第七单元用方程解决问题（知识梳理+拔高训练）一-2024-2025学年五年级数学下学期培优检测卷（北师大版）

中小学教育资源及组卷应用平台
第七单元用方程解决问题（知识梳理+拔高训练）一
知识梳理
知识点01：解形如“ax±x=b”类型的方程
根据乘法分配律和等式的性质来解，具体步骤如下：
ax±x=b
解：(a±1)x=b
x=b÷(a±1)
知识点02：解如“ax±x=b”类型的方程
根据乘法分配律和等式的性质来解，具体步骤如下：
ax±bx=c
解:(a±b)x=c
x=c÷(a±b)
知识点03：解决相遇问题
可以根据“速度和×相遇时间=路程和”这个等量关系来列方程。
速度和×相遇时间=路程和；路程和÷相遇时间=速度和；路程和÷速度和=相遇时间。
知识点04：方程法解题
就是把题中的末知量用x表示，使未知量x与已知量处于同等地位，直接参加运算。根据题意先找出等量关系，列出含有末知数的等式，再求得未知量的值的一种解题方法。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）
一辆货车和一辆轿车分别从两地同时出发，相向而行，行驶了x时后相遇。
方程：86x＋72x＝316
补充的条件是：
2．（2分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行60km，乙车每小时行80km，经过小时两车相遇，A、B两地相距( )km。
3．（2分）聪聪和妈妈一起随旅游团游览王家大院，经导游介绍，聪聪了解到：王家大院高家崖建筑群的房屋有342间，比大小院落数量的9倍还多27，根据这些信息，聪聪提出了一个数学问题，并用方程“9x＋27＝342”来解决。请你推断一下，他提出的问题是( )，这个方程的解是( )。
4．（2分）芳芳做乘法计算题时，把其中一个因数32当作23来算，结果得到的积比正确的积少了432，那么，另一个因数是( )，正确的积应该是( )。
5．（2分）某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配( )人生产螺栓，( )人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套。（每个螺栓配两个螺帽）
6．（2分）登山自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，两位性急的孩子要从扶梯向上走，已知男孩子每分钟走20级台阶，女孩子每分钟走16级，结果男孩子用了6分钟到达山顶，女孩子用了7分钟到达山顶。则该扶梯共有( )级。
7．（2分）工厂接到加工300个零件的订单，先由张师傅独自加工3小时，每时加工12个，后又安排王师傅也参与加工，王师傅每时加工10个，完成这批零件订单共用了( )时。
8．（2分）公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟，全程走15分钟，某人骑自行车从乙站往甲站行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见10辆，到甲站时又一辆公交车刚要出发，这人走了( )分钟。
9．（2分）百达电影院在1时内售出甲、乙两种电影票一共30张，甲电影票35元一张，乙电影票25元一张，共收入950元。其中售出甲电影票( )张，乙电影票( )张。
10．（2分）如图所示，用火柴棒按下图的方式摆等腰梯形：摆1个等腰梯形需要4×1＋1＝5（根）火柴棒，摆2个等腰梯形需要4×2＋1＝9（根）火柴棒，摆3个等腰梯形需要4×3＋1＝13（根）火柴棒……
(1)像这样摆下去，摆m个等腰梯形一共需要( )根火柴棒。
(2)有101根火柴棒，可以摆( )个这样的等腰梯形。
二、判断题（共10分）
11．（2分）A、B两地之间相距1800千米，甲、乙两辆卡车从两地同时相对开出，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米，经过几小时两车相遇？
