第八单元数学广角—找次品（知识梳理+拔高训练）二-2024-2025学年五年级数学下学期培优检测卷（人教版）
文档属性
| 名称 | 第八单元数学广角—找次品（知识梳理+拔高训练）二-2024-2025学年五年级数学下学期培优检测卷（人教版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 265.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-23 15:27:24 | ||
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文档简介
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第八单元数学广角—找次品（知识梳理+拔高训练）二
知识梳理
知识点01：“找次品”问题的基本解决策略和方法
从3个物体中找一个质量不同的物体可以利用天平平衡原理称量；至少需要称1次就能保证找出次品。
把所有物品尽可能平均地分成 3 份，（如余 1 则放入到最后一份中；如余2 则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。
数目与测试的次数的关系
2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次；4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次；
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次；28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次；82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次；244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次。
知识点02：运用最优法找次品
找次品的最佳策略：一是把物体分成3份；二是每份数量尽量平均。
找次品的最优方法：①把待测物品分成3份；②要分得尽量平均，能够平均分的就平均分，不能平均分的，也应该使最多的1份与最少的1份相差1。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）有7盒规格为50根/盒的曲别针，其中6盒是正品，有1盒少装了2根。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这盒曲别针。
2．（2分）用天平找次品时，把下列数量的物品（每组只有1个次品，次品比正品轻一些）分成3份，怎样分称的次数最少？（在圆圈里填数）
3．（2分）有11瓶水，其中10瓶质量相同，另1瓶是盐水（略重一些）。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这瓶盐水。
4．（2分）有10个外观一样的零件，其中9个零件的质量相等，另一个是次品轻一些，如果用天平称，至少称( )次一定能找出这个次品。
5．（2分）有13袋盐，其中12袋质量相同，另1袋稍微轻些是次品，用天平至少称( )次才能保证将次品找出来。
6．（2分）找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差( )。
7．（2分）如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量( )的一边会翘起，质量( )的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量( )时，天平才会平衡。
8．（2分）9个乒乓球中有1个是次品，已知次品比正品重，至少称( )次才能保证找到这个次品。
9．（2分）有13瓶同样的口香糖，其中12瓶的质量相同，另有一瓶少了几颗。如果用天平称，至少称( )次就能保证找出较轻的这瓶来。
10．（2分）武老师总结三分法：“找次品，平均分，最省心。分不均，尽力匀，相差一。”小红用三分法要在26袋盐中找到稍轻的一袋，要保证3次能找到次品，最合理的分组方法是26( )。
二、判断题（共10分）
11．（2分）12袋糖果中只有一袋质量不足，用无砝码的天平称，至少需要称3次才能找出质量不足的那一袋。( )
12．（2分）有九瓶水，其中一瓶质量稍重些，其余八瓶质量相同。用天平至少称3次保证能找出稍重的这瓶水。( )
13．（2分）有30瓶木糖醇，其中29瓶质量相同，另一瓶少了2粒。如果用天平称，至少称3次才能保证把质量少的木糖醇找出来。( )
14．（2分）81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
15．（2分）有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。( )
三、选择题（共10分）
16．（2分）有10个乒乓球，其中一个是略轻些的次品，用天平找次品时，（ ）分法比较合理。
A．（3，3，4） B．（2，3，5） C．（6，4，2） D．（4，4，2）
17．（2分）15瓶钙片，其中一瓶中少了几片，用天平称至少称（ ）次可以保证找出次品。
A．2 B．4 C．3 D．5
18．（2分）有27瓶同样的药品，其中有一瓶是次品（次品轻一些），用天平秤，要保证找出次品那一瓶，至少要称（ ）次。
A．3 B．4 C．5 D．6
19．（2分）下面说法中，不正确的有（ ）。
①自然数中最小的偶数是2。
②质数质数合数。
③如果一个长方体的侧面展开图是正方形，那么它的底面周长和高相等。
④7个零件，其中一个零件是次品（次品较轻），用天平称，至少称3次才能找出次品。
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
20．（2分）有5袋方便面，每袋250克，其中有一袋不足250克。如果用天平称，那么下面（ ）幅图表示称一次就刚好找出这袋较轻的方便面。
A． B．
C． D．
四、计算题（共6分）
21．（6分）脱式计算。
五、解答题（共54分）
22．（6分）有11盒饼干，其中10盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少几次可以保证找出这盒饼干？
23．（6分）有3个零件，其中1个轻一些，属于不合格产品，另外两个质量相同，至少称几次能保证找出这个次品？
24．（6分）有10个玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称几次才能保证找到它，请写出称的过程。
25．（6分）有9袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程用示意图表示出来）
26．（6分）一箱巧克力有50盒，其中有49盒质量相同，另有1盒质量稍轻一些，利用无砝码的天平称，至少称几次才能保证找出这盒巧克力？
27．（6分）质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
28．（6分）有27个大小、颜色均相同的弹力球，其中1个次品比正品轻一些。不用砝码，你能用天平把它称出来吗？至少几次可以称出来？
29．（6分）1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？
