综合实践题常见考点 押题练 2025年中考数学三轮复习备考

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综合实践题常见考点 押题练
2025年中考数学三轮复习备考
1．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．
主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度
测量方案及示意图
测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；（以上数据均为近似值）
(1)嘉嘉发现当米时，轻松的计算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度．
(2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度．
2．综合与实践
【知识背景】
大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题开展试验研究，探究大豆产量与种植密度的关系．
【研究步骤】
①在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种；
②在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计；
③数据分析，形成结论．
【实验数据】
实验田编号 1 2 3 4 5 6
单位面积试验田种植株数x 30 40 50 60 70 80
单株的平均产量y/粒 51 46 41 36 31 26
【数学建模】
请根据以上材料，完成下列任务：
(1)根据表中信息推理，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），y与x的函数关系式为_______．
(2)若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最多，请通过计算说明单位面积试验田中大豆植株种植的方案．
(3)单位面积试验田中大豆的总产量能否达到2160粒？请说明理由．
3．综合与实践
【主题】“潮汐车道”设计
【背景素材】某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在上下班高峰期经常拥堵，交警部门统计了不同时段双向车流量（辆/分钟），发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征，计划通过“潮汐车道（如图所示，大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向一条机动车道通行）”动态调整车道方向以缓解拥堵．
【原始数据】
时间 8时 11时 14时 17时 20时
自东向西车流量（辆/分钟） 200 320 440 560 680
自西向东车流量（辆/分钟） 500 440 380 320 260
【实践操作】
步骤1：建立车流量模型：根据原始数据，分别表示与、与之间的函数关系；
步骤2：交通流量分析：计算8时至20时每小时的车辆总流量，定义大流量方向车流量为；
步骤3：潮汐车道方案设计：根据分析结果，划分需要启用“潮汐车道”的具体时段方式．
【实践探索】
(1)求出与、与之间的函数关系；
(2)经查阅资料得：当时需要启用“潮汐车道”以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐车道”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由．
4．综合实践：
主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计
情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为米，宽为米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ； ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了在草坪上布置市运会会徽标志，将在草坪上的市运宣传主题墙前（墙长15米），用篱笆（篱笆长30米）围（三边）成面积为100平方米的矩形ABCD，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，小组的同学对下列问题展开探究，设矩形宽AB=x，长BC=y． ①请列出y关于x的函数关系． ②求宽AB的值
5．【综合与实践】某兴趣小组利用物理学中杠杆原理制作简易跷跷板，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试．请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，在木板的左端有一个固定质量为千克的靠背，质量为m千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为l米，选定支点右侧a米处为零刻度线．质量为M千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板保持平衡．
设大人与零刻度线的距离为y米，根据杠杆原理可得：．
【方案设计】目标：设计有标注刻度的简易跷跷板，使得两边分别坐上人后跷跷板平衡．设定，，零刻度线与末刻度线的距离定为1米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当跷跷板左边不坐上小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板平衡，则l与a的关系式：________；
（2）当跷跷板左边坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移至末刻度线时，跷跷板平衡，则l与a的关系式：________；
（3）根据（1）和（2）的结论可得l与a的值：________，________；
任务二：确定刻度线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数表达式；
（5）从零刻度线开始，小孩这端的质量每增加5千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板保持平衡，求相邻刻度线间的距离．
6．【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．
