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第三章 证明(一)复习教案
教学目标
(一)教学知识点
1.证明的必要性,了解证明的书写格式.
2.了解定义、命题、公理和定理的含义.
3.平行线的性质定理和判定定理.
4.三角形的内角和定理及推论.
(二)能力训练要求
1.理解证明的含义.
2.通过具体例子,进一步了解定义、命题,定理、公理的含义,并会区分命题的条件和结论.
3.掌握用综合法证明的格式.体会证明的过程要步步有依据.
4.通过回顾与思考,进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理,并会灵活应用.
5.通过回顾与思考,进一步理解掌握三角形内角和定理及推论,并会灵活应用.
(三)情感与价值观要求
通过学生回顾与思考,使他们进一步体会直观是重要的,但有时也会欺骗人,这时就需要通过逻辑推理来判断,培养学生的推理论证能力,进而发展他们的空间观念.
教学重点
1.平行线的性质定理和判定定理的应用.
2.三角形内角和定理及其推论的应用.
3.证明的步骤及书写格式.
教学难点
证明过程的书写.
教学方法
自学,小组讨论法.
教具准备
投影片三张
第一张:问题(记作投影片“回顾与思考” A)
第二张:平行线的判定与性质的关系图(记作投影片“回顾与思考” B)
第三张:知识结构图(记作投影片“回顾与思考” C)
教学过程
Ⅰ.巧设问题情境,引入课题
[师]前面几节课我们探讨了第六章“证明”,在教学中为什么要证明?如何证明呢?今天我们就来对此进行回顾与思考.
Ⅱ.回顾与思考
[师]同学们先独立思考下列问题,然后以小组为单位进行讨论,共同回顾本章的内容.(出示投影片“回顾与思考” A)
1.直观是重要的,但它有时也会欺骗人,你还能找到这样的例子吗?
2.请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理.
3.什么条件下两条直线平行?两条直线平行又会怎样?这两类命题的条件和结论有什么关系?你会证明它们吗?
4.三角形内角和定理怎样证明?三角形的外角与内角有什么关系?
5.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤.
(学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决)
[生甲]如:两棵一样高的树,但相距很远,当你站在其中一棵树旁边时,显得它很高,而另一棵较低.
图3-69
又如图3-69:
直观看,图3-69(1)长,图3-69(2)短,实际上是一样长的.
……
(学生举出了许多生活中的实例,说明直观有时也会发生错误)
[生乙]定义就是对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定.
命题呢,就是判断一件事情的句子.
公理:是人们在长期的实践中总结出来的,正确的命题.即公认的真命题.
定理是经过推理的过程得到的真命题.
[生丙]在同位角相等的情况下,两直线平行;在内错角相等或同旁内角互补的情况下,两直线平行.
如果两条直线平行时,则同位角相等,内错角也相等,同旁内角是互补的.
这两类命题的条件和结论正好相反.
[生丁]两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论,它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件.
[生戊]公理也是.
[师]同学们讨论得很好,这两类命题的关系如下图(出示投影片“回顾与思考” B)
[师]你们会证明它们吗?
[生]会.主要利用平行线的性质公理证明其性质.利用平行线的判定公理证明判定定理.
[师]很好.接下来看问题4、5.
[生甲]证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线,也可以作一个角等于三角形中的一个角.
[生乙]三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.
与它不相邻的内角关系是:
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
[生丙]证明一个命题是真命题的基本步骤是:
(1)根据题意,画出图形.
(2)根据条件、结论,结合图形,写出已知、求证.
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
[生丁]在证明时需注意:
(1)在一般情况下,分析的过程不要求写出来.
(2)证明中的每一步推理都要有根据.
[师]同学们讨论得真棒,通过分组活动,解决了具有能反映本章内容的一串问题.现在来梳理一下本章的知识结构图.(出示投影片“回顾与思考” C)
[师]好,下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容.
Ⅲ.课堂练习
图3-70
1.将正方形的四个顶点用线段连接,什么样的连法最短?研究发现,并非对角线最短.而是如图3-70的连法最短(即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来),已知图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗?
答案:能.
证明:∵四边形ABCD是正方形(已知)
∴∠DAB=90°(正方形的性质)
∵∠DAE=30°(已知)
∴∠EAB=60°(等式性质)
∵∠AEF=120°(已知)
∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°(等式的性质)
∴AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行)
图3-71
2.已知,如图3-71,直线a,b被直线c所截,a∥b.
