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浙江省2025年中考数学压轴题专项训练
二次函数
解析卷
1．（2025 台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2≤x≤5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可；
②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0分别求出最小值即可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，
∴对称轴为直线；
（2）①∵a＞0，
∴抛物选开口向上，
∵﹣2＜﹣1＜5，
∴当 x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∵该函数的最小值为﹣8，
∴﹣4a＝﹣8，
∴a＝2；
②∵抛物线对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等，
当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），
∴a1＞0，a2＜0，
当a1＞0时，，
当a2＜0时，，
∵两个函数的最小值相等，
∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2．
2．（2025 温岭市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围．
【分析】（1）①依据题意，直接把A（1，2）代入y＝x2+bx+c整理得b+c＝1；
②依据题意，把 （2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b，可得p＝b+5，则pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣（b+2）2+9≤9．即可作答；
（2）依据题意，先得出抛物线y＝x2+bx+c上的开口向上，因为对于任何的，（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立，所以得点B为抛物线的顶点，对称轴为直线x＝2，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
【解答】解：（1）①由题意，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c，
∴1+b+c＝2．
∴b+c＝1．
②由（1）得：b+c＝1，
∴c＝1﹣b．
把（2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b，
∴p＝4+2b+1﹣b＝b+5．
∴pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣b2﹣4b+5＝﹣（b+2）2+9≤9．
∴pc的最大值为9．
（2）∵抛物线为y＝x2+bx+c，
∴抛物线开口向上．
∵对于任何的实数t都有（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立，
∴点B（2，p）必为抛物线的最低点，即点B为抛物线的顶点．
∴对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大．
∵y1≥y2，点C（t，y1）AD（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，
∴，
∴t≤1．
3．（2025 瓯海区二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
【分析】（1）由题意得该二次函数的图象的对称轴为直线x，则可得，求出a的值，即可得出答案．
（2）根据Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，可得结论．
（3）由题意得，二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，当a＜0时，可得当x＝0时，y＝﹣3，即a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当0≤a≤3，可得当x＝a时，y＝﹣3，即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当a＞3时，可得当x＝3时，y＝﹣3，即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，求出a的值，进而可得答案．
【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x，
∴，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1．
（2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，
∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，
当a＜0时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即a﹣1＝﹣3，
解得a＝﹣2；
当0≤a≤3，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝a时，y＝﹣3，
即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，
解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去），
∴a的值为2；
当a＞3时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝3时，y＝﹣3，
即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，
解得a（舍去）．
综上所述，a的值为﹣2或2．
4．（2025 龙湾区二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，2）和（1，5）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）该二次函数图象上有两点A（m，p），B（m+t，p），其中点A在点B左边．
①用含m的代数式表示t．
②当m≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2t，求t的值．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出二次函数的对称轴，再根据题意得出点A、点B关于直线x＝2对称，推出2，求解即可；
