期末练习卷（含解析）-2024-2025学年数学八年级下册北师大版

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期末练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．下列食品标识图中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（ ）
A．3 B．6 C．4 D．12
3．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　）
A．24° B．30° C．32° D．48°
5．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的分式方程，无解，则m的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
7．如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．某电子元件厂准备生产个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的倍，结果用天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．不等式的解集是
10．分解因式： ．
11．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ．
12．计算 ．
13．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ．
14．如图，直线与直线交于点A，当时，x的取值范围是 ．
15．已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：
①；②；③；④，其中正确的结论有 ．（填序号）
16．如图，已知平行四边形中，则如图：的值为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
(1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”；
(2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号）
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)画出关于原点O成中心对称的；
(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的．
21．如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点A作交于F，延长交于点E．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，的面积为，求的长．
22．某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的付款．新星学校有4名教师与名学生购票听音乐会，若付款总金额为（元）．
(1)分别写出两种方案中与的函数关系式；
(2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？
23．如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？
24．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______；
【类比探究】
（2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数．
《期末练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C C A C B
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】根据“平行四边形对角线互相平分”即可得解．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
∴ ．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意；
B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意；
C、，则C不符合题意；
D、符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，再另一条角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和可计算出的度数．
本题考查了线段的垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【详解】解：∵点E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质，由旋转得，，，则．由题意得，则，再根据可得答案，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
【详解】解：由旋转得，，，
．
点，，在同一条直线上，
，
，
．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．先去分母得到整式方程，解整式方程得，利用分式方程无解得到，所以，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：，
去分母得，
解得，
∵原分式方程无解，
∴，即，
∴，
解得，
故选：A．
7．C
【分析】解法一：延长到使，则四边形是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到，根据跟勾股定理得到，于是得到结论；
解法二：延长交于，证明得，，最后根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：解法一：延长到使，则四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
；
解法二：延长交于，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
8．B
【分析】本题主要考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．
先设未知数，再根据题目中的等量关系列出分式方程即可．
【详解】解：设甲车间每天生产电子元件x个，则乙车间每天生产电子元件个，
根据题意可得：．
故选：B．
9．
【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键．
根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解．
【详解】解：，
故答案为．
11．6
【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个正多边形的边数是6，
故答案为：6．
12．
【分析】本题考查了分式的加减法．先根据平方差公式通分，再计算加减即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
13．3
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质是关键．
根据角平分线的性质得出，再代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
14．
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，观察图象可知交点为，从交点向左函数的图象在的图象下方，进而得出取值范围．
【详解】解：观察图象可知，
当时，．
故答案为：．
15．3
【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④．
【详解】解：在和中，
，
∴，故①正确，符合题意；
∵，，
∴垂直平分，
即，故②③正确，符合题意；
，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①②③．
故答案为：3．
16．68
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，先根据平行四边形的性质，利用证明，设，，则，然后根据勾股定理表示，然后整体代入计算解题．
【详解】解：过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N，
∴，
又∵是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
设，，
∴，
∴
，
故答案为：68．
17．
【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘，将分式方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解是．
18．，3
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．(1)见解析
(2)底边的长为或．
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，即可得出是“奇异三角形”；
（2）需要分两种情况：①当腰上的中线时，则，过B作于E，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可求得的长；②当底边上的中线时，则，且，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，列出方程，即可求得的长．
【详解】（1）解：如图，取的中点D，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是“奇异三角形”；
（2）解：分两种情况：
如图，当腰上的中线时，则，过B作于E，
∵，
∴，，
∴，
∴中，，
∴中，；
如图，当底边上的中线时，则，且，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴．
综上所述，底边的长为或．
20．(1)如图所示；
(2)如图所示．
【分析】本题主要考查中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握点的坐标关于原点对称及旋转的性质是解题的关键；
（1）先得出点A、B、C关于原点对称的对称点，进而可作图；
（2）根据旋转的性质得出点A、B、C的对应点，进而问题可求解
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：所作如图所示；
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的外角性质证明即可；
（3）首先推导出，过点C作，垂足为M，依据的面积为，求得，结合平分，，从而得到．
【详解】（1）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∵过点A作交于F，
∴，
∴，
即平分；
（2）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点C作，垂足为M，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，等面积法求高，角平分线的性质定理等知识的综合运用，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，数形结合分析是关键．
22．(1)方案一中与的函数关系式为，方案二中与的函数关系式为
(2)至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确理解两种优惠方案是解题关键．
（1）方案一：根据付款总金额4名教师的费用名学生的费用即可得；方案二：根据付款总金额（4名教师的费用名学生的费用）即可得；
（2）结合（1）的答案，根据选择方案二的购票方案比方案一便宜建立一元一次不等式，解不等式求出的最小正整数解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：方案一：，
方案二：，
答：方案一中与的函数关系式为，方案二中与的函数关系式为．
（2）解：由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴的最小值为13，
答：至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜．
23．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意得出点G和点H分别同时运动到的中点时，四边形是平行四边形，即可得到答案．
【详解】解：若四边形是平行四边形，
则，，
∵是的中位线，
∴，
∴，
此时点G和点H分别同时运动到的中点，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴，
∴点G运动到的中点所需时间，
同理，点H运动到的中点所需时间，
∴时，点G和点H分别同时运动到的中点，
∴时，四边形是平行四边形．
24．（1）；；（2）；．理由见解析；（3）
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，则，因为，，即可作答．
【详解】解：（1）如图1，设交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：，30．
（2），理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图3所示：
∵和都是等腰三角形，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
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