求证:∠1+∠2=180°
证明:∵a∥b(已知)
∴∠1+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠3=∠2(对顶角相等)
∴∠1+∠2=180°(等量代换)
图3-72
3.已知,如图3-72,∠1+∠2=180°,
求证:∠3=∠4.
证明:∵∠2=∠5(对顶角相等)
∠1+∠2=180°(已知)
∴∠1+∠5=180°(等量代换)
∴CD∥EF(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠3=∠4(两直线平行,同位角相等)
4.回答下列问题
(1)三角形的一个内角一定小于180°吗?一定小于90°吗?
(2)一个三角形中最多有几个直角?最多有几个钝角?
(3)一个三角形的最大角不会小于60°,为什么?最小角不会大于多少度?
答案:(1)是 不一定 (2)一个 一个
(3)如果一个三角形的最大角小于60°,则这个三角形的三个内角的和将小于180°,所以一个三角形的最大角不会小于60°.
最小角不会大于60°.
图3-73
5.“作一个立方体使它的体积等于已知立方体的2倍”,这是数学史上三个著名问题之一.今天人们已经知道,仅用圆规和直尺是不可能作出这样的立方体的.在探索这一问题的过程中,有人曾利用过如图3-73所示的图形.
其中AB⊥BC,BC⊥CD,AC⊥BD,2PD=PA.如果∠A=α,那么∠ABP和∠PCD等于多少?
解:∵AC⊥BD(已知)
∴∠APB=90°(垂直的定义)
∵∠A+∠APB+∠ABP=180°(三角形的内角和定理)
∠A=α
∴∠ABP=90°-α(等式的性质)
∵AB⊥BC,BC⊥CD(已知)
∴∠ABC=∠BCD=90°(垂直的定义)
∴∠ABC+∠BCD=180°(等式的性质)
∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
∴∠A=∠ACD(两直线平行,内错角相等)
∵∠A=α(已知)
∴∠PCD=α(等量代换)
图3-74
6.已知,如图3-74,在△ABC中,DE∥BC,F是AB上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G,求证:∠EGH>∠ADE.
证明:∵DE∥BC(已知)
∴∠ADE=∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠EGH是△FBG的一个外角(已知)
∴∠EGH>∠B(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠EGH>∠ADE(等量代换)
7.已知,如图3-75,直线AB∥ED.
求证:∠ABC+∠CDE=∠BCD.
(1) (2)
图3-75
本题有多种证法.
证法一:(如图3-75(1))过点C作CF∥AB.
∴∠ABC=∠BCF(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥ED(已知)
∴ED∥CF(两直线都和第三条直线平行,则这两条直线平行)
∴∠EDC=∠FCD(两直线平行,内错角相等)
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC(等式性质)
即:∠BCD=∠ABC+∠CDE
证法二:(如图3-75(2)),延长BC交DE于F点
∵AB∥DE(已知)
∴∠ABC=∠CFD(两直线平行,内错角相等)
∵∠BCD是△CDF的一个外角(已知)
∴∠BCD=∠CFD+∠CDE(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE(等量代换)
Ⅳ.课时小结
本节课我们复习了第六章“证明(一)”的主要内容.大家要掌握证明的基本步骤,要会灵活添加辅助线,把条件和结论联系起来.还要会应用平行线的性质,判定及三角形的内角和定理、推论来解决一些证明、计算问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P96复习题
(二)写一份小结,总结自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方.
Ⅵ.活动与探究
图3-76
1.已知,如图3-76,∠B=32°,∠D=38°,AM、CM分别平分∠BAD、∠BCD,求∠M的度数.
你能把它一般化吗?你会证明如下结论吗?
AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.
求证:∠M=(∠B+∠D)
[过程]让学生在探索的活动过程中,体会由特殊到一般的过程.培养他们分析、综合、归纳的能力.
[结果]解:∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.
∴∠BAM=∠BAD,∠MCB=∠BCD.
∵∠B+∠BAD+∠AFB=180°
∠D+∠BCD+∠DFC=180°
∠AFB=∠DFC
∴∠B+∠DAB=∠D+∠BCD
∴∠DAB-∠BCD=∠D-∠B
∵∠BEM=∠M+∠BCM,
∠BEM=∠B+∠BAM
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM
∴∠M=∠B+∠BAM-∠BCM
=∠B+(∠DAB-∠BCD)
=∠B+(∠D-∠B)
=(∠B+∠D)
∵∠B=32° ∠D=38°
∴∠M=(32°+38°)=35°
板书设计
回顾与思考
一、问题串
二、知识结构图
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
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