30．（6分）（1）质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些）。至少称几次能保证将这盒不合格的产品找出来？
（2）如果在天平的两端各放4盒产品，称一次有可能称出来吗？为什么？
参考答案
1．2/两/二
【分析】将7盒曲别针分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量较轻的一盒。
【解答】将质量轻的一盒当作次品。
第一次，将7盒曲别针分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将含有次品的3盒，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；由此可找到轻的一盒。
综上，在7盒曲别针中有一盒次品，如果用天平称，至少称2次可以保证找出这盒曲别针。
【点评】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3盒，体现公平性。
2．见详解
【分析】
找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。
【解答】
如图：
3．3
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】将11瓶水分成（4、4、3），先称（4、4），只考虑最不利的情况（即次品每次都在多的一组），不平衡，次品在4瓶中；将4瓶分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2瓶中；将2瓶分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。
至少称3次能保证找出这瓶盐水。
4．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】经分析得：
将10个分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3个，手里留4个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4个分为1，1，2，在天平两边各放1个，手里留2个，
①如果天平平衡，则次品在手里2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的1个中。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中，将这3个分成三份：1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个，
①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的1个中，
②如果天平平衡，则次品在手中的1个中。
故至少称3次一定能找出这个次品。
【点评】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
5．3/三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上升的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【解答】第一次，把13袋盐分成三份：（4，4，5），取4袋盐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的那袋盐在未取的一份中，若天平不平衡，取有次品的一份继续；
第二次，取有次品的一份（4袋）分成三份（1，1，2），取1袋盐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的那袋盐在未取的一份中，若天平不平衡，找到较轻的那袋盐。考虑最不利情况，较轻的未称出，在未取的2袋中；
第三次，将2袋盐分别放在天平的两侧，次品在天平较高的一端。
（注意：若第一次称后，次品在5袋盐的那一组，分成（2，2，1）三组进行称量，直到找出次品为止，同样是至少3次才保证找到次品。）
综上，用天平至少称3次才能保证将次品找出来。
【点评】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
6． 3 平均 1
【解答】找次品的最优策略：把待测物品分成3份。尽量平均分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1。
如12可以分成3份（4，4，4）；
不能平均分成3份的，要使每份分得数量尽量相差最少，如11（4，4，3）。
7． 轻 重 相等/一样
【解答】如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量轻的一边会翘起，质量重的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量相等时，天平才会平衡。
如图：，当左边砝码质量比长方体轻时，左边就会翘起，右边就会下沉；当左边砝码质量等于长方体质量时，天平才会平衡。
8．2
【分析】根据找次品的方法逐渐缩小次品的所在范围，直到找出次品。
【解答】将9个乒乓球分成（3，3，3）3份，第一次称重，任取2组放在天平两边，如果天平平衡，则次品在未取的一组，如果天平不平衡，次品在天平下沉一端；
第二次称重：将3个乒乓球分成（1，1，1）3份，任取2个放在天平两边，如果天平平衡，则次品是未取的那个，如果天平不平衡，次品在天平下沉一端；
所以至少称2次才能保证找到这个次品。
【点评】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
9．3/三
【分析】将13瓶分成3份：4，4，5；第一次称重，在天平两边各放4瓶，手里留5瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5瓶分为2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留l瓶，
A．如果天平平衡，则次品在手里；此时共称了2次。
B．如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；此时共称了2次。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的4瓶中，将这4瓶中的2瓶在天平两边各放1瓶，手里留2瓶，
A．如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中；此时共称了2次。
B．如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。此时共称了3次。
【解答】根据分析得，在13瓶口香糖中，要找出那瓶较轻的口香糖，如果用天平称，至少称3次就能保证找出较轻的这瓶来。
【点评】此题主要考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
10．9，9，8
【分析】由题意可知，要把待测物品尽量平均分成三份，若不能平均分，则个数相差1即可。
【解答】26÷3＝8（袋） 2（袋）
所以最合理的分组方法是把26分成（9，9，8）。
【点评】本题考查找次品问题，明确分成三份的方法是解题的关键。
11．√
