；
解：原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)(a8＋b8)
＝(a4－b4)(a4＋b4)(a8＋b8)
＝(a8－b8)(a8＋b8)
＝a16－b16.
(2)15(1＋42)(1＋44)(1＋48)(1＋416).
解：原式＝(42－1)(42＋1)(44＋1)(48＋1)(416＋1)
＝(44－1)(44＋1)(48＋1)(416＋1)
＝(48－1)(48＋1)(416＋1)
＝(416－1)(416＋1)
＝432－1.
类型二 整体运用
2.若m，n满足(m2＋2n2＋5)(m2＋2n2－5)＝24，则m2＋2n2的值为(A)
A.7 B.3.5
C.3.5或－7 D.7或－7
3.如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形.设AB＝10，两正方形的面积和S1＋S2＝52，则图中阴影部分的面积为 12 .
4.计算：
(1)(a－b－2)(a－b＋2)；
解：原式＝(a－b)2－4
＝a2－2ab＋b2－4.
(2)(5x＋2y－3)(5x－2y＋3).
解：原式＝(5x)2－(2y－3)2
＝25x2－4y2＋12y－9.
5.已知x＋＝3，求x4＋的值.
解：因为x＋＝3，所以(x＋)2＝32，
所以x2＋＋2＝9，所以x2＋＝7，
所以x4＋＝(x2＋)2－2＝72－2＝47.
6.若x满足(9－x)(x－4)＝2，求(9－x)2＋(x－4)2的值.
小明在解决该问题时，采用了以下解法：
解：设9－x＝a，x－4＝b，
则ab＝(9－x)(x－4)＝ 2 ，
a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝ 5 ，
所以(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝ 21 .
(1)请补全小明的解法；
(2)已知(30－x)(x－20)＝－10，则(30－x)2＋(x－20)2的值为 120 ；
(3)若x满足(2 025－x)2＋(x－2 023)2＝2 024，求(2 025－x)(x－2 023)的值.
解：设2 025－x＝m，x－2 023＝n，
则m2＋n2＝2 024，m＋n＝2.
因为(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2，
所以4＝2 024＋2mn，
所以mn＝－1 010，
即(2 025－x)(x－2 023)＝－1 010.
小专题(二) 平行线中的拐点问题
类型一 含一个拐点的问题
1.如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点.若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是(C)
A.110° B.115°
C.120° D.125°
第1题图
2.如图，AB∥CD，∠1＝110°，∠2＝20°，则∠DEB的度数为(B)
A.80° B.90°
C.100° D.110°
第2题图
3.如图，某地下管道流经B，C，D三点拐弯后与原来方向相同.若∠ABC＝120°，∠BCD＝85°，则∠CDE的度数是(D)
A.45° B.40°
C.35° D.25°
第3题图
4.将一副三角尺按如图所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是(A)
A.15° B.30°
C.45° D.60°
第4题图
5.某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后行走路线与开始的路线互相平行.已知第一次转过的角度和第三次转过的角度如图所示，则第二次拐弯角(∠1)的度数是 90° .
类型二 含多个拐点的问题
6.如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4等于(D)
A.∠1＋∠2－∠3
B.∠1＋∠3－∠2
C.180°＋∠3－∠1－∠2
D.∠2＋∠3－∠1－180°
7.如图，AB∥EF，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠C＋∠D的度数为(C)
A.180° B.200°
C.240° D.无法确定
第7题图
8.如图，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠F＋∠C的度数为 540° .
第8题图
9.(1)如图1，AB∥CD，则∠E＋∠G ＝ ∠B＋∠F＋∠D；(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)如图2，若AB∥CD，则能得到什么结论？请直接写出结论.
图1 图2
解：∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D＝∠E1＋∠E2＋…＋∠En.
小专题(三) 相交线与平行线中的思想方法
类型一 方程思想
1.如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠AOD∶∠BOE＝4∶1，则∠AOF的度数为 120° .
2.如图，已知FC∥AB∥DE，∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠1，∠D，∠B的度数.
解：因为∠1∶∠D∶∠B＝2∶3∶4，
所以设∠1＝2x°，
则∠D＝3x°，∠B＝4x°.
因为FC∥AB∥DE，
所以∠FCB＋∠B＝180°，∠DCG＋∠D＝180°，
所以∠FCB＝180°－∠B＝180°－4x°，∠DCG＝180°－∠D＝180°－3x°.