②求出二次函数的顶点坐标为（2，6），再分三种情况：当m＜0时；当0≤m≤2时；当2＜m＜4时；分别利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）把（0，2）和（1，5）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式的解析式为y＝﹣x2+4x+2；
（2）①由（1）可知，二次函数图象的对称轴为直线x2
∵两点A（m，p），B（m+t，p）关于对称轴直线x＝2对称，
∴2，
∴t＝4﹣2m；
②∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线开口向下，顶点（2，6），
∵当m≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2t，
∴当m＜0时，当x＝m时，取得最小值为﹣m2+4m+2，当x＝2时，取得最大值为6，
∴6﹣（﹣m2+4m+2）＝2t，
由①可得：t＝4﹣2m，
∴6﹣（﹣m2+4m+2）＝2（4﹣2m），
解得m＝﹣2或m＝2（不符合题意，舍去），
∴m＝﹣2，此时t＝4﹣2m＝8；
当0≤m≤2时，当x＝4时，取得最小值为y＝2，当x＝2时，取得最大值为6，
∴6﹣2＝4＝2t，
∴t＝2；
当2＜m＜4时，当x＝m时，取得最大值为﹣m2+4m+2，当x＝4时，取得最小值为2，
∴﹣m2+4m+2﹣2＝2t，
即﹣m2+4m+2﹣2＝2（4﹣2m），
解得m＝4+2（不符合题意，舍去）或m＝4﹣2（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝2或8．
5．（2025 义乌市二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+8（a≠0）
（1）若点A（﹣2，0）在抛物线上，
①求此抛物线的解析式及顶点坐标．
②已知点M，N的坐标分别为（3，9），（﹣1，n），连结MN，若线段MN与抛物线只有一个公共点，求n的取值范围．
（2）已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于x1＝2a，3≤x2≤a+4都有y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）①将点A坐标代入抛物线解析式求出a，进而得到解析式并化为顶点式求顶点坐标；②先求出n关于a的表达式，再结合线段MN与抛物线的位置关系确定n的取值范围；
（2）先确定P点坐标，再根据a的正负性结合对称轴与给定区间分析函数单调性，从而确定a的取值范围．
【解答】解：（1）①有条件可得：
0＝a×（﹣2）2﹣2a×（﹣2）+8，
解得：a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8，
将其化为顶点式为：y＝﹣（x﹣1）2+9，
所以顶点坐标为（1，9）；
②当x＝﹣1时，代入y＝﹣x2+2x+8得：y＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+8＝﹣1﹣2+8＝5，
当x＝3时，y＝﹣32+2×3+8＝﹣9+6+8＝5，
因为线段MN与抛物线只有一个公共点，
当n＝9时，线段MN过顶点（1，9），此时只有一个公共点；
当n＜5时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
所以n＝9或n＜5；
（2）抛物线y＝ax2﹣2ax+8＝a（x﹣1）2﹣a+8，对称轴为直线x＝1．
当x1＝2a时，．
因为对于3≤x2≤a+4都有y1＞y2．
当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
要满足条件，则2a＞a+4，
解得：a＞4，
当a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
此时需满足2a＜3，且a+4≤1（等号不同时成立），由a+4≤1得a≤﹣3，又2a＜3即，综合可得．
综上，a的取值范围是或a＞4．
6．（2025 吴兴区二模）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值．
（3）已知点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象上，且﹣7＜2p+3q＜2，求m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用平移的规律求得平移后的解析式，代入原点坐标即可求得n的值；
（3）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，则p+q＝﹣2，由﹣7＜2p+3q＜2，得出﹣7＜﹣4+q＜2，即﹣3＜q＜6，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）．
∴3＝﹣（﹣2+1）2+h，
解得h＝4，
∴此二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，得到y＝﹣（x+1+n）2+4+5，即y＝﹣（x+1+n）2+9，
∵图象恰好经过原点，
∴﹣（0+1+n）2+9＝0，
解得n＝2或n＝﹣4，
∵n＞0，
∴n的值为2．
（3）∵点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象上，
∴p+q＝﹣2，
∴2p+2q＝﹣4，
∵﹣7＜2p+3q＜2，
∴﹣7＜﹣4+q＜2，
∴﹣3＜q＜6，
∵当x＝6时，y＝﹣（x+1）2+4＝﹣45，
当x＝﹣1时，y＝﹣（x+1）2+4＝4，
∴m的取值范围是﹣45＜m≤4．
7．（2025 瑞安市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线，且经过点A（﹣4，6）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B（2，1）向左平移5个单位长度，再向上平移a（a＞0）个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值．
（3）点C（m，n）在抛物线上，过点C作直线l∥x轴，若直线l与抛物线上A，C两点之间的部分（包含点A，C）有两个交点，求m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得平移后的点的坐标，代入解析式即可求得a的值；
（3）求得A关于对称轴的对称点，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线，
∴，
∴b＝3，
∵经过点A（﹣4，6），
∴6＝（﹣4）2+3×（﹣4）+c，
解得c＝2，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+3x+2；
（2）点B（2，1）向左平移5个单位长度，再向上平移a（a＞0）个单位长度后得到点（﹣3，1+a），