【分析】根据题意，把12袋糖果平均分成3份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量不足的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4袋），分别在天平两侧放2袋，取较轻的一份继续；第三次，取含有较轻的2袋分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。据此解答。
【详解】第一次，把12袋糖果平均分成3份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量不足的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻的一份（4袋），分别在天平两侧放2袋，取较轻的一份继续；
第三次，取含有较轻的2袋分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋；
所以至少需要称3次才能找出质量不足的那一袋，原题说法正确；
故答案为：√。
【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取糖果的袋数。
12．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】其中一瓶质量稍重些，我们看作次品；
第一次在天平两边各放3瓶水，可能出现两种情况：
情况一：如果天平平衡，则次品在剩余的3瓶水之中，则进行第二次称量，即把剩余的3瓶中的2瓶分别放到两盘中，如果不平衡托盘下降者为次品，如果平衡，剩下的1瓶为次品；
情况二：如果天平不平衡，次品在托盘下降那边的三个里面，则进行第二次称量，取托盘下降的三瓶水中的两瓶放到左、右盘中，如果天平平衡，则剩余的那瓶是次品，如果不平衡，下降者为次品；
所以，总的来说，称两次就可以找出质量稍重些的一瓶，原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
13．×
【分析】把30瓶木糖醇分成3份：10瓶、10瓶、10瓶，取10瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；取含有较轻的一份，分成3份： 3瓶、3瓶、4瓶，在天平两侧各放3瓶，若天平平衡，则较轻的次品在剩下的4瓶中，若天平不平衡，取较轻的3瓶继续；若在3瓶中，再称一次即可找出较轻的那瓶；若在那4瓶中继续称；把4分成（1，1，2），在天平两侧各放1瓶，分别放在天平两侧，若天平不平衡，则次品是较轻的那瓶；若平衡，则次品在剩下的2瓶中，再称1次即可。
所以至少称4次可以保证质量少的木糖醇找出来。
【详解】由分析可知：
有30瓶木糖醇，其中29瓶质量相同，另一瓶少了2粒。如果用天平称，至少称4次才能保证把质量少的木糖醇找出来。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量的平均分成三份是解题的关键。
14．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
15．√
【分析】把20颗螺丝分成（7，7，6）三份。
第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
②如果次品在6颗一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
第三次：①把3颗分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的那颗在天平上升一端；
②如果次品在2颗一组里，则把2分成（1，1），把2颗螺丝放在天平上称，次品的那颗在天平上升一端。
【详解】所以有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】找次品，其策略是“一分为三，尽量均分”，解题过程中能很好地锻炼学生们的想象能力、推理能力。
16．A
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【解答】A．（3，3，4），有相同的两份，且最多的与最少的相差4－3＝1，分法合理；
B．（2，3，5），没有相同的两份，无法利用天平称重，分法不合理；
C．（6，4，2），没有相同的两份，无法利用天平称重，分法不合理；
D．（4，4，2），有相同的两份，但最多的与最少的相差4－2＝2，不符合“多的一份与少的一份只相差1”，分法不合理。
故答案为：A
【点评】掌握找次品的最优策略是解题的关键。
17．C
【分析】找次品的最优策略：①把待分物品分成3份；②每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1；据此分析解答。
【解答】第一次：将15瓶钙片平均分成3组，每组5瓶，天平两边各放一组，若天平平衡，则剩下的那组是较轻的，若天平不平衡，找出较轻的一组再称；
第二次：将较轻的一组（5瓶），分成3组（2，2，1），天平两边各放2瓶；如果平衡，则剩下的一瓶即是所求的，如果不平衡，找出较轻的2瓶再称；
第三次：天平两边各放一瓶，较轻的即为次品。
所以称3次就可以保证找出次品；
故答案为：C
18．A
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】经分析得：
将27瓶分成3份：9，9，9；第一次称重，在天平两边各放9瓶，手里留9瓶；
如果天平平衡，则次品在手里的9瓶，如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9瓶中；
接下来，将含有次品的9瓶分成3份：3，3，3；在天平两边各放3瓶，手里留3瓶；
如果天平平衡，则次品在手里的3瓶，如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3瓶中；
最后，将含有次品的3瓶分成3份：1，1，1。天平的两边分别放1瓶，手里留1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。
要保证找出次品那一瓶，至少要称3次。
故答案为：A
【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
19．A
【分析】自然数中最小的偶数是0；
质数是因数只有1和本身两个因数的数，合数是除了1和本身还有其他因数的数；
长方体的侧面展开图的长是底面周长，宽是长方体的高，如果一个长方体的侧面展开图是正方形，那么它的底面周长和高相等；
7个零件，其中一个零件是次品（次品较轻），用天平称，至少称2次才能找出次品。
【解答】①最小的偶数是0，①说法错误；
②质数和质数乘积的因数包含这两个质数、1以及这个乘积本身，乘积肯定是合数，②说法正确；
③如果一个长方体的侧面展开图是正方形，那么它的底面周长和高相等，③说法正确；
④7个零件，其中一个零件是次品（次品较轻），用天平称，至少称2次才能找出次品，④说法错误。
以上说法中不正确的有①④。
故答案为：A
【点评】此题考查知识点较多，理解质数、合数、偶数的定义，明确长方体展开图的特点是解题的关键。
20．B
【分析】由题意可知，次品的质量较轻，用天平找这袋质量较轻的方便面时，天平两边各放2袋方便面，如果此时天平刚好平衡，那么剩下的一袋方便面就是次品，这种情况下只称一次刚好找出次品，据此解答。