因为∠FCB＋∠1＋∠DCG＝180°，
所以(180－4x)＋2x＋(180－3x)＝180°，
解得x＝36，
所以∠1＝2x°＝72°，∠D＝3x°＝108°，∠B＝4x°＝144°.
类型二 分类讨论思想
3.若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少24°，则∠A的度数是 12°或129° .
4.已知∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边.若∠1＝35°，则∠2的度数为 35°或145° .
5.如图，将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°.按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE(不超过一周).当CE∥AB时，∠BCD的度数为 150°或30° .
6.如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G.若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，求∠PGF的度数.
解：如图，分两种情况讨论：
(1)当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°.
因为∠MFD＝∠BEF＝58°，
所以CD∥AB，
所以∠GEB＝∠FGE.
因为EG平分∠BEF，
所以∠GEB＝∠GEF＝∠BEF＝29°，
所以∠FGE＝∠GEB＝29°，
所以∠PGF＝∠PGE－∠FGE＝90°－29°＝61°；
(2)当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°.
同理可得∠P′GF＝∠P′GE＋∠FGE＝119°.
综上所述，∠PGF的度数为61°或119°.
类型三 从特殊到一般的思想
7.如图，已知AB∥CD，解决下列问题：
图1 图2
图3 图4
(1)如图1，∠1＋∠2＝ 180° ；
(2)如图2，∠1＋∠2＋∠3＝ 360° ；
(3)如图3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ 540° ；
(4)如图4，探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝ (n－1)·180° .
小专题(四) 三角形三边关系的应用
类型一 判断三条线段是否能组成三角形
1.以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是(B)
A.1 cm，3 cm，5 cm B.2 cm，2 cm，3 cm
C.2 cm，3 cm，5 cm D.2 cm，5 cm，1 cm
2.现有四条线段，长度依次是2，3，4，5，从中任选三条能组成 3 个三角形.
类型二 利用三边关系求字母的值或取值范围
3.已知三角形的两边长为4和10，第三边长为a.
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值为多少？
解：(1)因为三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，
所以10－4＜a＜10＋4，
即6＜a＜14.
(2)因为a为整数，
所以当a＝13时，组成的三角形的周长最大，
最大值为4＋10＋13＝27.
4.已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长.
解：因为(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以b－2＝0，c－3＝0，
所以b＝2，c＝3.
因为a为方程|x－4|＝2的解，
所以a＝6或a＝2.
当a＝6时，2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，2＋2>3，符合三角形的三边关系.
因为a＝2，b＝2，c＝3，
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
类型三 利用三边关系化简求值
5.已知三角形的三边长分别为1，a－1，3，则化简|a－3|＋|a－5|的结果为 2 .
6.已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|－a－b＋c|＋2|a＋c－b|－|b－a－c|.
解：因为a，b，c是△ABC的三边长，
所以a＋b＞c，a＋c＞b，
所以－a－b＋c＜0，a＋c－b＞0，b－a－c＜0，
所以|－a－b＋c|＋2|a＋c－b|－|b－a－c|
＝a＋b－c＋2(a－b＋c)＋b－a－c
＝a＋b－c＋2a－2b＋2c＋b－a－c
＝2a.
类型四 利用三边关系证明边的不等关系
7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.试说明：AB＋BC＋CD＋AD＞AC＋BD.
解：因为AB＋BC＞AC，CD＋AD＞AC，BC＋CD＞BD，AB＋AD＞BD，
所以2AB＋2BC＋2CD＋2AD＞2AC＋2BD，
所以AB＋BC＋CD＋AD＞AC＋BD.
8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线.试说明：AD＋BD＞(AB＋AC).
解：因为BD＋AD＞AB，
CD＋AD＞AC，
所以BD＋AD＋CD＋AD＞AB＋AC.
因为AD是边BC上的中线，
所以BD＝CD，
所以AD＋BD＞(AB＋AC).
小专题(五) 与三角形内角和有关的模型
类型一 “8”字型
1.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.
解：连接BC.
因为∠D＋∠E＋∠DFE＝∠FBC＋∠FCB＋∠BFC＝180°，∠DFE＝∠BFC，
所以∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB，
所以∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠FBC＋∠FCB＝∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°.
2.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数.
解：如图，因为∠A＋∠B＋∠4＝180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＝∠4，
所以∠A＋∠B＝∠1＋∠2.