【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米．
任务一：确定和的值．
当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；
当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡；
（1）求和的值．
任务二：确定刻线的位置．
（2）根据任务一，求关于的函数解析式．
7．请阅读下面关于运用跨学科类比进行的一次研究活动的材料：
[背景]
小梧跟同学提到他家附近在规划开一个超市，有同学问道：“你家附近不是已经有一个A超市了吗？再开一个能吸引顾客吗？”这个问题引起了大家对超市的吸引力展开研究的兴趣．
[过程]
为了简化问题，同学们首先以“在楼层数相同、同样商品的品质和价格相同、售货服务的品质也大致相同的情况下，影响超市吸引力的主要因素”为主题对该市居民展开随机调查．结果显示：超市的占地面积、住处与超市的距离这两个因素的影响程度显著大于其他因素．
大家根据调查进行了总结：
①可以把“平均每周到超市购物次数p”作为超市吸引力指标；
②占地面积越大吸引力越大；
③距离越大吸引力越小．
在此次调查所收集到的居民平均每周到各超市购物次数的基础上，同学们进一步调查了相应超市的占地面积s（单位：）及其与居民住处的距离r（单位：m），并对p，s，r之间的关系进行研究．
一开始，同学们猜想p可能是的正比例函数，但经过检验，发现与实际数据相差较大．这时，小梧提出：“我联想到牛顿万有引力定律，这个定律揭示了两个物体之间的引力大小与各个物体的质量成正比，而与它们之间距离的平方成反比，可以表示为（G是引力常数），我们是不是可以作个类比，试一下看p与的关系如何？”．按他的建议，同学们利用调查所得的数据在平面直角坐标系中绘制了p与对应关系的散点图，如图所示．

根据阅读材料思考：
(1)观察图中散点的分布规律，请用一种函数来合理估计p与的对应关系，直接写出它的一般形式；
(2)为了清晰表示位置，同学们选A超市为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长，则小悟家的坐标为超市的占地面积为，规划中的B超市在A超市的正东方向．根据（1）中的对应关系，解决下列问题：
①若B超市与A超市距离，且对小梧家的吸引力与A超市相同，求B超市占地面积的范围；
②小梧家在东西向的百花巷，百花巷横向排列着较为密集的居民楼．现规划B超市开在距A超市处，且占地面积最大为，要想与A超市竞争百花巷的居民，该规划是否合适？请说明理由．
8．综合与实践
问题情境：
学校有一块矩形空地，空地中有一条小路可近似地看成抛物线的一部分，该抛物线的顶点在矩形空地的边上．为了将此矩形空地加以利用，设置课外活动区和劳动实践区，其余部分为绿化区域，现面向全体同学征集设计方案．
方案设计：
小慧同学设计了如下方案：
第一步，如图1，在矩形中，，以边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的顶点在矩形的边上．根据测得的数据得到小路所在抛物线的函数表达式为．
第二步：如图2，连接，将其作为小路，在线段上取一点，过点作轴与抛物线交于点，连接，将设置为课外活动区．
第三步：如图2，在线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点，将四边形设置为劳动实践区．
问题解决：
(1)请直接写出直线的函数表达式．
(2)①当是以为底边的等腰三角形时，求所设置的课外活动区底边的长；②求所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积．
(3)在满足（2）的条件下，请直接写出此矩形空地中绿化区域的面积．（小路的面积忽略不计）
9．小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动．
跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度（单位：）所对应的心率，当速度为时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间（单位：秒）的变化呈现均匀增大的规律，部分数据如表所示．
（单位：秒） 0 5 10 15 20
（单位：次/分钟） 80 90 100 110 120
(1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大，
①请估计小南跑步的最大速度；
②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？
10．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录，与x的几组对应值如下：
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
（克） 25 23.5 20 14.5 7 …
（克） 25 20 15 10 5 …
(1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；

(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足一次函数（）．则 ， ， ；
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则 （填“”，“”或“”）．
11．综合与实践
【背景】小明家有一块半径为的圆形花园，现拟定在花园内部修建一个矩形菜地．
【方案】如图所示，以该圆形花园的圆心为原点，建立平面直角坐标系，以花园内一个定点木桩为矩形菜地的一个顶点，有两个动顶点落在花园的圆周上，还有一个动顶点D落在花园内部．已知花园圆周上有一个定点水泵（图中未标出）．
【设想】
（1）针对该方案，小彬同学认为该动顶点D的轨迹是一个不完整的圆，请你证明这一个设想；
【讨论】
（2）小明希望矩形菜地的动顶点D离水泵之间的距离越小越好，求的最小值以及此时矩形菜地的面积；
【探究】
（3）①小余同学认为连接线段得到，记其面积为，记矩形菜地的面积为，则存在实数使得成立，求实数的值；
②子莹同学猜想若知道矩形菜地一边的长度为，便可知道矩形菜地的面积，请直接写出与满足的函数关系式（不考虑点在轴上的情况）．
12．[概率中的方案设计]小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆（如图），然后蒙上眼睛，并在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分时小红胜，否则小明胜，未掷入圈内（半径为3m的圆内）或掷在边界上重掷.