【解答】A．天平平衡，说明次品在剩下3袋方便面里面，需要继续称重才可以找出次品；
B．天平平衡，说明剩下的一袋方便面是次品，此时称一次刚好找出次品；
C．天平不平衡，说明次品在天平上翘的一组里面，需要继续称重才可以找出次品；
D．天平两端方便面的数量不相同，不能找出次品。
故答案为：B
【点评】本题主要考查找次品，掌握用天平称重找次品的方法是解答题目的关键。
21．；；
【分析】，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算；
，利用加法交换律，交换后边两个加数的位置，再计算；
，根据减法的性质，去括号，括号里的加号变减号，再从左往右算。
【详解】
22．3次
【分析】
找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将11盒饼干分成（4、4、3），先称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在其中4盒；将4盒分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2盒中；将2盒分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。
答：如果用天平称，至少3次可以保证找出这盒饼干。
23．1次
【分析】将3个零件其中两个分别放在天平两端，若天平平衡，则没有放在天平上的零件是次品；若不平衡，则天平向上一端的零件是次品。据此可得出答案。
【详解】将3个零件其中两个分别放在天平两端，若天平平衡，则没有放在天平上的零件是次品；若不平衡，则天平向上一端的零件是次品。即称量1次可保证找到次品。
答：至少称1次能保证找出这个次品。
【点睛】本题主要考查的是运用天平找次品，解题的关键是熟练掌握天平的使用原理来找到零件中的次品，进而得出答案。
24．3次；过程见详解
【分析】第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端；第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的，据此即可解答。
【详解】第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端。
第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡，进行第三次称重。
第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的。
答：至少称3次才能保证找到它。
【点睛】本题主要考查学生依据天平平衡原理解决问题的能力，要注意数量多的时候是尽可能的平均分成3份。
25．2次；见详解
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】分析可知，把9袋奶粉平均分成3份，每份3袋奶粉，找出次品所在的组，再把该组奶粉平均分成3份，每份1袋奶粉。
答：至少称2次才能保证找出这袋次品。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
26．4次
【分析】找次品中，可将50盒巧克力，分为24、24、2盒共3份，在天平上称相同数量的，如果平衡则将剩余两个分别放在天平两端，则天平上升的一端为质量稍轻的1盒；如果第一次称天平不平衡，则较轻的在向上的一端的24盒中，将之分为8、8、8三份，重复操作三次可得出答案。
【详解】至少需要称量4次；
过程：将50盒分成3份：24、24、2；第一次称重，在天平两边各放24个，手里留2个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的2盒分别在天平两边各放1个，次品在上升的天平托盘中；
（2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的24盒中，将这24盒分为：8、8、8三份，将任意两份放在天平两端。
a.如果天平平衡，将剩余8盒分成：3、3、2，再将3盒和3盒分别放在天平两端；若平衡将剩余2个分成：1、1，天平上升的一端为较轻的1盒；不平衡则将天平上升一端的3盒分成：1、1、1，任取两盒分别放在天平两端，若平衡则次品是剩下那一盒，若不平衡则是天平向上的一盒。
故至少称4次能保证找出次品。
【点睛】本题主要考查的是找次品的应用，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。
27．2次
【分析】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。
【详解】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次）
答：至少称2次能保证找出次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确质量轻的一盒是不合格产品。
28．能；3次
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】先把27个乒乓球分成（9、9、9），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中9个；再将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中3个；再将3个分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共3次。
答：能用天平把它称出来，至少称3次保证能找出这个次品球。
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
29．3次；作图见详解
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】
3次；
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
30．（1）2次
（2）称一次有可能找到不合格产品，因为如果在天平两侧各放4盒产品，天平平衡，则未取的一盒为不合格产品。
【分析】（1）根据题意，第一次把9盒产品平均分成3份，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻产品的一份中的3个分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个为不合格产品，若天平不平衡，较轻的为不合格产品。据此解答。
（2）如果在天平两侧各放4盒产品，天平平衡，则未取的一盒为不合格产品，所以称一次有可能找到不合格产品。据此解答。
【详解】（1）第一次把9盒产品平均分成3份，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻产品的一份中的3个分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个为不合格产品，若天平不平衡，较轻的为不合格产品。
答：至少称2次能保证将这盒不合格的产品找出来。
（2）称一次有可能找到不合格产品，因为如果在天平两侧各放4盒产品，天平平衡，则未取的一盒为不合格产品。
【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取产品的盒数。