∵点（﹣3，1+a）恰好落在抛物线上，
∴1+a＝9﹣9+2，
∴a＝1；
（3）∵物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线，
∴点A（﹣4，6）关于对称轴的对称点为（1，6），
∵点C（m，n）在抛物线上，过点C作直线l∥x轴，直线l与抛物线上A，C两点之间的部分（包含点A，C）有两个交点，
∴m≤1．
8．（2025 路桥区二模）已知抛物线y＝﹣2x2+mx+n（m，n是常数）．
（1）当m＝4，n＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）当该抛物线的顶点在x轴上时，n＝﹣2，求m的值；
（3）若该抛物线经过点（2，1），且当x≤0时，函数y的最大值为3，求该抛物线的表达式．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）由题意可知抛物线的顶点在x轴上时，则Δ＝0，则m2﹣4×（﹣2） n＝0，解得m＝±4；
（3）分两种情况讨论：当0，即m≥0时，则x＝0时，9﹣2m＝3，解得m＝3；当，即m＜0时，﹣29﹣2m＝3，解得m＝12或m＝4（不合题意，舍去），进一步求得n＝9﹣2m＝3，即可得到抛物线的表达式为y＝﹣2x2+3x+3．
【解答】解：（1）当m＝4，n＝1时，则抛物线y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，3）；
（2）该抛物线的顶点在x轴上时，则Δ＝0，
∴m2﹣4×（﹣2） n＝0，
∵n＝﹣2，
∴m2＝16，
∴m＝±4，
故m的值为﹣4或4；
（3）∵该抛物线经过点（2，1），
∴﹣2×22+2m+n＝1，
∴n＝9﹣2m，
∴y＝﹣2x2+mx+9﹣2m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x，
当0，即m≥0时，
∵当x≤0时，函数y的最大值为3，
∴x＝0时，9﹣2m＝3，
∴m＝3；
当，即m＜0时，
∵当x≤0时，函数y的最大值为3，
∴x时，﹣29﹣2m＝3，
整理得m2﹣16m+48＝0，
解得m＝12或m＝4，
∵m＜0，
∴m＝12或m＝4不合题意，
综上，m＝3，n＝9﹣2m＝3，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣2x2+3x+3．
9．（2025 定海区三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m），点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于4＜x0＜6，都有m＞p＞n，求t的取值范围．
【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可；
②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点A（﹣2，m）在对称轴的左侧，点B（4，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，解得2≤t≤4，
【解答】解：（1）①∵t2，
∴b＝﹣4a；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵点A（﹣2，m），点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝2，
∴点A（﹣2，m）到对称轴的距离大于点B（4，n）到对称轴的距离，
∴m＞n；
（2）由题意可知，点A（﹣2，m）在对称轴的左侧，点B（4，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，
∵4＜x0＜6，都有m＞p＞n，
∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴，解得2≤t≤4，
∴t的取值范围是2≤t≤4．
10．（2025 鹿城区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数）经过点A（1，0），B（4，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当6﹣t≤x≤t时，记函数的最大值为M，最小值为N．
①当t＝5时，求N的值．
②当t≥4时，求证：M﹣N≥4．
【分析】（1）依据题意，把A（1，0）和B（4，3）代入y＝ax2+bx+3，从而，可得，进而可以判断得解；
（2）①依据题意，当t＝5时，1≤x≤5，又由（1）得：y＝x2﹣4x+3，可得抛物线的对称轴为直线x＝2，故可判断得解；
②依据题意可得，抛物线开口向上，抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线上点离对称轴越近函数值越小，又当t≥4时，可得6﹣t≤2≤t，结合t﹣2﹣[2﹣（t﹣6）]＝2t﹣6＞0，则t﹣2＞2﹣（t﹣6），从而当x＝t时，M＝t2﹣4t+3，N＝﹣1．故可得M﹣N＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2≥0，从而当t≥2时，M﹣N随t的增大而增大，进而当t≥4时，M﹣N≥4，即可判断得解．
【解答】（1）解：由题意，把A（1，0）和B（4，3）代入y＝ax2+bx+3，
∴．
∴．
∴函数表达式为y＝x2﹣4x+3．
（2）①解：当t＝5时，1≤x≤5，
由（1）得：y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
∴当x＝2时，函数的最小值N＝﹣1．
②证明：由题意可得，抛物线开口向上，抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线上点离对称轴越近函数值越小．
∵当t≥4时，
∴6﹣t≤2≤t，
又∵t﹣2﹣[2﹣（t﹣6）]＝2t﹣6＞0，
∴t﹣2＞2﹣（t﹣6），
∴当x＝t时，M＝t2﹣4t+3，N＝﹣1．
∴M﹣N＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2≥0．
∴当t≥2时，M﹣N随t的增大而增大，
∴当t≥4时，M﹣N≥4．
11．（2025 龙港市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，9）．
（1）求b，c的值，并写出函数表达式．
（2）M（m，y1），N（m+4，y2）在该抛物线上．
①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标．
②若m＜﹣1，当m≤x≤m+4时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
【分析】（1）利用顶点坐标公式代入求解即可；
（2）①利用对称性质求解即可；②先求出y1＞y2．再分为（ⅰ）当﹣3＜m＜﹣1时，
