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浙江省2025年中考数学模拟训练卷
满分120分 试卷120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“+”，运出物资为“﹣”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（ ）
A．﹣8吨 B．﹣2吨 C．+2吨 D．+8吨
2．某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.525×1011 B．5.25×1010
C．52.5×109 D．525×108
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3+b3＝a3b3 B．a4﹣a＝a3
C．a2 a4＝a6 D．a6÷a3＝a2
5．已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2）在函数的图象上，则（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
6．如图，直线a∥b，将一把三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
7．一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数分布直方图如图所示．若成绩为不少于164个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（ ）
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
8．如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（ ）
A．AM B．MD C．ME D．EF
9．某中学针对九年级学生开设了烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC中点，DE⊥AC于点P，已知 AB＝5，BD＝x，BC＝y．当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ）
A．（x+y）2 B．（x﹣y）2 C．x2+y2 D．x2﹣y2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．分解因式：a2﹣9b2＝ ．
12．如果：，那么： ．
13．“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是 ．
14．如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D，E均在格点上，且E在上．AB交于点C，则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（3，2），以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形ΔOA'B'并把△OAB的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，旋转90°得矩形AB1C1D1，继续旋转使得点B的对应点B2落在B1D1上，连结BB1，BB2，则sin∠B1BB2＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b），其中a＝﹣2，b＝1．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求∠AFE的度数．
20．（8分）某兴趣小组对A，B两种AI大模型产品进行测评，得到它们在10次测评中的准确率（单位：%）．现有如下信息：
①A模型在10次测评中的准确率分别为：
84，85，88，90，90，90，91，92，92，98．
②B模型准确率的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中第3组的3个数据分别是91，92，94．
③两种AI模型在测评中准确率的平均数、中位数、众数如下表：
测评准确率统计分析表
模型 平均数 中位数 众数
A 90 90 a
B 91.4 b 95
根据以上信息，回答下列问题；
（1）a的值为 ，b的值为 ．
（2）从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你会选择哪种AI模型？请简述理由．
21．（8分）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了A，B两种品牌共享电动车的收费y（元）与骑行时间x（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）当x≥10时，求y2关于x的函数关系式；
（2）小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知A，B两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米/分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？
22．（10分）某校初四实践小组为探究某款台灯如何放置光线效果最佳做了以下探究：
1．了解台灯的构成，将实物图转化为数学图形
台灯由四部分构成：底座EF，长度为定值的底柄BA，BC，CD，可以通过调整∠B，∠C的大小来调整台灯的高度；
AB＝2cm且BA⊥EF于点A，BC＝20cm．