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第八单元数学广角—找次品（知识梳理+拔高训练）二
知识梳理
知识点01：“找次品”问题的基本解决策略和方法
从3个物体中找一个质量不同的物体可以利用天平平衡原理称量；至少需要称1次就能保证找出次品。
把所有物品尽可能平均地分成 3 份，（如余 1 则放入到最后一份中；如余2 则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。
数目与测试的次数的关系
2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次；4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次；
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次；28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次；82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次；244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次。
知识点02：运用最优法找次品
找次品的最佳策略：一是把物体分成3份；二是每份数量尽量平均。
找次品的最优方法：①把待测物品分成3份；②要分得尽量平均，能够平均分的就平均分，不能平均分的，也应该使最多的1份与最少的1份相差1。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）有7盒规格为50根/盒的曲别针，其中6盒是正品，有1盒少装了2根。如果用天平称，至少称( )次可以保证找出这盒曲别针。
2．（2分）用天平找次品时，把下列数量的物品（每组只有1个次品，次品比正品轻一些）分成3份，怎样分称的次数最少？（在圆圈里填数）
3．（2分）有11瓶水，其中10瓶质量相同，另1瓶是盐水（略重一些）。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这瓶盐水。
4．（2分）有10个外观一样的零件，其中9个零件的质量相等，另一个是次品轻一些，如果用天平称，至少称( )次一定能找出这个次品。
5．（2分）有13袋盐，其中12袋质量相同，另1袋稍微轻些是次品，用天平至少称( )次才能保证将次品找出来。
6．（2分）找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差( )。
7．（2分）如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量( )的一边会翘起，质量( )的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量( )时，天平才会平衡。
8．（2分）9个乒乓球中有1个是次品，已知次品比正品重，至少称( )次才能保证找到这个次品。
9．（2分）有13瓶同样的口香糖，其中12瓶的质量相同，另有一瓶少了几颗。如果用天平称，至少称( )次就能保证找出较轻的这瓶来。
10．（2分）武老师总结三分法：“找次品，平均分，最省心。分不均，尽力匀，相差一。”小红用三分法要在26袋盐中找到稍轻的一袋，要保证3次能找到次品，最合理的分组方法是26( )。
二、判断题（共10分）
11．（2分）12袋糖果中只有一袋质量不足，用无砝码的天平称，至少需要称3次才能找出质量不足的那一袋。( )
12．（2分）有九瓶水，其中一瓶质量稍重些，其余八瓶质量相同。用天平至少称3次保证能找出稍重的这瓶水。( )
13．（2分）有30瓶木糖醇，其中29瓶质量相同，另一瓶少了2粒。如果用天平称，至少称3次才能保证把质量少的木糖醇找出来。( )
14．（2分）81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。( )
15．（2分）有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。( )
三、选择题（共10分）
16．（2分）有10个乒乓球，其中一个是略轻些的次品，用天平找次品时，（ ）分法比较合理。
A．（3，3，4） B．（2，3，5） C．（6，4，2） D．（4，4，2）
17．（2分）15瓶钙片，其中一瓶中少了几片，用天平称至少称（ ）次可以保证找出次品。
A．2 B．4 C．3 D．5
18．（2分）有27瓶同样的药品，其中有一瓶是次品（次品轻一些），用天平秤，要保证找出次品那一瓶，至少要称（ ）次。
A．3 B．4 C．5 D．6
19．（2分）下面说法中，不正确的有（ ）。
①自然数中最小的偶数是2。
②质数质数合数。
③如果一个长方体的侧面展开图是正方形，那么它的底面周长和高相等。
④7个零件，其中一个零件是次品（次品较轻），用天平称，至少称3次才能找出次品。
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
20．（2分）有5袋方便面，每袋250克，其中有一袋不足250克。如果用天平称，那么下面（ ）幅图表示称一次就刚好找出这袋较轻的方便面。
A． B．
C． D．
四、计算题（共6分）
21．（6分）脱式计算。
五、解答题（共54分）
22．（6分）有11盒饼干，其中10盒质量相同，另有1盒少了几块。如果用天平称，至少几次可以保证找出这盒饼干？
23．（6分）有3个零件，其中1个轻一些，属于不合格产品，另外两个质量相同，至少称几次能保证找出这个次品？
24．（6分）有10个玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称几次才能保证找到它，请写出称的过程。
25．（6分）有9袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程用示意图表示出来）
26．（6分）一箱巧克力有50盒，其中有49盒质量相同，另有1盒质量稍轻一些，利用无砝码的天平称，至少称几次才能保证找出这盒巧克力？
27．（6分）质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
28．（6分）有27个大小、颜色均相同的弹力球，其中1个次品比正品轻一些。不用砝码，你能用天平把它称出来吗？至少几次可以称出来？
29．（6分）1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？
30．（6分）（1）质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些）。至少称几次能保证将这盒不合格的产品找出来？
（2）如果在天平的两端各放4盒产品，称一次有可能称出来吗？为什么？
参考答案
1．2/两/二
【分析】将7盒曲别针分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量较轻的一盒。
【解答】将质量轻的一盒当作次品。
第一次，将7盒曲别针分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；
第二次，将含有次品的3盒，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；由此可找到轻的一盒。