（ⅱ）当m≤﹣3时，两种情况进行求解，进而解决问题．
【解答】解：（1）∵，，
∴b＝﹣2，c＝10．
∴y＝x2﹣2x+10或y＝（x﹣1）2+9．
（2）①，解得m＝﹣1．
∴y1＝13，
∴M（﹣1，13）．
②由条件可知，
∴y1＞y2．
（ⅰ）当﹣3＜m＜﹣1时，当x＝m时函数取到最大值，最小值是9，
∴m2﹣2m+10＝18，
得m1＝﹣2，m2＝4（舍去），
（ⅱ）当m≤﹣3时，当x＝m时函数取到最大值，x＝m+4时函数取到最小值，
∴，y＝x2﹣2x+10
∴m2﹣2m+10＝2（m2+6m+18），
∴
综上所述，m的值为﹣2或．
12．（2025 钱塘区二模）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m），m为实数．
（1）若m＝1，求该函数图象的对称轴．
（2）若该函数图象与y轴交于点（0，n），求证：n≥﹣1．
（3）若点A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，求m的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式即可求解；
（2）x＝0时，y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝m2+2m，则根据题意n＝m2+2m＝（m+1）2﹣1，证得n≥﹣1．
（3）把A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）代入解析式求得函数值，根据y1＜y2＜y3，列出不等式组，解得即可．
【解答】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象的对称轴为直线x＝2；
（2）证明：x＝0时，y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝m2+2m，
∴抛物线与y轴交于点（0，m2+2m），
∵该函数图象与y轴交于点（0，n），
∴n＝m2+2m＝（m+1）2﹣1，
∴n≥﹣1．
（3）∵y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m）＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），
∴y1＝（2m﹣m）2﹣2（2m﹣m）＝m2﹣2m，
y2＝（﹣2﹣m）2﹣2（﹣2﹣m）＝m2+6m+8，
y2＝（6﹣m）2﹣2（6﹣m）＝m2﹣10m+24，
∵y1＜y2＜y3，
∴m2﹣2m＜m2+6m+8＜m2﹣10m+24，
解得﹣1＜m＜1．
13．（2025 定海区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+1．
（1）当m＝2时．
①求二次函数图象与x轴的交点坐标；
②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝4，求y1+y2的最小值．
（2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1．
【分析】（1）①依据题意，当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．再令y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0，求出x后，即可判断得解；
②依据题意，由二次函数为y＝x2﹣4x+3，且点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，则y1＝a2﹣4a+3，y2＝b2﹣4b+3，从而y1+y2＝a2﹣4a+3+b2﹣4b+3，又a+b＝4，则b＝4﹣a，进而可得y1+y2＝a2﹣4a+3+（4﹣a）2﹣4（4﹣a）+3
＝2（a﹣2）2﹣2，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2mx+m+1，可得对称轴是直线xm，又点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，则p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+m+1，q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+m+1，故p﹣q＝（a+1+2m﹣a）（a+1﹣2m+a）﹣2m（a+1﹣2m+a）＝2（a﹣m）+1，又点C在对称轴的左侧可得a﹣m＜﹣1，进而可以判断得解．
【解答】（1）解：①由题意，当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．
∴令y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0．
∴x＝1或x＝3．
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
②由题意，∵二次函数为y＝x2﹣4x+3，且点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，
∴y1＝a2﹣4a+3，y2＝b2﹣4b+3．
∴y1+y2＝a2﹣4a+3+b2﹣4b+3．
又∵a+b＝4，
∴b＝4﹣a．
∴y1+y2＝a2﹣4a+3+（4﹣a）2﹣4（4﹣a）+3
＝a2﹣4a+3+16﹣8a+a2﹣16+4a+3
＝2a2﹣8a+6
＝2（a﹣2）2﹣2．
∵2＞0，
∴y1+y2的最小值为﹣2．
（2）证明：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2mx+m+1，
∴对称轴是直线xm．
∵点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，
∴p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+m+1，q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+m+1，
∴p﹣q＝（a+1+2m﹣a）（a+1﹣2m+a）﹣2m（a+1﹣2m+a）
＝（2a+1﹣2m）（1+2m﹣2m）
＝2（a﹣m）+1．
∵点C在对称轴的左侧，
∴a+1＜m．
∴a﹣m＜﹣1．
∴p﹣q＝2（a﹣m）+1＜﹣2+1＝﹣1．
14．（2025 庆元县一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，从而可得对称轴是直线x1，进而可以得解；
（2）依据题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，由无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，又令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4，结合x1＜x2，可得x1＝0，x2＝2，进而代入计算可以得解；