2．多次实验测量数据，选取最佳效果
选取身高相同的同学多次实验，并获取最终数据：
人的眼睛距离桌面的最佳距离为40cm到60cm；距离台灯D的最佳距离为40cm到70cm；与台灯D的仰角为45°；
3．问题解决：
（1）如图1，若CB与水平桌面的夹角为37°，且DC⊥BC时，点D到桌面的距离为46cm，求DC长；（参考数据：，，）
（2）如图2，在（1）结论的基础上，若在人的眼睛O处测得B处的俯角为α，台灯D处的仰角为β，人的眼睛距离桌面和台灯D的距离都为50cm，CB与水平桌面的夹角为60°，则此时DC与水平面的夹角的余弦值为 ．（用含有α，β的式子表示）
23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
24．（12分）如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，点D为AB上一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F．连接AE，作△ACE的外接圆交FC的延长线于点G．
（1）若劣弧的度数为140°，求∠F的度数．
（2）求证：．
（3）若，CF＝2CG＝10，求AE的长．中小学教育资源及组卷应用平台
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满分120分 试卷120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“+”，运出物资为“﹣”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（ ）
A．﹣8吨 B．﹣2吨 C．+2吨 D．+8吨
【分析】由有理数加法的意义求解即可．
【解答】解：该仓库当天物资变化的结果可表示为+2吨，
故选：C．
2．某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得选项D的图形，
故选：D．
3．据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.525×1011 B．5.25×1010
C．52.5×109 D．525×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：52500000000＝5.25×1010．
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a3+b3＝a3b3 B．a4﹣a＝a3
C．a2 a4＝a6 D．a6÷a3＝a2
【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘法和除法法则判断即可．
【解答】解：A、a3+b3≠a3b3，不符合题意；
B、a4﹣a≠a3，不符合题意；
C、a2 a4＝a6，符合题意；
D、a6÷a3＝a3，不符合题意；
故选：C．
5．已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2）在函数的图象上，则（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【分析】根据反比例函数图象的性质即可得出答案．
【解答】解：由条件可知反比例函数图象分布在第二象限和第四象限，
在第二象限内，y随x的增大而增大，
∵﹣1＞﹣2，
∴y1＞y2．
故选：A．
6．如图，直线a∥b，将一把三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝55°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝35°，
故选：B．
7．一分钟跳绳是温州中考体育选考项目，某校为了了解九年级女生该项目的情况，随机抽取40名女生进行测试并绘制频数分布直方图如图所示．若成绩为不少于164个为优秀，则抽取的女生中跳绳能达到优秀有（ ）
A．5人 B．12人 C．14人 D．17人
【分析】根据频数分布直方图的数据即可求解．
【解答】解：由频数分布直方图的数据得，抽取的女生中跳绳能达到优秀的有12+5＝17（名），
故选：D．
8．如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（ ）
A．AM B．MD C．ME D．EF
【分析】设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，则可得l＝2（2a+b+c），由题意，得，①﹣②，得b﹣a＝a﹣c，即可得出2a＝b+c，再根据矩形的周长公式计算，进而得出答案．
【解答】解：设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，
则l＝2（2a+b+c），
由题意，得，
①﹣②，得b﹣a＝a+d﹣c﹣d＝a﹣c，即2a＝b+c，
∴l＝2（2a+b+c）＝2（b+c+b+c）＝2（2b+2c）＝4（b+c）或l＝2（2a+b+c）＝2（2a+2a）＝2×4a＝8a，
∴已知矩形ABCD的周长，则能够求出a，即能够求出线段AM的长度．
故选：A．
9．某中学针对九年级学生开设了烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据两批面粉采购量间的关系，可得出第二批面粉采购量为1.5x千克，利用单价＝总价÷数量，结合第二批采购每千克面粉的价格提高了0.4元，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，且第一批面粉采购量为x千克，
