吉林地区普通高中友好学校联合体2024-2025学年高一下学期期中数学试卷(图片版,含答案)

吉林地区普通高中友好学校联合体第四十届基础年级期中联考
（2024—2025 学年度下学期）
高一数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等填写在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答案填在答题卡指定位置。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，只收答题卡。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 z 在复平面内对应的点为 2，-1 ，则 z 的共轭复数 z在复平面内对应的点为（ ）
A． - 2，1 B. - 2，-1 C. 2，1 D. 2，-1
1
2. 2 已知向量 a 2, x ，b 1, ，若a b，则实数 x x （ ）
A． 2 B．2 C． 1 D．1
1 2i
3.已知复数 z ，则 （ ）
2 i z的虚部为
A． i B． i C．1 D． 1
4.已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为 20km，现测得 ABC 120 ，则A、C两地的距离为（ ）
A．10 3km B．10 7km C．10 5km D．10km
5.已知m,n是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若m 、n / / ，则m n B．若m ，m // n，则n
C．若m ，m n，则 n / / D．若m / / ，m ，则

6.已知向量m 2, n ， 2 , 4 m n ，若 · =|m |·| n |，则实数 的值为（ ）
A．4 B． 2 C． 2或 4 D．2

7.已知向量a和b的夹角为60 ，且 a 2， b 5，则 2a b a （ ）
A．3 B． 1 C．8 5 3 D．13
8.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为 2，8，侧棱长为3 5，则该正四棱台内半径最大的球的表面积
为（ ）
64π 64π
A．12π B． 27π C． D9 ． 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，
有选错的得 0分．
9．已知 a,b是两条不同的直线， 是平面，若 a / / ,b ，则 a,b可能（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面
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ABC cosC 110.在 中， ， BC 1， AC 5，则（ ）
2

A．sinA = 7 B．B<
14 3
5
C． ABC的面积为 D． ABC外接圆的直径是
2 2 7
11.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1,C1C的中点，则（ ）
A．直线 BN 与MB

1是异面直线 B．直线MN与 AC所成的角是 3
C．直线MN 平面 ADN D．BM DN.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在菱形 ABCD中，E是BC的中点，若 AC AB 2，则 AC DE .
13. ABC的内角 A，B，C 1的对边分别为 a，b，c，且 a 4， sinC ABC4，若 有两解，则 c的一个可能整数
值为 .
14.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如右图，在鳖臑P ABC
中，PA 平面 ABC，AB BC，且PA AB BC 2，M 为PC的中点，则异面直线 AM与
BC所成角的余弦值为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 11分）已知 a，b均为实数，复数： z a2 b (b 2a)i，其中 i 为虚数单位，
若 z 3，求 a的取值范围.
16.（本小题满分 16分）如图，正方形 ABCD的边长为 6，E是 AB的中点，F是 BC边上靠近点 B的三等分
点，AF与 DE交于点M .

(1)设EF xBA yBC，求 x y的值；
(2)求 EMF 的余弦值．
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17（. 本小题满分 16分）已知四面体 A BCD, AB AD BC CD 2, AC 3 .如右图.
(1)证明： ;
(2)若BD 2 3，求四面体 的体积.
18.（本小题满分 17分）已知 ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c, ABC的面积为
1 a csinC bsin B asin A ．
2
(1)求A；
(2)若a 2，且 ABC的周长为 5，设D为边 BC中点，求 AD.
19．（本小题满分 17分）如图，在三棱锥P ABC中， PA 平面 ABC， AB BC，
AB BC PA 1， E，F分别为 BC， PB的中点.
(1)证明：平面 AEF 平面PBC；
(2)证明PC / /平面 AEF，并求直线PC到平面 AEF的距离.
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1
吉林地区普通高中友好学校联合体第四十届基础年级期中
联考
（2024—2025 学年度下学期）
高一数学答案
第一部分（选择题 共 58分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A D B C B A D BCD AD ABD
3
12. 1 13. 2（或 3） 14. 3
15.【详解】由题 z a2 b b 2a i 3，所以 z为实数，…………………………2分
b 2a 0