（3）依据题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，故当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，故可分①当t≤1时、②当t﹣1＜1＜t时和③当t﹣1≥1时，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，
∴对称轴是直线x1．
（2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，
∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4．
又∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2．
∴x1+2x2＝0+2×2＝4．
（3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3．
∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2．
∴t．
②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2．
∴当x＝1时，y取最小值为3．
又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2．
∴t＝2±（不合题意，舍去）或t＝1（不合题意，舍去）．
③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2．
∴t．
综上，t或t．
15．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），记ax2为M，ax2+bx为N．
（1）若a＝﹣1，b＝1，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．
（2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．
【分析】（1）①依据题意，由a＝﹣1，b＝1，从而可得对称轴是直线x，进而得解；
②依据题意，当x时，M＝﹣x2，N＝﹣x2+x，进而可以得解；
（2）依据题意，由M，N的值互为相反数，可得M+N＝0，即ax2+ax2+bx＝0，进而计算可以得解．
【解答】解：（1）①由题意，∵a＝﹣1，b＝1，
∴对称轴是直线x．
②由题意，当x时，M＝﹣x2，N＝﹣x2+x．
（2）由题意，∵M，N的值互为相反数，
∴M+N＝0，即ax2+ax2+bx＝0．
∴x＝0或x．
16．（2025 滨江区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）图象的顶点坐标是（h，m）．
（1）判断点（1，﹣1）是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证：h+m．
【分析】（1）依据题意，由当x＝1时，y＝12﹣（k+2）×1+k＝1﹣k﹣2+k＝﹣1，即可判断得解；
（2）依据题意，由函数为y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数），可得y＝x2﹣（k+2）xk＝（x）2+k，结合图象的顶点坐标是（h，m），从而h，m＝k，故可得h+mk（k﹣1）2，进而可以判断得解．
【解答】（1）解：点（1，﹣1）在该函数的图象上，理由如下：
由题意，∵当x＝1时，y＝12﹣（k+2）×1+k＝1﹣k﹣2+k＝﹣1，
∴点（1，﹣1）在该函数的图象上．
（2）证明：由题意，∵函数为y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数），
∴y＝x2﹣（k+2）xk
＝（x）2+k．
又∵图象的顶点坐标是（h，m），
∴h，m＝k．
∴h+mk
（k﹣1）2．
∵对于任意的k都都有（k﹣1）2≥0，
∴h+m（k﹣1）2，即h+m．
17．（2025 杭州模拟）已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+c．
（1）若点（h，c）在该二次函数的图象上，求h的值；
（2）若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点（﹣2，5），求平移后的二次函数表达式；
（3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4．
【分析】（1）把点（h，c）代入y＝x2﹣2x+c即可求出h的值；
（2）先把y＝x2﹣2x+c化为顶点式，再按照“左加右减、上加下减”求出平移后的解析式，再把点（﹣2，5）代入平移后的解析式求出c即可；
（3）先确定当﹣1≤x≤2时函数最大值m和最小值n，再求出mn＝（c+3）（c﹣1）＝c2+2c﹣3＝（c+1）2﹣4，再根据函数的性质得出结论．
【解答】（1）解：∵点（h，c）在该二次函数的图象上，
∴h2﹣2h+c＝c，
∴h2﹣2h＝0，
解得h＝0或h＝2；
（2）解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴平移后的二次函数表达式为y＝（x+1）2+c+2，
∵平移后的二次函数经过点（﹣2，5），
∴5＝（﹣2+1）2+c+2，
解得c＝2，
∴平移后的二次函数表达式为y＝（x+1）2+4；
（3）证明：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴在﹣1≤x≤2范围内，当x＝﹣1时，y取最大值为m＝3+c，当x＝1时，y取最小值为n＝c﹣1，
∴mn＝（c+3）（c﹣1）＝c2+2c﹣3＝（c+1）2﹣4，
∵（c+1）2≥0，
∴mn≥﹣4．
18．（2025 嘉兴模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值．
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值．
【分析】（1）①由题意得：，即可求解；
②新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1），将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0，即可求解；
（2）当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2，即可求解；当b≤2时、2＜b＜4时，同理可解．
【解答】解：（1）①由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
②该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，