∴第二批面粉采购量为1.5x千克．
根据题意得：0.4．
故选：A．
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC中点，DE⊥AC于点P，已知 AB＝5，BD＝x，BC＝y．当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ）
A．（x+y）2 B．（x﹣y）2 C．x2+y2 D．x2﹣y2
【分析】连接OE，根据平行四边形的性质得出AB＝CD＝5，，AO＝CO，AD＝BC＝y，AD∥BC，根据中位线性质得出OE∥CD，，证明△OPE∽△CPD，得出，根据勾股定理得出PC2+PE2＝CE2，PC2+PD2＝CD2，OP2+PD2＝OD2，即，PC2+PD2＝25，，从而得出x2+y2＝5PC2+5PD2＝5×25＝125，即可得出答案．
【解答】解：连接OE，如图所示：
由条件可知AB＝CD＝5，，AO＝CO，AD＝BC＝y，AD∥BC，，
∵E为BC的中点，O为BD的中点，
∴OE∥CD，，
∴△OPE∽△CPD，
∴，
∴，，
∵DE⊥AC，
∴∠OPE＝∠EPC＝∠CPD＝∠OPD＝90°，
根据勾股定理得：，PC2+PD2＝52，，
∴，PC2+PD2＝25，，
∴，，
∴，
∴x2+y2＝5PC2+5PD2＝5×25＝125，
∴x2+y2为定值．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．分解因式：a2﹣9b2＝ （a+3b）（a﹣3b） ．
【分析】直接运用平方差公式进行解答即可．
【解答】解：原式＝（a+3b）（a﹣3b）．
故答案为：（a+3b）（a﹣3b）．
12．如果：，那么： ．
【分析】由已知可知，2a＝3b，再代入所求式进行化简．
【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴．
故答案为．
13．“见贤思齐焉，见不贤而内自省也”这句话中，“贤”字出现的概率是 ．
【分析】根据“贤”字出现的次数除以总字数即可．
【解答】解：由题意可知，共有13个字，“贤”字出现了2次，
∴“贤”字出现的概率为，
故答案为：．
14．如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D，E均在格点上，且E在上．AB交于点C，则的长为 π ．
【分析】如图，设圆心为O，连接OC，OB．证明∠BOC＝90°，利用弧长公式求解．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OC，OB．
∵OC＝OB，BC，
∴OC2+OB2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，
∴的长π．
故答案为：π．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（3，2），以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形ΔOA'B'并把△OAB的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 （1，2）或（﹣1，﹣2） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与△OAB的位似比为的位似图形△OA′B′，A（2，4），
∴点A的对应点A′的坐标是（2，4）或（2×（），4×（）），即（1，2）或（﹣1，﹣2）．
故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．
16．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，旋转90°得矩形AB1C1D1，继续旋转使得点B的对应点B2落在B1D1上，连结BB1，BB2，则sin∠B1BB2＝ ．
【分析】根据矩形的性质得出BC＝AD，∠BAD＝90°，根据旋转的性质得出AB＝AB1＝AB2，∠B1AD1＝90°，AD1＝AD，证明点B、B1、B2在以点A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角定理得出，证明∠B1BB2＝∠B2D1B，设AB1＝AB＝3x，则AD＝AD1＝BC＝4x，根据勾股定理得出，根据三角函数定义求出．
【解答】解：由题意可得：BC＝AD，∠BAD＝90°，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，旋转90°得矩形AB1C1D1，继续旋转使得点B的对应点B2落在B1D1上，
∴AB＝AB1＝AB2，∠B1AD1＝90°，AD1＝AD，
∴点B、B1、B2在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
∴，
∵AB＝AB1＝AB2，
∴，∠ABB2＝∠AB2A，
∵∠B1AD1+∠BAD＝180°，
∴B、A、D1在同一直线上，
∵∠B2BD1+∠B2D1B＝∠B1B2B＝45°，∠B1BB2+∠B2BA＝∠B2BA＝45°，
∴∠B1BB2＝∠B2D1B，
∵AB：BC＝3：4，
∴设AB1＝AB＝3x，则AD＝AD1＝BC＝4x，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：
＝4
＝4
＝2．
18．（8分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b），其中a＝﹣2，b＝1．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（2a+b）
