期末冲刺练习卷（一）（含解析）-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）

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期末冲刺练习卷（一）-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）
一、单选题
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题中的真命题是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若两个角的和为，则这两个角互补
C．若，满足，则
D．同位角相等
5．请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．若的结果中不含项，则a的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．
8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
二、填空题
9．计算： .
10．分解因式： ．
11．已知的两条边长分别为2，3，且周长为偶数，则其第三边长等于 ．
12．命题“如果，那么a＝b”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．若一个正多边形的内角和恰好是其外角和的4倍，则该正多边形的每一个外角是 ．
14．如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为 ．
15．若关于的多项式的一个因式是，则的值为 .
16．如图，在中，，，是边上的高，点E，F分别在上，且，当的值最小时，的度数是 °．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程组、解不等式并在数轴上画出解集．
(1)
(2)
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．

(1)画出；
(2)若连接，，则这两条线段之间的关系是_________；
(3)画出边上的中线；（利用网格点和直尺画图）
(4)图中能使的格点P有_________个（点P异于点A）．
21．已知：如图，，垂足分别为 D、G，点 E 在上， 且求证：．
(1)填写下列推理中的空格：
证明：∵，
∴（垂直的定义）．
∴．（ ）．
∴．（ ）．
∵，
∴．（ ）．
∴． （ ）．
∴．（ ）．
(2)请你写出另一种证法
22．为了打造区域中心城市，实现仙桃跨越式发展，我市某路段拓宽工程正按投资计划有序推进．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，市政公司现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
租金（单位：元/台·时） 挖掘土方量（单位：/台 时）
甲型挖掘机 100 60
乙型挖掘机 120 80
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
(2)如果每小时支付的租金不超过元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？
23．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
(1)若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
(2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
(3)已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
24．现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．

(1)如图，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．
(2)如图，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为和．
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．
25．直线与直线垂直相交于点在直线上运动，点在直线上运动．

(1)如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
(2)如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线及延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求的度数．
《期末冲刺练习卷（一）-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B B D C B C
1．B
【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程是解题的关键．
【详解】解：A、是代数式，不是二元一次方程；
B、是二元一次方程；
C、不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为；
D、不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为；
故选B．
2．D
【分析】根据合并同类项法则,同底数幂的乘法，同底数幂的除法,幂的乘方等运算法则，即可判断答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项错误，不符合题意；
D、，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算,幂的乘方运算,熟练掌握幂的相关运算是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，熟练掌握定理是解题的关键．利用对顶角的定义，互补的定义，开平方的定义及平行线的性质分别判断即可．
【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，故选项A不符合题意；
若两个角的和为，则这两个角互补，是真命题，故选项B符合题意；
若，满足，则，故原命题错误，是假命题，故选项C不符合题意；
两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，故选项D不符合题意；
故选B．
5．D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，列出方程组即可．
【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
则可列方程组为：；
故选D．
6．C
【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
∵直尺的上下两边平行，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案，
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
【详解】解：
∵结果中不含项，
∴，
∴，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴，，
∵大正方形与小正方形的面积之差是48，
∴，
根据图示可得，，
∴，，
∴阴影部分的面积
，
故选：C．
9．
【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加的法则即可得解.
【详解】,
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握相关运算公式是解决本题的关键.
10．
【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后再用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
11．3
【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．设第三边长为，根据三边关系得出，根据周长为偶数，得出，即可求解．
【详解】解：∵三角形的两边长分别是和3，
设第三边长为，则，即，
∵周长为偶数，，
∴为奇数，
∴，
即第三边长为，
故答案为：．
12．真
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．
【详解】解：∵“如果，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么．”
∴“如果，那么a＝b”的逆命题是真命题，
故答案为：真．
【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．/36度
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和综合．根据多边形内角和的计算方法求出这个正多边形的边数，再根据正多边形的每一个外角都相等且外角和是进行计算即可．
【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得，
，
解得，
即这个正多边形是正十边形，
所以它的每一个外角为，
故答案为：．
14．4
【分析】根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
15．26
【分析】根据题意，令，进而整理得到a，b的值即可得解.
【详解】根据题意，令
整理得：
∴，解得：，∴，
故答案为：26.
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的乘法运算方法及技巧是解决本题的关键.
16．70
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；过点A作，且，连接，证明，推出，得出，可知当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小，连接交于点，交于点F，推出，，得出，进而可求出答案．
【详解】解：如图：过点A作，且，连接，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
当点M、E、C三点共线时，的值最小，即的值最小，
连接交于点，交于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：70．
17．(1)2
(2)
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式和单项式乘以多项式：
（1）根据零指数幂，负整数指数幂计算，即可求解；
（2）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式计算，再合并，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．(1)
(2)，数轴见详解
【分析】（1）根据加减消元法可以解答此方程组；
（2）先去括号，再移项，然后合并同类项，系数化1，得出不等式的解集，再在数轴上画出解集，即可作答．
本题考查了解二元一次方程组以及解不等式，运用数轴表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：，
①②，得：，
将代入①，得：，
解得：，
原方程组的解为；
（2）解：
19．，．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式展开后，合并同类项把原式化简，然后将和的值代入计算即可得出答案．
【详解】
，
当，
∴原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．(1)作图见解析
(2)平行且相等
(3)作图见解析
(4)3
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出平移后的对应点．
（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质解答即可；
（3）找出的中点D，然后连接即可；
（4）过点A作的平行线，找出此平行线上的格点即可．
【详解】（1）如图，即为所求．