综上，在7盒曲别针中有一盒次品，如果用天平称，至少称2次可以保证找出这盒曲别针。
【点评】利用天平的平衡原理解决问题，解答时注意，分组时是从中任意取3盒，体现公平性。
2．见详解
【分析】
找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。
【解答】
如图：
3．3
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】将11瓶水分成（4、4、3），先称（4、4），只考虑最不利的情况（即次品每次都在多的一组），不平衡，次品在4瓶中；将4瓶分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2瓶中；将2瓶分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。
至少称3次能保证找出这瓶盐水。
4．3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】经分析得：
将10个分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3个，手里留4个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4个分为1，1，2，在天平两边各放1个，手里留2个，
①如果天平平衡，则次品在手里2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的1个中。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中，将这3个分成三份：1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个，
①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的1个中，
②如果天平平衡，则次品在手中的1个中。
故至少称3次一定能找出这个次品。
【点评】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
5．3/三
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上升的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【解答】第一次，把13袋盐分成三份：（4，4，5），取4袋盐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的那袋盐在未取的一份中，若天平不平衡，取有次品的一份继续；
第二次，取有次品的一份（4袋）分成三份（1，1，2），取1袋盐的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的那袋盐在未取的一份中，若天平不平衡，找到较轻的那袋盐。考虑最不利情况，较轻的未称出，在未取的2袋中；
第三次，将2袋盐分别放在天平的两侧，次品在天平较高的一端。
（注意：若第一次称后，次品在5袋盐的那一组，分成（2，2，1）三组进行称量，直到找出次品为止，同样是至少3次才保证找到次品。）
综上，用天平至少称3次才能保证将次品找出来。
【点评】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
6． 3 平均 1
【解答】找次品的最优策略：把待测物品分成3份。尽量平均分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1。
如12可以分成3份（4，4，4）；
不能平均分成3份的，要使每份分得数量尽量相差最少，如11（4，4，3）。
7． 轻 重 相等/一样
【解答】如果把质量不同的两个物体分别放在天平的左右两边，质量轻的一边会翘起，质量重的一边会下沉。当天平的左右两边放入的物体质量相等时，天平才会平衡。
如图：，当左边砝码质量比长方体轻时，左边就会翘起，右边就会下沉；当左边砝码质量等于长方体质量时，天平才会平衡。
8．2
【分析】根据找次品的方法逐渐缩小次品的所在范围，直到找出次品。
【解答】将9个乒乓球分成（3，3，3）3份，第一次称重，任取2组放在天平两边，如果天平平衡，则次品在未取的一组，如果天平不平衡，次品在天平下沉一端；
第二次称重：将3个乒乓球分成（1，1，1）3份，任取2个放在天平两边，如果天平平衡，则次品是未取的那个，如果天平不平衡，次品在天平下沉一端；
所以至少称2次才能保证找到这个次品。
【点评】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
9．3/三
【分析】将13瓶分成3份：4，4，5；第一次称重，在天平两边各放4瓶，手里留5瓶；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5瓶分为2，2，1，在天平两边各放2瓶，手里留l瓶，
A．如果天平平衡，则次品在手里；此时共称了2次。
B．如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；此时共称了2次。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的4瓶中，将这4瓶中的2瓶在天平两边各放1瓶，手里留2瓶，
A．如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中；此时共称了2次。
B．如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中；接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。此时共称了3次。
【解答】根据分析得，在13瓶口香糖中，要找出那瓶较轻的口香糖，如果用天平称，至少称3次就能保证找出较轻的这瓶来。
【点评】此题主要考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
10．9，9，8
【分析】由题意可知，要把待测物品尽量平均分成三份，若不能平均分，则个数相差1即可。
【解答】26÷3＝8（袋） 2（袋）
所以最合理的分组方法是把26分成（9，9，8）。
【点评】本题考查找次品问题，明确分成三份的方法是解题的关键。
11．√
【分析】根据题意，把12袋糖果平均分成3份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量不足的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4袋），分别在天平两侧放2袋，取较轻的一份继续；第三次，取含有较轻的2袋分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。据此解答。
【详解】第一次，把12袋糖果平均分成3份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，在质量不足的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻的一份（4袋），分别在天平两侧放2袋，取较轻的一份继续；