＝（4a2+4ab+b2）﹣（b2﹣4a2）
＝4a2+4ab+b2﹣b2+4a2
＝8a2+4ab，
当a＝﹣2，b＝1时，
原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1
＝8×4﹣8
＝32﹣8
＝24．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求∠AFE的度数．
【分析】（1）利用∠ECA＝∠DCB，可证得∠ECD＝∠BCA，结合CA＝CE、CB＝CD，用SAS可证△BCA≌△DCE；
（2）由CB＝CD可得∠B＝∠CDB＝70°，从而∠EDA＝40°，再利用三角形外角关系可得∠AFE＝∠EDA+∠A＝40°+10°＝50°．
【解答】解：（1）证明：∵∠ECA＝∠DCB，
∴∠ECA+∠ACD＝∠DCB+∠ACD，
即∠ECD＝∠BCA，
由旋转可得CA＝CE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（SAS）．
∴AB＝ED．
（2）由（1）中结论可得∠CDE＝∠B＝70°，
又CB＝CD，
∴∠B＝∠CDB＝70°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BDE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠AFE＝∠EDA+∠A＝40°+10°＝50°．
20．（8分）某兴趣小组对A，B两种AI大模型产品进行测评，得到它们在10次测评中的准确率（单位：%）．现有如下信息：
①A模型在10次测评中的准确率分别为：
84，85，88，90，90，90，91，92，92，98．
②B模型准确率的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中第3组的3个数据分别是91，92，94．
③两种AI模型在测评中准确率的平均数、中位数、众数如下表：
测评准确率统计分析表
模型 平均数 中位数 众数
A 90 90 a
B 91.4 b 95
根据以上信息，回答下列问题；
（1）a的值为 90 ，b的值为 93 ．
（2）从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你会选择哪种AI模型？请简述理由．
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案；
（2）根据表中的统计量即可比较得出答案．
【解答】解：（1）根据A模型在10次测评中的准确率得a＝90，
B模型准确率的数据第5，第6个分别是92，94．
∴b93，
故答案为：90；93；
（2）我会选择B种AI模型，理由如下：
B种AI模型的平均数和中位数、众数都大于A种AI模型，所以我会选择B种AI模型．
21．（8分）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了A，B两种品牌共享电动车的收费y（元）与骑行时间x（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）当x≥10时，求y2关于x的函数关系式；
（2）小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知A，B两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米/分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据小莲家到单位的距离和共享单车的速度可以求出小莲家到单位需要的时间，再根据两种共享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，从而计算求解．
【解答】解：（1）当x≥10时，设y2＝k2x+b（k2≠0），过（10，6）和（20，8）两点
代入数据可得：
，
解得，
所以；
（2）设y1＝k1x（k1≠0），由条件可知20k1＝8，
解得，所以．
因为4500÷300＝15，
∴（元），
（元），
7﹣6＝1（元），
所以小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
22．（10分）某校初四实践小组为探究某款台灯如何放置光线效果最佳做了以下探究：
1．了解台灯的构成，将实物图转化为数学图形
台灯由四部分构成：底座EF，长度为定值的底柄BA，BC，CD，可以通过调整∠B，∠C的大小来调整台灯的高度；
AB＝2cm且BA⊥EF于点A，BC＝20cm．
2．多次实验测量数据，选取最佳效果
选取身高相同的同学多次实验，并获取最终数据：
人的眼睛距离桌面的最佳距离为40cm到60cm；距离台灯D的最佳距离为40cm到70cm；与台灯D的仰角为45°；
3．问题解决：
（1）如图1，若CB与水平桌面的夹角为37°，且DC⊥BC时，点D到桌面的距离为46cm，求DC长；（参考数据：，，）
（2）如图2，在（1）结论的基础上，若在人的眼睛O处测得B处的俯角为α，台灯D处的仰角为β，人的眼睛距离桌面和台灯D的距离都为50cm，CB与水平桌面的夹角为60°，则此时DC与水平面的夹角的余弦值为 ．（用含有α，β的式子表示）
【分析】（1）过点D作直线EF的垂线，垂足为G，过点C作CH⊥DG于H，过点B分别作DG，CH的垂线，垂足分别为M、N，则四边形BNHM和四边形ABMG都是矩形，可得HM＝BN，MG＝AB＝2cm，求出∠BCN＝37°，解Rt△NBC求出BN的长，进而求出DH的长，再求出∠CDH＝37°即可解Rt△DCH得到答案；