（1）你认为游戏公平吗 为什么
（2）游戏结束，小明边走边想：能否用频率估计概率的方法，来估算不规则图形的面积呢 请你设计一个方案，解决这一问题（要求画出图形，说明设计步骤、原理，并给出计算公式）
参考答案
1．(1)飞虹塔的高度是42米；
(2)飞虹塔的大致高度为
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，然后可根据相似三角形的性质进行求解；
（2）设，则有，，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可得，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
答：飞虹塔的高度是42米；
（2）解：设，则有，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴；
答：飞虹塔的大致高度为．
2．(1)一次，
(2)单位面积试验田中种植66株大豆可使单位面积试验田中大豆的总产量最多
(3)单位面积试验田中大豆的总产量能达到2160粒．理由见解析
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式，二次函数的最值，二次函数的实际应用，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数，设y与x的关系式为，在表格中取两组值代入，求出k、b的值，即可解题；
（2）设单位面积试验田中大豆的总产量为W粒，根据建立W与x的函数关系式，再结合二次函数最值情况求解，即可解题；
（3）根据建立等式求解，并结合对解进行判断，即可解题．
【详解】（1）解：由表格可知y随x的增大而减小，且x每增加10，y减小5，因此y是x的一次函数，
设y与x的函数关系式为，
由表格数据可得，
解得，
y与x的函数关系式为，
故答案为：一次，．
（2）解：设单位面积试验田中大豆的总产量为W粒．
由题意得．
，，
∴当时，W的值最大，
∴单位面积试验田中种植66株大豆可使单位面积试验田中大豆的总产量最多．
（3）解：单位面积试验田中大豆的总产量能达到2160粒．理由如下：
令，得，
解得或，满足，
∴单位面积试验田中大豆的总产量能达到2160粒．
3．(1)；
(2)8时到9时，可变车道的方向设置为自西向东；18时到20时，可变车道的方向设置为自东向西
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据表格，易得示与、与之间均为一次函数关系，设出关系式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出，分别求出，时的范围，进而设置“潮汐车道”通行方式即可．
【详解】（1）解：设（、为常数，且），
将，和，代入得：
，解得：，
∴；
设（、为常数，且），
将，和，代入得：
，解得：，
∴；
（2），
当时，即：，解得：，
当时，即：，解得：，
∴8时到9时，可变车道的方向设置为自西向东；
18时到20时，可变车道的方向设置为自动向西．
4．（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等；②，；③，；（2）小路的宽为；（3）①②10米
【分析】（1）通过平移知识求解；
（2）根据草坪的面积列方程求解；
（3）①根据题意列出关系式，
②根据题意得出一元二次方程，解方程求解．
【详解】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等，
故答案为：四种方案小路面积的大小相等；
②甲：；
乙：，
故答案为：，；
③甲：，
乙：，
故答案为：，；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为；
（3）①方法1：，
，
方法2：，
；
②由题意得：
解之得：
当
本题考查了平移的应用，一元二次方程的实际应用，根与系数的关系，掌握平移的作用是解题的关键．
5．（1）5a；（2）；（3），；（4）：（5）相邻刻度线间的距离为0.25m
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，根据杠杆原理，可得，代入数据可以得解；
（2）依据题意得，，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由（1）与（2）可得，，求出后再求得，可以得解；
（4）依据题意，由（3）可知，，，故，计算即可得解；
（5）依据题意，由（4）可知，，故当时，；当市，，进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，根据杠杆原理，
．
．
．
故答案为：．
（2）由题意得，．
．
故答案为：．
（3）由题意，由（1）与（2）可得，，
．
．
故答案为：；．
（4）由（3）可知，，，
．
．
（5）由（4）可知，，
当时，；当时，．
相邻刻度线间的距离为．
6．（1）；（2）
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）依据题意，又当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，可得,且，进而计算可以得解；