同理可得∠C＋∠D＝∠2＋∠3，∠E＋∠F＝∠1＋∠3，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2(∠1＋∠2＋∠3)＝360°.
类型二 “燕尾”型
3.如图，∠A＝50°，∠ABD＝40°，∠ACD＝30°，求∠BDC的度数.
解：连接BC.
因为∠A＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°，
即∠ABD＋∠DBC＋∠ACD＋∠DCB＝130°，
所以∠DBC＋∠DCB＝130°－(∠ABD＋∠ACD)＝60°，
所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝120°.
4.如图，已知∠BAD和∠BCD的平分线相交于点M，AM交BC于点O，CM交AD于点P.试说明：∠M＝(∠B＋∠D).
解：因为∠B＋∠BAM＋∠AOB＝∠M＋∠BCM＋∠COM，∠AOB＝∠COM，
所以∠B＋∠BAM＝∠M＋
∠BCM，
所以∠BAM－∠BCM＝∠M－∠B.
同理可得∠MAD－∠MCD＝∠D－∠M.
因为AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，
所以∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，
所以∠M－∠B＝∠D－∠M，
所以∠M＝(∠B＋∠D).
5.如图，∠ABD，∠ACD的平分线相交于点P，∠A＝50°，∠D＝10°，求∠P的度数.
解：延长PC，交BD于点E，设AC，PB相交于点F.
因为∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠CFP＝180°，∠AFB＝∠CFP，
所以∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF.
因为∠P＋∠PBE＋∠BEP＝180°，∠BEP＋∠PED＝180°，
所以∠P＋∠PBE＝∠PED.
同理可得∠PED＝∠PCD－∠D，
所以∠P＋∠PBE＝∠PCD－∠D，
所以∠P＋∠PCF＋∠P＋∠PBE＝∠A－∠D＋∠ABF＋∠PCD.
因为BP，CP分别是∠ABD和∠ACD的平分线，
所以∠ABF＝∠PBE，∠PCF＝∠PCD，
所以2∠P＝∠A－∠D＝50°－10°＝40°，
所以∠P＝20°.
小专题(六) 与三角形角平分线有关的求角度模型
模型一 求两内角平分线的夹角
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，∠A＝40°.
(1)∠BOC的度数为 110° ；
(2)若∠A＝α，猜想∠BOC与α的数量关系，并说明理由.
解：∠BOC＝90°＋.理由如下：
因为∠A＝α，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.
因为BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
所以∠OBC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－α)＝90°－.
在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝90°＋.
模型二 求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角
2.如图，在△ABC中，内角∠ABC和外角∠ACD的平分线BA1，CA1相交于点A1.
(1)试说明：∠A1＝∠A；
解：因为CA1平分∠ACD，
所以∠A1CD＝∠ACD.
因为BA1平分∠ABC，
所以∠A1BC＝∠ABC.
因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，所以∠A＋∠ABC＝∠ACD.
同理可得∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD，
所以∠A1＝∠A1CD－∠A1BC＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A.
(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，得∠A3……作∠A2 024 BC和∠A2 024CD的平分线交于点A2 025，得∠A2 025.若∠A＝α，则∠A2 025的度数为 .(用含α的式子表示)
模型三 求两外角平分线的夹角
3.如图，BF，CF分别平分△ABC的外角∠CBP，∠BCQ.
(1)若∠A＝40°，则∠F的度数为 70° ；
(2)试探究∠F和∠A之间的数量关系，并说明理由.
解：∠F＝90°－∠A.
理由如下：
因为BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
所以∠FBC＝∠CBP，∠FCB＝∠BCQ，
所以∠F＝180°－∠FBC－∠FCB＝180°－(∠CBP＋∠BCQ)＝180°－(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)＝(∠ABC＋∠ACB).
因为∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
所以∠F＝(180°－∠A)＝90°－∠A.
小专题(七) 三角形中的分类讨论
类型一 三角形边长相关的分类讨论
1.已知等腰三角形的周长等于20，其中一边长为4，那么这个等腰三角形的三边长分别为 4，8，8 .
2.已知等腰三角形的三条边长分别为n＋6，6，n＋2，求该等腰三角形的周长.
解：分两种情况讨论：
(1)当6＝n＋2时，解得n＝4，
所以此时三角形的三边长为10，6，6，
所以等腰三角形的周长为10＋6＋6＝22；
(2)当n＋6＝6时，解得n＝0，
所以此时三角形的三边长为6，6，2，
所以等腰三角形的周长为2＋6＋6＝14.