则新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1），
将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0，
解得：m＝4；
（2）纵坐标是横坐标的两倍，则y＝2x，
联立上式和抛物线的表达式得：2x＝﹣x2+bx+c，
则Δ＝（2﹣b）2+4c＝0①；
当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2，
将上式和①联立并解得：b＝6+2（不合题意的值已舍去）；
当b≤2时，则函数在x＝1时取得最大值，即y＝﹣1+b+c＝2，
将上式和①联立并解得：b＝4（舍去）；
当2＜b＜4时，则函数顶点取得最大值，即yc＝2，
将上式和①联立并解得：b＝3，
综上，b＝6+2或3．
19．（2025 莲都区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点B（m，n）到y轴的距离不大于2，求n的最大值与最小值之差；
（3）已知点P（2t﹣1，y1），Q（3﹣t，y2）在该二次函数的图象上且位于y轴的两侧，若y1＞y2恒成立，求t的取值范围．
【分析】（1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得﹣2≤m≤2，由于开口向上，那么当m＝1时，n有最小值1；由于横坐标为﹣2的点到对称轴的距离1﹣（﹣2）＝3大于点A到对称轴的距离1，则当m＝﹣2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则，由于y1＞y2恒成立，所以，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则，由于y1＞y2恒成立，则，再分别解不等式和不等式组即可．
【解答】解：（1）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1，
依题意得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+2；
（2）∵点B到y轴的距离不大于2，所以﹣2≤m≤2，
∵该函数二次项系数为1大于0，
∴当m＝1时，n有最小值1；
∵横坐标为﹣2的点到对称轴的距离1﹣（﹣2）＝3大于点A到对称轴的距离1，
∴当m＝﹣2时，n取得最大值为（﹣2﹣1）2+1＝10，
∵10﹣1＝9，
∴n的最大值与最小值之差为9；
（3）二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，
∴，
解得：，
∵y1＞y2恒成立，所以，
解得t＜0，
∴t＜0；
②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，
∴，解得：t＞3，
∵y1＞y2恒成立，所以，
解得t＞0，
∴t＞3，
综上所述，t的取值范围是t＜0或t＞3．
20．（2025 婺城区二模）已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上．
（1）求证：抛物线与x轴必有交点．
（2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值．
（3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求出Δ＝b2﹣4ac的值即可求证；
（2）当a＝1时，m＝2t2+7t+3，n＝2t﹣1，那么2t2+7t+3≤2t﹣1+2成立时，可通过画图方法，求得t值；
（3）由题意可知，m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1，那么2at2+（6a+1）t+3≤（a+1）t﹣1+2成立时，可整理为2at2+5at+2≤0，不妨设 y′＝2at2+5at+2，那么其对称轴为，仅存在一个整数t，使得2at2+5at+2≤0成立，那么t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0且t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0，从而求得a的取值范围．
【解答】（1）证明：，
∴Δ＝（6a+1）2﹣4×2a×3＝36a2﹣12a+1＝（6a﹣1）2≥0，
∴抛物线与x轴必有交点；
（2）解：当a＝1时，，y2＝2x﹣1，
∵点A（t，m）在抛物线上，
∴m＝2t2+7t+3，
∵点B（t，n）在直线y2＝2x﹣1上，将点B的坐标代入得：n＝2t﹣1，
∵m≤n+2，
∴2t2+7t+3≤2t﹣1+2，
即2t2+5t+2≤0，
设w＝2t2+5t+2＝（2t+1）（t+2），
当或t＝﹣2时，w＝0；
画函数w＝2t2+5t+2如图1：
由图象可知，当w≤0，即m≤n+2，满足条件的整数t的值为﹣2和﹣1；
（3）解：依题意得：m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1，
设y′＝m﹣n﹣2，
∴y′＝2at2+5at+2，
∴其对称轴为，如图2：
∵m≤n+2，
∴2at2+5at+2≤0，
∵若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，
∴t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0；
t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0，
∴a的取值范围为：．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学压轴题专项训练
二次函数
1．（2025 台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2≤x≤5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
2．（2025 温岭市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围．
3．（2025 瓯海区二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
4．（2025 龙湾区二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，2）和（1，5）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）该二次函数图象上有两点A（m，p），B（m+t，p），其中点A在点B左边．
①用含m的代数式表示t．
②当m≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2t，求t的值．
5．（2025 义乌市二模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+8（a≠0）