（2）依据题意，由（1）可知：，，则，进而可以得解．
【详解】解：（1）由题意得：，，
当，时，，
；
当，时，，
；
联立①②可得，
解得．
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
∴关于的函数解析式为．
7．(1)
(2)①B超市占地面积s的范围为；②该规划不合适，理由见解析
【分析】（1）观察图中散点的分布规律可知程正比例函数，即可解答；
（2）①设超市的坐标为，占地面积为．记超市的吸引力为超市的吸引力为．可得．再根据．解得．根据函数性质即可确定范围；
②设为1个单位长度，因为超市开在距超市处，所以超市的坐标为，任取百花巷上一点，设，记超市的面积为超市的面积为，
设，根据，得出设根据二次函数性质得出有最小值．设．根据二次函数性质得出当恒成立，再根据，即可求解；
【详解】（1）解：观察图中散点的分布规律可知程正比例函数，故．
（2）①解：设超市的坐标为，占地面积为．
记超市的吸引力为超市的吸引力为．
因为超市为原点，小梧家的坐标为，
根据勾股定理，小梧家到超市的距离为，到超市的距离为．
因为超市对居民的吸引力，
所以．
因为两家超市对小梧家的吸引力相同，所以．
所以．
所以．
因为，抛物线开口向上，对称轴，
所以在上，随的增大而增大．
所以当时，取得最小值800，当时，取得最大值2000．
所以超市占地面积的范围为．

②解：设为1个单位长度，因为超市开在距超市处，
所以超市的坐标为，
任取百花巷上一点，设，
根据勾股定理，点到超市的距离为，到超市的距离为．
记超市的面积为超市的面积为，
设，
因为超市的占地面积为超市占地面积最大为，
所以．
因为，
所以
设
则该二次函数中，
因为，所以有最小值．
设．
因为，抛物线开口向上，对称轴为，
所以在上随的增大而减小．
因为当时，，
所以当时，．
因为，所以．
即当恒成立，
因为，
所以，即对于任意的值，都有．
所以在规划的条件下，百花巷上不存在超市对居民吸引力大于超市的位置，故该规划不合适．

该题主要考查了二次函数的综合应用，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意．
8．(1)
(2)①；②劳动实践区（四边形）的最大面积为；
(3)矩形空地中绿化区域的面积为
【分析】（1）根据题意得到，由二次函数图象的性质得到，运用待定系数法即可求解；
（2）①设，则，且，运用两点之间距离公式得到，，根据等腰三角形的定义得到，由此列式求解得到，可得，，由此即可求解；
②根据题意得到，四边形是矩形，设，则，所以，根据二次函数最大值的计算方法即可求解；
（3）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，得到，求出，再算出，，由即可求解．
【详解】（1）解：∵以边所在直线为轴，，
∴，
已知小路所在抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，，
∴直线的函数表达式；
（2）解：①直线的函数表达式，点在线段上，且轴，
∴设，则，且，
∴，
，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴，
整理得，，则
解得，，（舍去），
当时，，，
∴，，，
∴；
②线段上取一点，过点分别作轴于点，轴于点，
∴，
∴四边形是矩形，
设，
∴，
∴，
∵，
∴当时，即，有最大值，最大值为，
∴所设置的劳动实践区（四边形）的最大面积为；
（3）解：抛物线的顶点在矩形的边上，
∴抛物线的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∴，
又∵矩形中，，
∴，
由（2）可得，是以为底边的等腰三角形，，，，
如图所示，过点作于点，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴矩形空地中绿化区域的面积为．（小路的面积忽略不计）
本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合运用，掌握二次二次函数图形的性质，最值的计算，待定系数法求一次函数解析式，矩形的判定和性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，数形结合分析是解题的关键．
9．(1)
(2)①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是
【分析】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算，
（1）用待定系数法直接计算求出即可；
（2）①用待定系数法求出，再将代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：，得出停下时，，再用待定系数法求出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出，设最大速度跑步的时间为，列不等式计算解决即可．
【详解】（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间为一次函数关系，