（2）连接，，根据平移性质可知，这两条线段之间的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等．
（3）解：如图，即为所求．
（4）解：如图，过点A作的平行线，所经过的格点，，即为满足条件的点，共有3个．
故答案为：3．
21．(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
(2)见详解
【分析】（1）由与都与垂直，利用垂直的定义得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同位角相等即可得证；
（2）由与都与垂直，得到两对角互余，根据等角的余角相等即可得证．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
【详解】（1）证明： ，，
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）；
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
（2）解：，，
，
，，
，
．
22．(1)甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
(2)有1种租用方案．
【分析】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式和方程组．
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，注意甲和乙的台数都是整数．
【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台，
，
得，
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用甲型号的挖掘机a台，租用乙型号的挖掘机b台，
，
∴，
解得，，
当时，（舍去），
当时，（舍去），
当时，（舍去），
当时，，
当时，（舍去），
答：有1种租用方案．
23．(1)A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”
(2)
(3)存在，k的值为0或1
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据，，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【详解】（1）不等式A：的解集为，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为，不等式D：的解集为，且C是D的“子式”，
∴，
解得；
（3）由求得，
∵，，
∴，
解得，
∵k为整数，
∴k的值为；
不等式P：整理得，；不等式的解集为，
①当时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当时，不等式P的解集为，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当时，不等式P：的解集为，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴，且，
解得，
∴，
综上k的值为0或1．
【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
24．(1)小长方形的相邻两边长是，
(2)①个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；②
【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出方程组并计算可求小长方形的相邻两边长；
（2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；②根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：设小长方形的相邻两边长分别为和，
依题意，可有，
解得，
故小长方形的相邻两边长分别是10，25；
（2）①∵1个小长方形的周长为，
个大长方形的周长为，
∴．
故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；
依题意有：，
整理，得．
故和满足的关系式为．
【点睛】本题主要考查了列代数式与二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握相关基本知识，属于中考常考题型．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内和为；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解题时注意分类思想的灵活运用．
（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可得到的大小不变；
（2）根据延长、交于点．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到；
（3）先根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，得到，再根据分别是和的角平分线，可得．最后根据中，有一个角是另一个角的3倍，分四种情况进行讨论，即可得到的度数．
【详解】（1）的大小不变．
∵直线与直线垂直相交于，
∵、分别是和角的平分线，

（2）如图2，延长、交于点．

∵直线与直线垂直相交于，
∵、分别是和的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵、分别是和的角平分线，
∴；
（3）∵与的角平分线相交于，
∵、分别是和的角平分线，
在中，有一个角是另一个角的3倍，故有：
①
②（舍去）
③
④（舍去）
或．

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