列式是：1800÷50=36（小时）
1800÷40=45（小时）
45＋36=81（小时） ( )
12．（2分）计算图中两条彩带一共长多少米，列出的方程是6.9＝x＋2.7。
13．（2分）m的5倍比它的2倍多10，列式为5m－2m＝10。( )
14．（2分）3x＋0.7＝3.4的解是x＝0.9。( )
15．（2分）比一个数的3倍还多12的数是50，那么这个数是162。( )
三、选择题（共10分）
16．（2分）一套桌椅的售价为196元，一张桌子的售价比一把椅子的售价的3倍少8元，一张桌子、一把椅子的售价分别是多少元？设一把椅子的售价为元，列式正确的是（ ）。
A． B． C． D．
17．（2分）下面不能用方程“”来表示的是（ ）。
A． B．
C． D．
18．（2分）两地相距360千米，甲乙两辆货车从两地相对开出，经过3小时后相遇，已知甲货车每时行驶55千米，乙货车每时行驶千米，不正确的方程为（ ）。
A． B．
C． D．
19．（2分）为创建全国文明城市，学校开展“我是文明使者，争当最美少年”实践活动。四、五年级学生共有240人报名参加文明交通志愿者行动，其中五年级报名人数是四年级的2倍，五年级有（ ）人报名参加文明交通志愿者行动。
A．80 B．200 C．100 D．160
20．（2分）六一节当天，奇思和淘气这对好朋友相约同时从家里出发，在途中交换一份亲手为对方创作的六一节礼物。已知他们两家相1100米，淘气的步行速度约为60米/分。10分钟后他们相遇了。下列说法正确的是（ ）。
A．相遇的地点离淘气家近一些
B．奇思的速度比淘气快
C．相遇时淘气走的路程更长。
D．交换礼物后，如果保持速度不变，淘气先到家。
四、计算题（共12分）
21．（6分）看图列方程并解答。
22．（6分）看图列式或列方程计算。
五、解答题（共48分）
23．（6分）六一儿童节这天，中一班的王老师买来了一袋糖果准备分给小朋友们。如果每名小朋友分4个，那么还剩10个；如果每名小朋友分5个，那么就差5个。有多少名小朋友？
24．（6分）原来甲桶水比乙桶水多24千克，甲桶水用去8千克、乙桶水用去2千克后，甲桶水的质量是乙桶水的1.5倍，原来两桶水各重多少千克？
25．（6分）学校买来篮球和足球若干个，篮球个数是足球的4倍，已知足球比篮球少12个，篮球和足球各有多少个？（列方程解答）
26．（6分）五（1）班进行男女生夹弹珠比赛。女生比男生多夹了60个，女生夹弹珠的个数是男生的3倍。男女生各夹了多少个弹珠？（先写出等量关系，再用方程解答。）
（1）等量关系：
（2）解答：
27．（6分）小刚和小强两人同时从家里出发，相向而行。
两人经过几分钟相遇？在图中用“”标出相遇时的大致位置。相遇时，小强走了多少米？
28．（6分）青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，东起青海西宁，南至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，已知快车的速度为85千米/时，慢车的速度为78千米/时。两列火车行驶多少时相遇？（先写出等量关系，再列方程解答。）
29．（6分）甲、乙两个工程队同时开始合修一条长为420千米的铁路，若甲队每天修0.96千米，乙队每天修1.14千米。经过多少天甲、乙两个工程队才能修完这条铁路？（列方程解答）
30．（6分）端午节假期，小青乘火车回家，到车站后，爸爸骑车接她。爸爸以80米/分的速度去火车站，小青以20米/分的速度从火车站同时出发，已知小青家与火车站的距离为1200米。
（1）估计他们在何处相遇，在图中标出来。
（2）他们几分钟后相遇？（用方程解答）相遇点离家多少米？
参考答案
1．两地相距316千米
2．140x
【分析】根据行程问题的关系量：路程＝速度×时间，甲的路程＝60×x，乙的路程＝80×x，然后把甲、乙的路程加起来就是A、B两地的距离，据此解答。
