河南省开封市宇华实验高中2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省开封市宇华实验高中2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 472.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-23 18:15:36 | ||
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文档简介
河南省开封市宇华实验高中2024 2025学年高一下学期第一次联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．，，且，则（ ）
A． B． C． D．1
5．已知向量，．若向量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用表示为( )
A． B． C． D．
7．在三角形ABC中，A、B、C表示角度，a、b、c表示边长已知b=5，c=4，B=45°，则sinC=（ ）
A． B． C． D．或
8．已知在所在平面内，满足，且，则点依次是的（ ）
A．外心，重心，垂心 B．重心，外心，内心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，内心
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．与向量共线的单位向量（ ）
A． B． C． D．
11．设是两个非零向量，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量为 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．下列说法中，正确的序号是 ．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形是平行四边形，则；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
13．已知向量，，若，则 ．
14．在中，若．则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，.
(1)求；
(2)设，的夹角为，求的值；
(3)若向量与互相垂直，求的值．
16．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
17．已知中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
18．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
19．在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？
参考答案
1．【答案】A
【详解】质量、密度、功是标量，不是向量；
速度、力、加速度、位移是向量；
所以向量共有个.
故选A.
2．【答案】B
【详解】对于A，是两个单位向量，长度都是1，但方向不一定相同，故A错误；
对于B、C,因为是两个单位向量，所以，则，故B正确，C错误；
对于D，，所以，故D错误.
故选B.
3．【答案】B
【详解】对于A，与共线，A不是；
对于B，由知，与不共线，B是；
对于C，由知，，共线，C不是；
对于D，由知，，共线，D不是.
故选B.
4．【答案】D
【详解】由得,
即,
解得,
因为,解得.
故选D.
5．【答案】D
【详解】试题分析：设,则,,由已知可知,解得,故.选D.
考点：共线向量与垂直向量的性质.
6．【答案】D
【详解】．
故选D．
7．【答案】B
【详解】根据正弦定理可知，解得
故选B
8．【答案】A
【详解】因，则为的外心；
取中点，则，
即为中线上靠近点的三等分点，则为的重心；
因，则，
则，同理，，则为的垂心.
故选A.
9．【答案】AB
【详解】对于A， ，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D， ，D错误.
故选AB.
10．【答案】BD
【详解】因为，所以，因为，且，
所以，即或.
故选BD.
11．【答案】ABC
【详解】因为，所以，所以，所以选项A正确；
因为，所以，即有，所以，所以选项B正确；
因为，所以在方向上的投影向量为，所以选项C正确；
由向量数量积的定义可知，，所以，所以选项D错误.
故选ABC.
12．【答案】①③
【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确；
对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等，
所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误；
对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等，
所以，故③正确；
对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，
所以④错误.
13．【答案】
【详解】∵，则，解得，
∴，则，
故.
14．【答案】/
【详解】由.
因为为三角形内角，所以，
所以，所以，所以.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知，，
则；
（2）由已知可得，，，
则；
（3）由向量与互相垂直，
则，
解得.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
17．【答案】(1) (2)
【详解】解：（1）由题可得，
所以，
，.
（2）由正弦定理得，
，
，，
.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，.
由余弦定理，
.
（2）由（1）知，.
，
又
19．【答案】大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
【详解】解：如图
设台风中心为B，BD为台风经过的路径所在的直线，则，
过A作于C，则，
，
∴气象台所在地会受到台风的影响，
设以A为圆心，以为半径的圆与直线BD交于E，F两点，
设，
由余弦定理得是方程的根，
方程整理得，
解得，
，
∴大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．，，且，则（ ）
A． B． C． D．1
5．已知向量，．若向量满足，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用表示为( )
A． B． C． D．
7．在三角形ABC中，A、B、C表示角度，a、b、c表示边长已知b=5，c=4，B=45°，则sinC=（ ）
A． B． C． D．或
8．已知在所在平面内，满足，且，则点依次是的（ ）
A．外心，重心，垂心 B．重心，外心，内心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，内心
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．与向量共线的单位向量（ ）
A． B． C． D．
11．设是两个非零向量，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量为 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．下列说法中，正确的序号是 ．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形是平行四边形，则；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
13．已知向量，，若，则 ．
14．在中，若．则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，.
(1)求；
(2)设，的夹角为，求的值；
(3)若向量与互相垂直，求的值．
16．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，
(1)用，表示
(2)建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.
17．已知中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
18．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
19．在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？
参考答案
1．【答案】A
【详解】质量、密度、功是标量，不是向量；
速度、力、加速度、位移是向量；
所以向量共有个.
故选A.
2．【答案】B
【详解】对于A，是两个单位向量，长度都是1，但方向不一定相同，故A错误；
对于B、C,因为是两个单位向量，所以，则，故B正确，C错误；
对于D，，所以，故D错误.
故选B.
3．【答案】B
【详解】对于A，与共线，A不是；
对于B，由知，与不共线，B是；
对于C，由知，，共线，C不是；
对于D，由知，，共线，D不是.
故选B.
4．【答案】D
【详解】由得,
即,
解得,
因为,解得.
故选D.
5．【答案】D
【详解】试题分析：设,则,,由已知可知,解得,故.选D.
考点：共线向量与垂直向量的性质.
6．【答案】D
【详解】．
故选D．
7．【答案】B
【详解】根据正弦定理可知，解得
故选B
8．【答案】A
【详解】因，则为的外心；
取中点，则，
即为中线上靠近点的三等分点，则为的重心；
因，则，
则，同理，，则为的垂心.
故选A.
9．【答案】AB
【详解】对于A， ，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D， ，D错误.
故选AB.
10．【答案】BD
【详解】因为，所以，因为，且，
所以，即或.
故选BD.
11．【答案】ABC
【详解】因为，所以，所以，所以选项A正确；
因为，所以，即有，所以，所以选项B正确；
因为，所以在方向上的投影向量为，所以选项C正确；
由向量数量积的定义可知，，所以，所以选项D错误.
故选ABC.
12．【答案】①③
【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确；
对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等，
所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误；
对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等，
所以，故③正确；
对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，
所以④错误.
13．【答案】
【详解】∵，则，解得，
∴，则，
故.
14．【答案】/
【详解】由.
因为为三角形内角，所以，
所以，所以，所以.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知，，
则；
（2）由已知可得，，，
则；
（3）由向量与互相垂直，
则，
解得.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O
所以，
因为M为BO中点，
（2）如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，
所以，，，
根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为
17．【答案】(1) (2)
【详解】解：（1）由题可得，
所以，
，.
（2）由正弦定理得，
，
，，
.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，.
由余弦定理，
.
（2）由（1）知，.
，
又
19．【答案】大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
【详解】解：如图
设台风中心为B，BD为台风经过的路径所在的直线，则，
过A作于C，则，
，
∴气象台所在地会受到台风的影响，
设以A为圆心，以为半径的圆与直线BD交于E，F两点，
设，
由余弦定理得是方程的根，
方程整理得，
解得，
，
∴大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.
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