第三次，取含有较轻的2袋分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋；
所以至少需要称3次才能找出质量不足的那一袋，原题说法正确；
故答案为：√。
【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取糖果的袋数。
12．×
【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。
【详解】其中一瓶质量稍重些，我们看作次品；
第一次在天平两边各放3瓶水，可能出现两种情况：
情况一：如果天平平衡，则次品在剩余的3瓶水之中，则进行第二次称量，即把剩余的3瓶中的2瓶分别放到两盘中，如果不平衡托盘下降者为次品，如果平衡，剩下的1瓶为次品；
情况二：如果天平不平衡，次品在托盘下降那边的三个里面，则进行第二次称量，取托盘下降的三瓶水中的两瓶放到左、右盘中，如果天平平衡，则剩余的那瓶是次品，如果不平衡，下降者为次品；
所以，总的来说，称两次就可以找出质量稍重些的一瓶，原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。
13．×
【分析】把30瓶木糖醇分成3份：10瓶、10瓶、10瓶，取10瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续；取含有较轻的一份，分成3份： 3瓶、3瓶、4瓶，在天平两侧各放3瓶，若天平平衡，则较轻的次品在剩下的4瓶中，若天平不平衡，取较轻的3瓶继续；若在3瓶中，再称一次即可找出较轻的那瓶；若在那4瓶中继续称；把4分成（1，1，2），在天平两侧各放1瓶，分别放在天平两侧，若天平不平衡，则次品是较轻的那瓶；若平衡，则次品在剩下的2瓶中，再称1次即可。
所以至少称4次可以保证质量少的木糖醇找出来。
【详解】由分析可知：
有30瓶木糖醇，其中29瓶质量相同，另一瓶少了2粒。如果用天平称，至少称4次才能保证把质量少的木糖醇找出来。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量的平均分成三份是解题的关键。
14．×
【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品；
第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。
【详解】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。
故答案为：×
【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
15．√
【分析】把20颗螺丝分成（7，7，6）三份。
第一次：把两个7颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
第二次：①把7分成（3，3，1）三份，把两个3颗一组的放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
②如果次品在6颗一组里，则把6分成（2，2，2），任取两组放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗在未取的一份中，若天平不平衡，次品的一颗在天平上升一端；
第三次：①把3颗分成（1，1，1），任取两颗放在天平上称，若天平平衡，则次品的一颗是未取的那颗，若天平不平衡，次品的那颗在天平上升一端；
②如果次品在2颗一组里，则把2分成（1，1），把2颗螺丝放在天平上称，次品的那颗在天平上升一端。
【详解】所以有20颗螺丝，其中有一颗轻一些，用天平称，至少称3次就能找出这颗轻一些的次品。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】找次品，其策略是“一分为三，尽量均分”，解题过程中能很好地锻炼学生们的想象能力、推理能力。
16．A
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【解答】A．（3，3，4），有相同的两份，且最多的与最少的相差4－3＝1，分法合理；
B．（2，3，5），没有相同的两份，无法利用天平称重，分法不合理；
C．（6，4，2），没有相同的两份，无法利用天平称重，分法不合理；
D．（4，4，2），有相同的两份，但最多的与最少的相差4－2＝2，不符合“多的一份与少的一份只相差1”，分法不合理。
故答案为：A
【点评】掌握找次品的最优策略是解题的关键。
17．C
【分析】找次品的最优策略：①把待分物品分成3份；②每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1；据此分析解答。
【解答】第一次：将15瓶钙片平均分成3组，每组5瓶，天平两边各放一组，若天平平衡，则剩下的那组是较轻的，若天平不平衡，找出较轻的一组再称；
第二次：将较轻的一组（5瓶），分成3组（2，2，1），天平两边各放2瓶；如果平衡，则剩下的一瓶即是所求的，如果不平衡，找出较轻的2瓶再称；
第三次：天平两边各放一瓶，较轻的即为次品。
所以称3次就可以保证找出次品；
故答案为：C
18．A
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】经分析得：
将27瓶分成3份：9，9，9；第一次称重，在天平两边各放9瓶，手里留9瓶；
如果天平平衡，则次品在手里的9瓶，如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9瓶中；
接下来，将含有次品的9瓶分成3份：3，3，3；在天平两边各放3瓶，手里留3瓶；
如果天平平衡，则次品在手里的3瓶，如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3瓶中；
最后，将含有次品的3瓶分成3份：1，1，1。天平的两边分别放1瓶，手里留1瓶，称重第三次就可以鉴别出次品。
要保证找出次品那一瓶，至少要称3次。
故答案为：A
【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。
19．A
【分析】自然数中最小的偶数是0；
质数是因数只有1和本身两个因数的数，合数是除了1和本身还有其他因数的数；
长方体的侧面展开图的长是底面周长，宽是长方体的高，如果一个长方体的侧面展开图是正方形，那么它的底面周长和高相等；
7个零件，其中一个零件是次品（次品较轻），用天平称，至少称2次才能找出次品。
【解答】①最小的偶数是0，①说法错误；
②质数和质数乘积的因数包含这两个质数、1以及这个乘积本身，乘积肯定是合数，②说法正确；
③如果一个长方体的侧面展开图是正方形，那么它的底面周长和高相等，③说法正确；
④7个零件，其中一个零件是次品（次品较轻），用天平称，至少称2次才能找出次品，④说法错误。
以上说法中不正确的有①④。
故答案为：A
【点评】此题考查知识点较多，理解质数、合数、偶数的定义，明确长方体展开图的特点是解题的关键。
20．B
【分析】由题意可知，次品的质量较轻，用天平找这袋质量较轻的方便面时，天平两边各放2袋方便面，如果此时天平刚好平衡，那么剩下的一袋方便面就是次品，这种情况下只称一次刚好找出次品，据此解答。
【解答】A．天平平衡，说明次品在剩下3袋方便面里面，需要继续称重才可以找出次品；
B．天平平衡，说明剩下的一袋方便面是次品，此时称一次刚好找出次品；
C．天平不平衡，说明次品在天平上翘的一组里面，需要继续称重才可以找出次品；