【解答】甲的路程是：60×x＝60xkm
乙的路程是：80×x＝80xkm
甲、乙的路程和，即A、B两地相距：60x＋80x＝140xkm
故答案为：140x
【点评】此题考查的是相遇问题，注意要用字母表示数。
3．高家崖建筑群的大小院落有多少间 x＝35
【分析】已知高家崖建筑群的房屋比大小院落数量的9倍还多27，设大小院落数量有x间，可得高家崖建筑群的房屋有9x＋27间，即可得到题目中的方程；解上步所得方程，方程的解是大小院落数量，据此不难推断提出的问题。
【解答】解：设大小院落数量有x间，则高家崖建筑群的房屋有9x＋27间。
9x＋27＝342
9x＋27－27＝342－27
9x＝342－27
9x＝315
x＝35
他提出的问题是“高家崖建筑群的大小院落有多少间”，这个方程的解是x＝35。
【点评】本题是一道有关利用方程求解的题目，关键在于找出等量关系。
4． 48 1536
【分析】设另一个因数是x，那么正确的积就是32x，错误的积是23x，两个积之间的差是432，列方程：32x－23x＝432，解方程，求出另一个因数，进而求出正确的积。
【解答】解：设另一个因数是x。
32x－23x＝432
9x＝432
x＝432÷9
x＝48
32×48＝1536
芳芳做乘法计算题时，把其中一个因数32当作23来算，结果得到的积比正确的积少了432，那么，另一个因数是48，正确的积应该是1536。
【点评】本题考查方程的实际应用，根据两次运算的差，设出未知数，找出相关的量，求出另一个因数，进而解答。
5．15 45
【分析】每个螺栓配两个螺帽， 要使生产的螺栓和螺帽刚好配套，则螺帽的数量是螺栓的2倍。螺栓的数量＝15×生产螺栓的人数，螺帽的数量＝10×生产螺帽的人数。设应分配x人生产螺栓，（60－x）人生产螺帽，根据数量关系式：螺帽的数量＝2×螺栓的数量，列出方程求出方程的解。
【解答】设：应分配x人生产螺栓，（60－x）人生产螺帽。
螺帽：60－15＝45（人）
则应分配15人生产螺栓，45人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套。
6．168
【分析】根据题意可知，自动扶梯的可见级数是固定的，人上升的速度应为：人速度＋扶梯速度，男孩和女孩走的扶梯的级数相等，设：扶梯的速度为x级/分，男孩走的级数为：6×（20＋x），女孩走的级数为：7×（16＋x），男孩和女孩走的级数相等，列方程：6×（20＋x）＝7×（16＋x），解方程，求出扶梯每分钟的级数，进而求出扶梯共有多少级。
【解答】解：设扶梯速度为x级/分钟
6×（20＋x）＝7×（16＋x）
120＋6x＝112＋7x
7x－6x＝120－112
x＝8
6×（20＋8）
＝6×28
＝168（级）
【点评】本题的关键是人走，扶梯也走，人上升的速度是人的速度和扶梯的速度的和，列方程，解方程。
7．15
【分析】可以设王师傅加工了x小时，由于张师傅独自加工3小时，则张师傅加工了：（x＋3）小时，张师傅加工的数量＋王师傅加工的数量＝300，由此即可列出方程，再根据等式的性质解方程即可，最后求出x的值再加3小时就是完成这批订单用的时间。
【解答】解：设王师傅加工了x小时，则张师傅加工了：（x＋3）小时。
10x＋12×（x＋3）＝300
10x＋12x＋36＝300
22x＝300－36
22x＝264
x＝264÷22
x＝12
12＋3＝15（小时）
【点评】本题主要考查列方程解应用题，找准等量关系是解题的关键。
8．40
【分析】公交车全程走15分钟，每间隔5分钟发一趟车，他出发时，正好一辆公交车到站。由此可知，15÷5＝3，路上有3－1＝2（辆）公交车，且甲站有1辆公交车要发车。根据题意，只要求出从他出发开始，一共发了多少辆车即可求出他骑行了多少时间。他全程一共遇见了10辆，减去他出发时已经在路上的2辆，即一共发车了8辆。
【解答】据分析：他出发时路上有：（15÷5）－1
＝3－1
＝2（辆）
他从出发到甲站，要经过：