设小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为，
把，分别代入，
，
解得：，
则小南起跑至最大速度时心率（单位：次/每分钟）与跑步时间（单位：秒）之间的函数关系式为，
（2）①由题意得：，
设，
把，分别代入，
，
解得：，
，
当时，，
当时，，
解得：，
答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时；
②当时，，
，
又，
从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为：
，
当，
将代入得，
即停下时，，
由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关系，设休息时段，
把代入，
，
解得：，
，
当时，，
，
由于休息时心率匀速降低，
因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为，
设最大速度跑步的时间为，
则的时段：，
，
则他以最大速度跑步的时间至少是．
10．(1)见详解
(2)，，
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当时的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）由题意，作图如下．

（2）解：由题意，场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系．
又点，在函数图象上，
．
解得：．
场景函数关系式为．
对于场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系．
又，在函数图象上，
．
解得：．
场景函数关系式为．
∴，，．
（3）解：由题意，当时，
场景中，，
解得：（舍），
即：，
场景中，，
解得：，
．
11．（1）见解析（2）最小值为，此时菜地面积为（3）①；②当点位于轴下方时 ；当点位于轴上方时
【分析】（1）如图所示，过点作交于点，则由垂径定理可知 ，证明，推出，即可得到点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且该圆不经过点，进而证明结论；
（2）由（1）可知，当三点共线时有最小值为，如图所示，记与交于点，求出，过点作，则有，求出， 过点作，垂足为，连接，证明为正三角形，求出，，即可解答；
（3）①连接，记交轴于点，作于点，证明为中位线 ，根据，即可求解；②分点位于轴下方和上方两种情况讨论，利用三角形中位线的性质求出，再利用勾股定理求出，即可解答．
【详解】（1）证明：如图所示，过点作交于点，则由垂径定理可知 ，
∵四边形是矩形
∴
∵
∴
在与中

∴
∴
∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，且该圆不经过点，即小彬设想成立 ；
（2）由（1）可知，当三点共线时有最小值为，
如图所示，记与交于点
∵，为上的点
∴为的直径 ，，
过点作，则有
∴
∴
∴
由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知
∴
过点作，垂足为，连接
∵
∴为正三角形
∴为边上的中线，且平分
∴，
∴
∴
∴
∴菜地面积；
（3）①如图所示，连接，记交轴于点，作于点，
∵
∴为中点
∵为中点
∴为中位线
∴
∵
∴
∴；
②第一种情况，当点位于轴下方时，如图：
∴，
；
第二种情况，当点位于轴上方时，如图：
同理得：．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质，函数解析式，解直角三角形，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12．（1）不公平，理由见解析；（2）
【分析】（1）首先分别计算小红和小明获胜的概率，相比较，获胜概率不同，所以可判定不公平；
（2）首先设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），然后往图形中掷点，掷在正方形外或边界上不作记录，其次当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内，最后用频率估计概率，大概可得出结果.
【详解】（1）不公平.理由如下：
（掷中阴影部分），即小红获胜的概率为，则小明获胜的概率为，，
游戏不公平
（2）能利用频率估计概率的方法估算不规则图形的面积设计方案：①设计一个可测量面积的规则图形将不规则图形围起来（如正方形，其面积为），如图所示；
②往图形中掷点（如蒙上眼睛往图形中随意掷小石子，掷在正方形外或边界上不作记录）；
③当所掷次数充分大时，记录并统计结果，设掷入正方形内次，其中次掷入不规则图形内；
④设不规则图形的面积为，用频率估计概率，即掷入不规则图形内的频率（掷入不规则图形内），而（掷入不规则图形内），故，即.
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