（2）过点O作OG∥EF，分别过点B、D作OG的垂线，垂足分别为G、H过点C作CM⊥DH交DH延长线于M，交BG于N，则四边形MNGH是平行四边形，先解直角三角形求出CN，OH，OG的长，再求出GH的长，进而求出CM，最后解Rt△CDM即可得到答案．
【解答】解：（1）如图所示，过点D作直线EF的垂线，垂足为G，过点C作CH⊥DG于H，过点B分别作DG，CH的垂线，垂足分别为M、N，
则四边形BNHM和四边形ABMG都是矩形，
∴HM＝BN，MG＝AB＝2cm，
∵CB与水平桌面的夹角为37°，
∴∠BCN＝37°，
在Rt△NBC中，，
∴DH＝DG﹣HM﹣MG＝32cm，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝90°﹣37°＝53°，
∴∠CDH＝37°，
在Rt△DCH中，；
（2）如图所示，过点O作OG∥EF，分别过点B、D作OG的垂线，垂足分别为G、H过点C作CM⊥DH交DH延长线于M，交BG于N，则四边形MNGH是平行四边形，
∴HM＝NG，HG＝MN，
同理可得∠BCN＝60°，
∴CN＝BC cos∠BCN＝10cm，
在Rt△OHD中，，
在Rt△OBG中，，
∴，
∴，
∴，
在Rt△CDM中，，
∴DC与水平面的夹角的余弦值为．
23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
【分析】（1）由题意得该二次函数的图象的对称轴为直线x，则可得，求出a的值，即可得出答案．
（2）根据Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，可得结论．
（3）由题意得，二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，当a＜0时，可得当x＝0时，y＝﹣3，即a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当0≤a≤3，可得当x＝a时，y＝﹣3，即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当a＞3时，可得当x＝3时，y＝﹣3，即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，求出a的值，进而可得答案．
【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x，
∴，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1．
（2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，
∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，
当a＜0时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即a﹣1＝﹣3，
解得a＝﹣2；
当0≤a≤3，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝a时，y＝﹣3，
即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，
解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去），
∴a的值为2；
当a＞3时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝3时，y＝﹣3，
即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，
解得a（舍去）．
综上所述，a的值为﹣2或2．
24．（12分）如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，点D为AB上一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F．连接AE，作△ACE的外接圆交FC的延长线于点G．
（1）若劣弧的度数为140°，求∠F的度数．
（2）求证：．
（3）若，CF＝2CG＝10，求AE的长．
【分析】（1）由题易得∠ACE＝70°，进而可得∠CAB＝55°，再根据平行四边形可得∠F＝∠CAB＝55°；
（2）导角证明∠GAE＝∠ACG，即可得证；
（3）连结AG，过点E作EH⊥AB于点H，先证△ACG∽△ABE，可得，进而可得BE＝6，再求出，EH，AH＝AD+DH，最后在Rt△AEH中利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：如图，
∵，
∴∠ACE＝70°，
∵CA＝CB，
∴，
又∵DF∥AC，CF∥AD，
∴四边形ACFD为平行四边形．
∴∠F＝∠CAB＝55°；
（2）证明：如图，连结AG．
∵四边形AGCE内接于⊙O，
∴∠FCE＝∠GAE．
又∵CF∥AD，
∴∠FCE＝∠B＝∠CAB＝∠ACG，
∴∠GAE＝∠ACG，
∴；
（3）方法一：如图，连结AG，过点E作EH⊥AB于点H，
∵，
∴∠ACG＝∠GAE＝∠CAB＝∠B，
∴∠GAC＝∠BAE，
∴△ACG∽△ABE，
∴，
又∵CG＝5，
∴BE＝6，
又∵DE∥AC，
∴DE＝EB＝6，，
∴，EH，
又∵CF＝AD＝10，
∴AH＝AD+DH，
∴在Rt△AEH中，．
方法二：如图，连结GA、GE，并过点E作EH⊥CF于点H，CF∥AB，
∴∠FCB＝∠B，
又∵∠F＝∠CAB，
∴△CEF∽△ACB，
∴，
∵CF＝10，
∴，
∴，
在Rt△GEH中，，
由（2）知：，
∴，且∠ACG＝∠GAE＝∠CAB＝∠B．
∴∠GAC＝∠BAE，
∴△ACG∽△ABE，
故，
∴．