5×（10－2）
＝5×8
＝40（分钟）
【点评】此题属于多次相遇问题，考查学生分析问题的能力，可以画线段图来便于理解。
9． 20 10
【分析】根据题意可设甲电影票售出未知数x张，则乙电影票售出张，已知甲、乙电影票得单价，根据总价＝单价×数量，可列出方程解出答案。
【解答】设甲电影票售出未知数x张，则乙电影票售出张，可列出方程：
即甲电影票售出20张，乙电影票售出（张）。
10．(1)4m＋1/1＋4m
(2)25
【分析】（1）摆1个等腰梯形需要4×1＋1＝5根火柴棒，摆2个等腰梯形需要4×2＋1＝9根火柴棒，摆3个等腰梯形需要4×3＋1＝13根火柴棒，……，摆m个等腰梯形需要4×m＋1＝（4m＋1）根火柴棒，据此解答。
（2）求有101根火柴棒，可以摆多少个这样的等腰梯形，即4m＋1＝101，据此求出m的值即可解答。
【解答】（1）摆1个等腰梯形需要4×1＋1＝5根火柴棒，
摆2个等腰梯形需要4×2＋1＝9根火柴棒，
摆3个等腰梯形需要4×3＋1＝13根火柴棒，
摆m个等腰梯形需要4×m＋1＝（4m＋1）根火柴棒。
（2）4m＋1＝101
解：4m＋1－1＝101－1
4m＝100
4m÷4＝100÷4
m＝25
可以摆25个这样的等腰梯形。
11．错误
【解答】1800÷（50+40）=20（小时）
故答案为错误.
12．×
【分析】设第一条彩带长x米，则第二条长x＋2.7米，又知第二条长6.9米，所以可得方程6.9＝x＋2.7，解方程得到的x为第一条彩带长，再与第二条长度相加才得两条彩带一共长多少米。
【解答】解：设第一条彩带长x米，
x＋2.7＝6.9
x＋2.7﹣2.7＝6.9﹣2.7
x＝4.2
4.2＋6.9＝11.1（米）
故答案为：×。
【点晴】本题考查了列方程解应用题，注意求得的x不是两条彩带一共的长度。
13．√
【解答】根据题中的数量关系，可列方程为：5m－2m＝10。
故答案为：√
14．√
【分析】根据题意，把x＝0.9代入方程3x＋0.7＝3.4，能使方程左右两边相等的，就是方程的解，否则不是。
【解答】把x＝0.9代入方程3x＋0.7＝3.4
左边为：
3×0.9＋0.7
＝2.7＋0.7
＝3.4
右边＝3.4
左边＝右边，所以，x＝0.9是方程3x＋0.7＝3.4的解。
故答案为：√
【点评】可以根据方程的解的检验方法，把方程的解代入原方程，能使方程左右两边相等的，就是方程的解。
15．×
【解答】设这个数是x，依据题意3x加12等于50可列方程：3x＋12＝50，依据等式的性质，方程两边同时减12，再同时除以3求解。
【解答】解：设这个数是x
3x＋12＝50
3x＋12－12＝50－12
3x＝38
3x÷3＝38÷3
x＝
这个数是。
所以这个数是，原题干计算错误；
故答案为：×
【点评】列出方程并依据等式的性质解方程是本题考查知识点。
16．D
【分析】一张桌子的售价比一把椅子的售价的3倍少8元，一把椅子的售价为元，则一张桌子的售价为元，一套桌椅的售价为196元，一张桌子的售价加上一把椅子的售价等于一套桌椅的售价，由此可列式。
【解答】由分析可知，一张桌子的售价＋一张椅子的售价＝一套桌椅的售价，设一把椅子的售价为元，则列方程为：
故答案为：D
17．D
【分析】把x看作单位“1”，x的就是x，方程表示x与x的和是60。据此选择即可。
【解答】A．把x看作单位“1”平均分成3份，这样的1份占单位“1”的，即，观察线段图可知：x与x的和是60，可以列出方程。
B．把x看作单位“1”平均分成3份，这样的1份占单位“1”的，即，观察线段图可知：x与x的和是60，可以列出方程。
C．把阴影部分（x平方米）看作单位“1”平均分成3份，这样的1份占阴影部分的，这样的1份的面积是x平方米，阴影部分的面积和x平方米的和是60，可以列出方程。
D．把阴影部分（x平方米）看作单位“1”平均分成2份，这样的1份占阴影部分的，这样的1份的面积是x平方米，阴影部分的面积和x平方米的和是60，可以列出方程。
故答案为：D