综上所述，该等腰三角形的周长为22或14.
3.在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12 cm与15 cm两部分，求△ABC的各边长.
解：如图，因为BD为△ABC的中线，所以AD＝CD.
设AD＝CD＝x cm，则AB＝AC＝2x cm.
分两种情况讨论：
(1)当AB＋AD＝12 cm时，
即2x＋x＝12，解得x＝4.
此时BC＋x＝15，解得BC＝11 cm.
此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝8 cm，BC＝11 cm，能构成三角形；
(2)当AB＋AD＝15 cm时，
即2x＋x＝15，解得x＝5.
此时BC＋x＝12，解得BC＝7 cm.
此时△ABC的三边长分别为AB＝AC＝10 cm，
BC＝7 cm，能构成三角形.
综上所述，△ABC的各边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.
类型二 三角形高的位置不确定时，需分类讨论
4.在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)如图1，当∠C为锐角时，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝80°.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝40°，
所以∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝20°；
(2)如图2，当∠C为钝角时，
∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝40°.
因为AE平分∠BAC，所以∠CAE＝∠BAC＝20°，
所以∠EAD＝∠CAD＋∠EAC＝40°.
5.在非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)如图1，当△ABC是锐角三角形时，
因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
所以∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝45°，
所以∠BHE＝90°－∠ABD＝45°，
所以∠BHC＝180°－∠BHE＝135°；
(2)如图2，当△ABC是钝角三角形时，
因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠A＋∠ACE＝90°，∠BHC＋∠HCD＝90°.
因为∠ACE＝∠HCD，
所以∠BHC＝∠A＝45°.
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.
小专题(八) 全等三角形的基本模型
类型一 “手拉手”模型
1.将两块含45°角、大小不同的直角三角尺△COD和△AOB按如图1所示摆放，连接AC，BD.
(1)试说明：AC＝BD；
(2)将图1中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度到△C1OD1的位置(如图2)，连接AC1，BD1，直线AC1与BD1存在着什么样的位置关系？请说明理由.
图1 图2
解：(1)在△AOC和△BOD中，因为CO＝DO，∠AOC＝∠BOD，AO＝BO，
所以△AOC≌△BOD(SAS)，所以AC＝BD.
(2)AC1⊥BD1.理由如下：
延长BD1，交AC1于点M.
因为∠AOB＝∠C1OD1＝90°，
所以∠AOC1＝∠BOD1.
因为AO＝BO，C1O＝D1O，
所以△AOC1≌△BOD1(SAS)，
所以∠C1AO ＝∠D1BO.
因为∠OAB＋∠ABD1＋∠D1BO＝90°，
所以∠OAB＋∠ABD1＋∠C1AO＝90°，
所以∠AMB＝90°，所以AC1⊥BD1.
类型二 三垂直模型
2.将含有45°角的直角三角尺ABC(∠ACB＝90°)和直尺按如图所示的方式摆放在桌子上，然后分别过A，B两个顶点向直尺作两条垂线段AD，BE(忽略直尺的宽度).
(1)请写出图中的一对全等三角形并说明；
(2)你能发现并说明线段AD，BE，DE之间的关系吗？
解：(1)△ADC≌△CEB.
理由如下：
因为AD⊥CE，BE⊥CE，
所以∠ADC＝∠CEB＝90°＝∠ACB，
所以∠ACD＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，
所以∠CAD＝∠BCE.
因为AC＝CB，
所以△ADC≌△CEB(AAS).
(2)AD＝BE＋DE.
理由如下：由(1)知△ADC≌△CEB，
所以AD＝CE，CD＝BE.
因为CE＝CD＋DE，
所以AD＝BE＋DE.
3.已知∠ABC＝90°，D是线段AB所在直线上的一点，AD＝BC.
(1)如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC，DF，CF，求∠FDC的度数；
(2)如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，求∠FDC的度数.
图1 图2
解：(1)因为AF⊥AB，
所以∠A＝90°＝∠B.
因为AF＝BD，
AD＝BC，
所以△FAD≌△DBC(SAS)，
所以∠ADF＝∠BCD.
因为∠B＝90°，所以∠BDC＋∠BCD＝90°，
所以∠BDC＋∠ADF＝90°，
所以∠FDC＝180°－(∠BDC＋∠ADF)＝90°.