D．天平两端方便面的数量不相同，不能找出次品。
故答案为：B
【点评】本题主要考查找次品，掌握用天平称重找次品的方法是解答题目的关键。
21．；；
【分析】，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算；
，利用加法交换律，交换后边两个加数的位置，再计算；
，根据减法的性质，去括号，括号里的加号变减号，再从左往右算。
【详解】
22．3次
【分析】
找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】将11盒饼干分成（4、4、3），先称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在其中4盒；将4盒分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2盒中；将2盒分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。
答：如果用天平称，至少3次可以保证找出这盒饼干。
23．1次
【分析】将3个零件其中两个分别放在天平两端，若天平平衡，则没有放在天平上的零件是次品；若不平衡，则天平向上一端的零件是次品。据此可得出答案。
【详解】将3个零件其中两个分别放在天平两端，若天平平衡，则没有放在天平上的零件是次品；若不平衡，则天平向上一端的零件是次品。即称量1次可保证找到次品。
答：至少称1次能保证找出这个次品。
【点睛】本题主要考查的是运用天平找次品，解题的关键是熟练掌握天平的使用原理来找到零件中的次品，进而得出答案。
24．3次；过程见详解
【分析】第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端；第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的，据此即可解答。
【详解】第一次：把10个玻璃珠平均分成两份，每份5个，分别放在天平秤两端。
第二次：从天平秤较高端的5个玻璃珠中任取4个，平均分成两份，每份2个，若天平秤平衡，则未取那个玻璃珠即为较轻的，若天平秤不平衡，进行第三次称重。
第三次：把天平秤较高端的2个玻璃珠，分别放在天平秤两端，较高端的即为较轻的。
答：至少称3次才能保证找到它。
【点睛】本题主要考查学生依据天平平衡原理解决问题的能力，要注意数量多的时候是尽可能的平均分成3份。
25．2次；见详解
【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【详解】分析可知，把9袋奶粉平均分成3份，每份3袋奶粉，找出次品所在的组，再把该组奶粉平均分成3份，每份1袋奶粉。
答：至少称2次才能保证找出这袋次品。
【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
26．4次
【分析】找次品中，可将50盒巧克力，分为24、24、2盒共3份，在天平上称相同数量的，如果平衡则将剩余两个分别放在天平两端，则天平上升的一端为质量稍轻的1盒；如果第一次称天平不平衡，则较轻的在向上的一端的24盒中，将之分为8、8、8三份，重复操作三次可得出答案。
【详解】至少需要称量4次；
过程：将50盒分成3份：24、24、2；第一次称重，在天平两边各放24个，手里留2个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的2盒分别在天平两边各放1个，次品在上升的天平托盘中；
（2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的24盒中，将这24盒分为：8、8、8三份，将任意两份放在天平两端。
a.如果天平平衡，将剩余8盒分成：3、3、2，再将3盒和3盒分别放在天平两端；若平衡将剩余2个分成：1、1，天平上升的一端为较轻的1盒；不平衡则将天平上升一端的3盒分成：1、1、1，任取两盒分别放在天平两端，若平衡则次品是剩下那一盒，若不平衡则是天平向上的一盒。
故至少称4次能保证找出次品。
【点睛】本题主要考查的是找次品的应用，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。
27．2次
【分析】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。
【详解】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次）
答：至少称2次能保证找出次品。
【点睛】本题属于找次品问题，需要明确质量轻的一盒是不合格产品。
28．能；3次
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】先把27个乒乓球分成（9、9、9），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中9个；再将9个分成（3、3、3），称（3、3），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中3个；再将3个分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共3次。
答：能用天平把它称出来，至少称3次保证能找出这个次品球。
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
29．3次；作图见详解
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【详解】
3次；
【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。
30．（1）2次
（2）称一次有可能找到不合格产品，因为如果在天平两侧各放4盒产品，天平平衡，则未取的一盒为不合格产品。
【分析】（1）根据题意，第一次把9盒产品平均分成3份，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻产品的一份中的3个分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个为不合格产品，若天平不平衡，较轻的为不合格产品。据此解答。
（2）如果在天平两侧各放4盒产品，天平平衡，则未取的一盒为不合格产品，所以称一次有可能找到不合格产品。据此解答。
【详解】（1）第一次把9盒产品平均分成3份，取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一个在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；
第二次，取含有较轻产品的一份中的3个分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一个为不合格产品，若天平不平衡，较轻的为不合格产品。
答：至少称2次能保证将这盒不合格的产品找出来。
（2）称一次有可能找到不合格产品，因为如果在天平两侧各放4盒产品，天平平衡，则未取的一盒为不合格产品。
【点睛】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取产品的盒数。
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