【点评】解决此题关键是明确单位“1”及等量关系式。
18．B
【分析】由题意可知，本题的等量关系式：①客车所行的路程＋货车所行的路程＝两地之间的距离；②速度之和×相遇时间＝两地路程；③货车所行的路程＝两地之间的距离－客车所行的路程；由此分别列方程解答即可。
【解答】A．符合等量关系式①，此方程正确；
B．等量关系错误，此方程不正确；
C．符合等量关系式②，此方程正确；
D．符合等量关系式③，此方程正确；
故答案为：B
【点评】本题主要考查列方程解决实际问题的能力，关键是要分析题意、找准等量关系式。
19．D
【分析】将四年级报名的人数设为x人，那么五年级有2x人报名。根据“四年级报名人数＋五年级报名人数＝240人”这一等量关系，列方程解方程即可。
【解答】解：设四年级有x人报名。
x＋2x＝240
3x＝240
x＝240÷3
x＝80
80×2＝160（人）
所以，五年级有160人报名参加文明交通志愿者行动。
故答案为：D
【点评】本题考查了简易方程的应用，根据题意找出数量关系是解题的关键。
20．C
【分析】先根据：速度＝路程÷时间，求出两人的速度和，再求出奇思的速度；然后再逐项进行分析判断，即可解答。
【解答】1100÷10＝110（米/分）；110－60＝50（米/分）。
A．60＞50，相遇的地点更靠近奇思家，原题干说法错误；
B．60＞50，奇思的速度比淘气慢，原题干说法错误；
C．60＞50，相遇时，淘气的路程更长，原题干说法正确；
D．10分钟后，他们相遇，交换礼物后，如果保持速度不变，两人同时到家，原题干说法错误。
故答案为：C
【点评】利用速度、时间和路程三者的关系，求出两人的速度，进而解答问题。
21．见详解
【分析】由图知：男生有x人，女生人数是男生的3倍，则女生有3x人，男生女生共48人，据此列出方程，解此方程可得男生女生各自的人数。
【解答】
解：
女生有：（人）
男生有12人，女生有36人。
22．52分
【分析】
由线段图以及相遇问题的公式，可得出等量关系：速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列出方程，并求解。
【解答】（5＋3）＝416
解：8＝416
8÷8＝416÷8
＝52
经过52分后相遇。
23．15名
【分析】设有x名小朋友。如果每名小朋友分4个，还剩10个，则x名小朋友一共分了4x个，加上剩下的10个，可得这袋糖果一共有（4x＋10）个；如果每名小朋友分5个，一共分了5x个，再减去差的5个，可知这袋糖果一共有（5x－5）个。糖果的总个数不变，据此列出方程：4x＋10＝5x－5，根据等式的性质解出方程即可。
【解答】解：设有x名小朋友。
4x＋10＝5x－5
10＝5x－5－4x
10＝x－5
10＋5＝x
x＝15
答：有15名小朋友。
24．甲桶水：62千克；乙桶水：38千克
【分析】设甲桶水重x千克，甲桶水比乙用水多24千克，则乙桶水为（x－24）千克，甲桶水用去8千克，还剩（x－8）千克，乙桶水用去2千克，乙桶水还剩（x－24－2）千克，甲桶水的质量是乙桶水的1.5倍，即甲桶水用去8千克后剩下的水的质量＝乙水桶用去2千克后×1.5，列方程：x－8＝（x－24－2）×1.5，解方程，即可解答。
【解答】解：设甲水桶重x千克，则乙水桶重x－24千克。
x－8＝（x－24－2）×1.5
x－8＝1.5x－24×1.5－2×1.5
1.5x－x＝24×1.5＋2×1.5－8
0.5x＝36＋3－8
0.5x＝39－8
0.5x＝31
x＝31÷0.5
x＝62
乙桶水重：62－24＝38（千克）
答：甲桶水重62千克，乙桶水重38千克。
【点评】本题考查方程的实际应用，利用甲桶水的质量与乙桶水质量之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
25．篮球有16个，足球有4个
【分析】设足球有x个，则篮球有4x个，根据等量关系：篮球个数－足球的个数＝12个，列方程解答即可。