(2)因为AF⊥AB，所以∠A＝90°.
因为∠ABC＝90°，
所以∠DBC＝180°－∠ABC＝90°＝∠A.
因为AF＝BD，AD＝BC，
所以△FAD≌△DBC(SAS)，
所以∠ADF＝∠BCD.
因为∠DBC＝90°，所以∠BDC＋∠BCD＝90°，
所以∠ADF＋∠BDC＝90°，即∠FDC＝90°.
类型三 一线三等角模型
4.如图，D，A，E三点在同一条直线上，且∠D＝∠E＝∠BAC，AB＝AC，试探究BD，CE，DE之间的数量关系，并说明理由.
解：DE＝CE＋BD.理由如下：
因为∠D＋∠ABD＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠BAE＝180°，
所以∠D＋∠ABD＝∠BAE.
因为∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，且∠D＝∠BAC，
所以∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
因为∠D＝∠E，∠ABD＝∠CAE，AB＝CA，
所以△ABD≌△CAE(AAS)，
所以AD＝CE，BD＝AE.
因为DE＝AD＋AE，
所以DE＝CE＋BD.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 小 (填“大”或“小”)，但∠BDA与∠EDC的度数和始终是 140° ；
(2)当DC的长是多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由.
解：当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由如下：
由(1)知∠BDA＋∠EDC＝140°.
因为∠BDA＋∠DAB＝180°－∠B＝180°－40°＝140°，
所以∠EDC＝∠DAB.
当DC＝2时，因为AB＝2，所以AB＝DC.
在△ABD和△DCE中，
因为∠B＝∠C，AB＝DC，∠DAB＝∠EDC，
所以△ABD≌△DCE(ASA).
故当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
6.已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，点E，F在直线CD上，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.
(1)如图1，若直线CD经过∠BCA的内部，且点E，F在射线CD上，给出条件“∠BCA＝∠α＝90°”，猜想BE与CF之间的数量关系是 BE＝CF ；
(2)如图2，将(1)中“∠BCA＝∠α＝90°”改为“0°<∠BCA<180°，∠α＋∠BCA＝180°”，其余条件不变，请你探究EF，BE，AF三条线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，改变直线CD的位置，使CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，则EF，BE，AF三条线段之间的数量关系是 EF＝BE＋AF .
图1 图2 图3
解：EF＋AF＝BE.
理由如下：
因为∠α＋∠BCA＝180°，∠CFA＝∠α，
所以∠CFA＋∠BCA＝180°，
所以∠CFA＋∠BCE＋∠ACF＝180°.
因为∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，
所以∠BCE＝∠CAF.
因为∠BEC＝∠CFA，BC＝CA，
所以△BCE≌△CAF(AAS)，
所以BE＝CF，CE＝AF，
所以EF＋AF＝EF＋CE＝CF，
所以EF＋AF＝BE.
小专题(九) 构造全等三角形的技巧
类型一 利用“倍长中线法”构造全等三角形
1.如图，在△ABC中，D为BC的中点.
(1)试说明：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围.
解：(1)延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
因为D为BC的中点，
所以BD＝CD.
在△ADC和△EDB中，
因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，
所以△ADC≌△EDB(SAS)，所以AC＝EB.
在△ABE中，AB＋EB>AE，
所以AB＋AC>2AD.
(2)由(1)知AC＝EB.
因为AC＝3，所以EB＝3.
在△ABE中，AB－EB所以5－3<2AD<5＋3，所以12.如图，已知CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.试说明：AC＝2AE.
解：延长AE至点F，使AE＝EF，连接BF.
因为AE是△ABD的中线，所以BE＝DE.
在△ADE和△FBE中，
因为AE＝FE，∠AED＝∠FEB，DE＝BE，
所以△ADE≌△FBE(SAS)，
所以DA＝BF，∠ADE＝∠FBE.
因为∠ABF＝∠ABD＋∠FBE，∠BAD＝∠BDA，
所以∠ABF＝∠ABD＋∠BDA＝∠ABD＋∠BAD.
因为∠ABD＋∠BAD＋∠ADB＝180°，
∠ADB＋∠ADC＝180°，
所以∠ADC＝∠ABD＋∠BAD，
所以∠ABF＝∠ADC.
在△ABF和△CDA中，
因为AB＝CD，∠ABF＝∠CDA，BF＝DA，
所以△ABF≌△CDA(SAS)，所以AF＝AC.