（1）若点A（﹣2，0）在抛物线上，
①求此抛物线的解析式及顶点坐标．
②已知点M，N的坐标分别为（3，9），（﹣1，n），连结MN，若线段MN与抛物线只有一个公共点，求n的取值范围．
（2）已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，若对于x1＝2a，3≤x2≤a+4都有y1＞y2，求a的取值范围．
6．（2025 吴兴区二模）已知二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值．
（3）已知点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象上，且﹣7＜2p+3q＜2，求m的取值范围．
7．（2025 瑞安市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线，且经过点A（﹣4，6）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B（2，1）向左平移5个单位长度，再向上平移a（a＞0）个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值．
（3）点C（m，n）在抛物线上，过点C作直线l∥x轴，若直线l与抛物线上A，C两点之间的部分（包含点A，C）有两个交点，求m的取值范围．
8．（2025 路桥区二模）已知抛物线y＝﹣2x2+mx+n（m，n是常数）．
（1）当m＝4，n＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（2）当该抛物线的顶点在x轴上时，n＝﹣2，求m的值；
（3）若该抛物线经过点（2，1），且当x≤0时，函数y的最大值为3，求该抛物线的表达式．
9．（2025 定海区三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m），点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于4＜x0＜6，都有m＞p＞n，求t的取值范围．
10．（2025 鹿城区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a，b为常数）经过点A（1，0），B（4，3）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当6﹣t≤x≤t时，记函数的最大值为M，最小值为N．
①当t＝5时，求N的值．
②当t≥4时，求证：M﹣N≥4．
11．（2025 龙港市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，9）．
（1）求b，c的值，并写出函数表达式．
（2）M（m，y1），N（m+4，y2）在该抛物线上．
①当点M关于抛物线对称轴的对称点为N时，求M的坐标．
②若m＜﹣1，当m≤x≤m+4时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
12．（2025 钱塘区二模）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣2（x﹣m），m为实数．
（1）若m＝1，求该函数图象的对称轴．
（2）若该函数图象与y轴交于点（0，n），求证：n≥﹣1．
（3）若点A（2m，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，求m的取值范围．
13．（2025 定海区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+1．
（1）当m＝2时．
①求二次函数图象与x轴的交点坐标；
②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝4，求y1+y2的最小值．
（2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1．
14．（2025 庆元县一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
15．（2025 拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），记ax2为M，ax2+bx为N．
（1）若a＝﹣1，b＝1，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．
（2）若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．
16．（2025 滨江区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）图象的顶点坐标是（h，m）．
（1）判断点（1，﹣1）是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证：h+m．
17．（2025 杭州模拟）已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+c．
（1）若点（h，c）在该二次函数的图象上，求h的值；
（2）若该二次函数图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过点（﹣2，5），求平移后的二次函数表达式；
（3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4．
18．（2025 嘉兴模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）．
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值．
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值．
19．（2025 莲都区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（2，2），对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点B（m，n）到y轴的距离不大于2，求n的最大值与最小值之差；
（3）已知点P（2t﹣1，y1），Q（3﹣t，y2）在该二次函数的图象上且位于y轴的两侧，若y1＞y2恒成立，求t的取值范围．
20．（2025 婺城区二模）已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上．
（1）求证：抛物线与x轴必有交点．
（2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值．
（3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围．