【解答】解：设足球有x个，则篮球有4x个。
4x－x＝12
3x＝12
3x÷3＝12÷3
x＝4
4＋12＝16（个）
答：篮球有16个，足球有4个。
【点评】本题主要考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：篮球个数－足球的个数＝12个，列方程。
26．（1）等量关系：男生夹的个数的3倍－男生夹的个数＝60
（2）30个；90个
【分析】设男生夹了x个，根据：女生比男生多夹了60个，女生夹弹珠的个数是男生的3倍，男生夹的个数的3倍－男生夹的个数＝60，据此列出方程，求出x的值是多少，然后用x乘3即可计算出女生夹了多少。
【解答】等量关系：男生夹的个数的3倍－男生夹的个数＝60
解：设男生夹了x个。
3x－x＝60
2x＝60
2x÷2＝60÷2
x＝30
30×3＝90（个）
答：男生夹了30个，女生夹了90个。
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
27．5.5分钟；192.5米；图见详解
【分析】设两人经过x分钟相遇，小刚行驶的路程＝小刚行驶的速度×相遇的时间＝25x，小强行驶的路程＝小强行驶的速度×相遇的时间＝35x。则根据数量关系式小刚行驶的路程＋小强行驶的路程＝总路程列出方程。总路程是三段的路程和为330千米，求出方程的解。再用小强的速度×相遇的时间得出小强走的千米数。
【解答】
解：设两人经过x分钟相遇。
35x＋25x＝152＋48＋130
60x＝330
60x÷60＝330÷60
x＝5.5
35×5.5＝192.5（米）
答：两人经过5.5分钟相遇，相遇时，小强走了192.5米。
28．12时
【分析】
根据题意，先设两列火车行驶x时相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝路程可知，用快车的速度加上慢车的速度之和，再乘上x就等于全长。据此列式为：（85＋78）x＝1956，求出x即可。
【解答】
根据题意可知，等量关系式为：（快车速度＋慢车速度）×相遇时间＝全长。
解：设两列火车行驶x时相遇。
（85＋78）x＝1956
163x＝1956
163x÷163＝1956÷163
x＝12
答：两列火车行驶12时相遇。
29．200天
【分析】设经过x天甲、乙两个工程队才能修完这条铁路，甲队每天修0.96千米，x天修0.96x千米；乙队每天修1.14千米，x天修1.14x千米，甲队修的长度＋乙队修的长度＝这条铁路的长度，列方程：0.96x＋1.14x＝420，解方程，即可解答。
【解答】解：设经过x天甲、乙两个工程队才能修完这条铁路。
0.96x＋1.14x＝420
2.1x＝420
x＝420÷2.1
x＝200
答：经过200天甲、乙两个工程队才能修完这条铁路。
【点评】本题考查相遇问题，关键甲、乙两队修铁路的长度与总长度之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
30．（1）见详解
（2）960米
【分析】（1）由于爸爸的速度快，小青的速度比较慢，而且爸爸比小青的速度快得多，所以在过中点，离火车站近点的地方相遇，标注合理即可。
（2）可以设他们x分钟相遇，小青每分钟走的路程×相遇时间＋爸爸每分钟走的路程×时间＝1200，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可，再用爸爸每分钟走的路程×时间即可求出相遇点离家多少米。。
【解答】（1）如下图所示：
（2）解：设他们x分钟后相遇。
80x＋20x＝1200
100x＝1200
100x÷100＝1200÷100
x＝12
12×80＝960（米）
答：相遇点离家960米。
【点评】本题主要考查列方程解一个未知数的题目以及相遇问题的公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)