因为AF＝2AE，所以AC＝2AE.
类型二 利用“截长补短法”构造全等三角形
3.在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＋∠ADC＝180°，点E，F分别在直线BC，CD上，且∠EAF＝∠BAD.
(1)如图1，当点E，F分别在边BC，CD上时，试说明：EF＝BE＋FD；
(2)如图2，当点E，F分别在边BC，CD的延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF，BE，FD之间的数量关系，并说明理由.
图1 图2
解：(1)延长EB至点G，使BG＝DF，连接AG.
因为∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABG＝180°，
所以∠ADC＝∠ABG.
因为AB＝AD，BG＝DF，
所以△ABG≌△ADF(SAS)，
所以AG＝AF，∠BAG＝∠DAF.
因为∠EAF＝∠BAD，
所以∠BAE＋∠DAF＝∠BAE＋∠BAG＝∠BAD，所以∠EAG＝∠EAF.
因为AE＝AE，所以△EAG≌△EAF(SAS)，
所以GE＝EF.
因为GE＝BE＋BG，所以EF＝BE＋FD.
(2)(1)中的结论不成立，EF＝BE－FD.理由如下：
在BE上截取BM＝DF，连接AM.
同(1)可得△ABM≌△ADF(SAS)，
所以AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
所以∠BAM＋∠MAD＝∠DAF＋∠MAD，
所以∠BAD＝∠MAF.
因为∠EAF＝∠BAD，所以∠EAF＝∠MAF，
所以∠EAF＝∠EAM.
因为AE＝AE，所以△AME≌△AFE(SAS)，
所以EM＝EF，
所以EM＝BE－BM＝BE－DF，
所以EF＝BE－FD.
小专题(十) 等腰三角形中辅助线的作法
类型一 已知等腰三角形作中线或高
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，求BC的长.
解：过点A作AD⊥BC于点D，
所以∠ADB＝90°.
因为AE⊥BE，
所以∠E＝90°，
所以∠ADB＝∠E.
因为AB＝AC，
所以BD＝CD＝BC.
因为∠ABE＝∠ABC，AB＝AB，
所以△ABD≌△ABE，
所以BD＝BE＝2，
所以BC＝2BD＝4.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF，试说明：DE＝DF.
解：连接AD.
因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.
因为EF∥BC，
所以AD⊥EF.
因为AE＝AF，
所以AD垂直平分EF，
所以DE＝DF.
类型二 先构造三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质解题
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，试说明：DG⊥EF.
解：连接 ED，DF.
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为BE＝CD，BD＝CF，
所以△BED≌△CDF(SAS)，
所以DE＝FD.
因为G是EF的中点，
所以DG⊥EF.
类型三 逆用“三线合一”构造等腰三角形
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，CD⊥BE，交BE的延长线于点D.试说明：BE＝2CD.
解：延长BA，CD相交于点Q.
因为∠BAC＝90°，
所以∠CAQ＝90°＝∠BAE，
所以∠ACQ＋∠Q＝90°.
因为CD⊥BE，
所以∠BDQ＝∠BDC＝90°，
所以∠ABE＋∠Q＝90°，
所以∠ACQ＝∠ABE.
在△ABE和△ACQ中，因为∠ABE＝∠ACQ，AB＝AC，∠BAE＝∠CAQ，
所以△ABE≌△ACQ(ASA)，所以BE＝CQ.
因为BE是∠ABC的平分线，
所以∠QBD＝∠CBD.
在△QDB和△CDB中，因为∠QBD＝∠CBD，BD＝BD，∠BDQ＝∠BDC，
所以△QDB≌△CDB(ASA)，所以QD＝CD，
所以BE＝CQ＝2CD.
小专题(十一) 等腰三角形中的分类讨论
类型一 腰和底不确定时需分类讨论
1.已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为(C)
A.3 B.10
C.6.5 D.3或6.5
2.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 ABC是“倍长三角形”，底边 BC的长为5，则腰AB的长为 10 .
类型二 当顶角和底角不确定时需分类讨论
3.已知等腰三角形的一个角为30°，则其底角的度数为(D)
A.75° B.65°或75°
C.30° D.30°或75°
4.如果一个等腰三角形的一个角的邻补角为124°，那么该等腰三角形顶角的度数为 56°或68° .
5.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，求∠C的度数.