即 a
2 b 3 ，…………………………8分
a2 2a 3 0 1 a 3 a 1,3 则有 ，解得 ，即 的取值范围为 .…………………………11分

16. 1 1 1 1【解析】（1）由题意知， EF EB BF AB BC BA BC2 3 2 3 ，…………………4分
1 1 1 1 1
又 EF xBA yBC ，所以 x , y ，故 x y ；……………8分
2 3 2 3 6
（2）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．

则D 0,6 ,E 3,0 ,A 0,0 ,F 6,2 , DE 3, 6 ,AF 6,2 ．………………12分
由于 EMF 就是DE, AF 的夹角．

cos D E A F 18 12 2 F 2 EMF EM
DE AF 9 36 36 4 10 的余弦值为 ．…………16分10
17.【详解】（1）取 BD的中点M ，连 AM ,CM ，…………………………2分
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2
由 AB AD BC BD，可得 BD AM ,BD CM ，…………………………4分
又因为 AM CM M ， AM、CM 平面 ACM，
所以 BD 平面 ACM，…………………………6分
因为 AC 平面 ACM，所以 AC BD .…………………………8分
（2）方法 1：因为 BD 2 3，所以 AM CM 1，…………………………10分
又因为 AC 3，所以 AMC 120 ，…………………………12分
1 ,…………………………14分S ACM AM CMsin
3
AMC
2 4
四面体 的体积 1 1 …………………………16分VA-BCD S3 AMC
BD
2
方法 2 由（1）可得 BD 平面 ACM，所以平面 BCD 平面 ACM，
作 AH CM交CM 延长线于点H，则AH 平面 BCD且 AH 3 ，……………12分
2
1 ，…………………………14分S BCD BD CM 32
四面体 的体积 1 1 …………………………16分VA-BCD S3 BCD
AH
2
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3
1
18.【详解】（1）依题意， a(csinC bsin B asin A)
1
absinC，
2 2
所以 c sinC b sin B a sin A b sinC，…………………………4分
由正弦定理可得， c2 b2 a2 bc，
1
由余弦定理， c2 b2 a 2 2bc cos A，解得 cos A ，…………………………6分
2
因为 A (0, π)，…………………………7分
π
所以 A ；…………………………8分
3
（2）依题意，b c 5 a 3，
5
因为 c2 b2 bc (b c)2 3bc a2 ，解得bc ，…………………………12分
3
1
因为 AD (AB AC)，……………………14分
2
2 5
2 1 b2 2 2 3 所以 AD (AB AC)2 c bc (b c ) bc 11 3 ，……………16分
4 4 4 4 6
66
所以 AD ．…………………………17分
6
19．【详解】（1）因为 PA 平面 ABC，又 BC 平面 ABC，所以 PA BC，
又 AB BC， AB PA A， AB,PA 平面 PAB，
所以 BC 平面 PAB，…………………………4分
又 AF 平面 PAB，所以 BC AF，
又 AB PA， F为 PB中点，所以 AF PB，又 PB BC B， PB,BC 平面 PBC，
所以 AF 平面 PBC，…………………………6分
又 AF 平面 AEF ，故平面 AEF 平面 PBC .………………8分
（2）由题 E， F分别为BC， PB中点，故 EF / /PC，
又 PC 平面 AEF，EF 平面 AEF ，故 PC / /平面 AEF，…………………………12分
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4
则直线 PC到平面 AEF 的距离为点C到平面 AEF的距离 dC AEF .
1
由 E为 BC中点，所以 dC AEF dB AEF，记为d ，VB AEF d S3 △AEF
，
1
又VB AEF VA BEF d3 A BEF
S△BEF ，所以 d S△AEF dA BEF S△BEF ，……………14分
1
由（1 2）知， AF 平面 PBC，故 dA BEF AF ， AF EF， S AF EF，2 △AEF 2
1 3
由题知 AC 2， PC PA2 AC 2 3， EF PC ，
2 2
所以 S 1 2 3 6 AEF ，…………………………15分2 2 2 8
S 1 BE BF 1 1 2 2而 △BEF ，…………………………16分2 2 2 2 8
2 2
所以 d
dA BEF S △BEF 6 2 8 .…………………………17分
S△AEF 6 6
8
.
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