解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°.
分两种情况讨论：
(1)当∠A是顶角时，∠C＝∠B＝x°，
所以∠A＋2∠B＝180°，
即4x＝180，解得x＝45，
此时∠C＝45°；
(2)当∠A是底角时，∠C＝∠A＝2x°，
所以2∠A＋∠B＝180°，
即5x＝180，解得x＝36，
此时∠C＝72°.
综上所述，∠C的度数为45°或72°.
类型三 当三角形的形状不确定时需分类讨论
6.若某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数为 65°或115° .
7.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数.
解：分两种情况讨论：
(1)当MN与AC相交，交点为D时，如图1，∠ADM＝40°，则∠A＝90°－∠ADM＝50°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝(180°－∠A)＝65°；
(2)当MN与CA的延长线相交，交点为D时，如图2，∠ADN＝40°，则∠DAB＝90°－∠ADN＝50°，
所以∠BAC＝180°－∠DAB＝130°.
因为AB＝AC，
所以∠B＝(180°－∠BAC)＝25°.
综上所述，∠B的度数为65°或25°.
类型四 已知等腰三角形的一边确定另一个顶点时需分类讨论
8.
在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 8 个.
小专题(十二) 角平分线与线段垂直平分线的综合应用
1.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F，试说明：∠BAF＝∠ACF.
解：因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠DAC.
因为FE是AD的垂直平分线，
所以FA＝FD，
所以∠FAD＝∠FDA.
因为∠ACF＋∠ACD＝180°，∠FDA＋∠DAC＋∠ACD＝180°，
所以∠ACF＝∠FDA＋∠DAC.
因为∠BAF＝∠FAD＋∠BAD，
所以∠BAF＝∠ACF.
2.如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°.
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 垂直平分线 ，射线AE是∠DAC的 平分线 ；
(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数.
解：因为DF是线段AB的垂直平分线，
所以DA＝DB，
所以∠BAD＝∠B＝40°.
因为∠B＝40°，∠C＝50°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝90°，
所以∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝50°.
因为AE平分∠CAD，
所以∠DAE＝∠CAD＝25°.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD平分∠BAC，交BC于点D.试说明：AD＝BD.
解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠DEA＝90°＝∠C.
因为AD平分∠BAC，
所以∠CAD＝∠EAD.
在△DCA和△DEA中，
因为∠CAD＝∠EAD，∠C＝∠DEA，AD＝AD，
所以△DCA≌△DEA(AAS)，所以AC＝AE.
因为AB＝2AC＝AE＋BE，
所以AE＝BE，即E为AB的中点.
又因为DE⊥AB，
所以DE垂直平分AB，所以AD＝BD.
4.如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是边BC的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.
(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，直接写出m，n满足的关系式 m＋3n＝120 .
解：因为D是边BC的中点，
DE⊥BC，
所以PB＝PC，
所以∠PBC＝∠PCB.
因为BP平分∠ABC，
所以∠PBC＝∠ABP，
所以∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.
因为∠A＝60°，∠ACP＝24°，
所以∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°＝96°，
所以3∠ABP＝96°，所以∠ABP＝32°.
小专题(十三) 轴对称的性质及其应用
类型一 利用轴对称的性质求角度和线段长
1.如图，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为 4.5 cm.
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠BAC>∠B，∠C＝50°，将∠B折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB，BC于点D，P.当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为 40°或25°或32.5° .
第2题图
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，把△BCD沿BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O.若∠DBC＝15°，求∠BOD的度数.
解：因为AD∥BC，
所以∠BDO＝∠DBC＝15°.
由折叠的性质，得∠DBO＝∠DBC＝15°，
所以∠BOD＝180°－∠DBO－∠BDO＝180°－2×15°＝150°.
类型二 利用轴对称的性质解决最短路径问题
4.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在边BC，CD上分别找点M，N.当△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为 100° .
5.如图，∠ABC内有一点P，在边AB，BC上各取点P1，P2，求作△PP1P2，使△PP1P2的周长最小.
解：如图所示，分别作点P关于AB，BC的对称点N，M，连接MN，分别交AB，BC于点P1，P2，连接PP1，PP2，则△PP1P2即为所求三角形.
6.如图，已知牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.
解：作点P关于河流的对称点C，关于草地的对称点D，连接CD，交河流和草地于A，B两点，连接PA，PB，则最短路线为P－AB－P.
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