福建省莆田二中、仙游一中2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省莆田二中、仙游一中2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1010.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-23 18:43:00 | ||
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文档简介
莆田二中、仙游一中2024-2025学年下学期高一期中联考考数学试卷
（考试时间120分钟 考试满分150分）
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．若 z=1+i ，则 iz+i2025=（ ）．
A. -1+2i B. -2+i C. -1+i D.-1
2．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．平面向量，若，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
4．如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
5．宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若复数，则（ ）．
A． B．z在复平面内对应的点位于第三象限
C． D．复数满足，则的最大值为
10．如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ）
B．
C． D．在上的投影向量为
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．三棱锥的体积为4
C．三棱锥的外接球表面积为
D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知平面平面，点P是平面，外一点（如图所示），且直线，分别与，相交于点A，B，C，D，若PA=6，AB=2，BD=12，则AC= ．
13．已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量 ．
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若△ABC的面积，则边a的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．在平面直角坐标系中，已知，，.
(1)若三点共线，求实数的值；
(2)若，以△ABC的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积.
16．如图，在△ABC中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，；
(1)若，试用向量，表示，；
(2)若，求的面积.
17记△ABC的内角的对边分别为,三个内角满足且为锐角，
(1)若，求；
(2)为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值．
条件①：为的角平分线； 条件②：为边上的中线．
如图，多面体ABCD-A1B1C1是由一个直三棱柱ABC--A1B1C1与一个四棱锥D-A1C1CA组成，其中BC∥AD，AD=2BC，AB=BC=CA=AA1=4，E是AC上的一点。
若E是AC中点。
①求证 B1C∥平面 A1EB； ②求异面直线 A1E 与B1C 所成角的余弦值.
若E为BD与AC交点，问 A1B上是否存在一点K，使得 EK∥平面A1AD 如果存在，请 求求出的值：若不存在，请说明理由。
19．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.
(1)若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；
(2)若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；
(3)在杆AB上有两点，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角.证明：.
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D C C B
二、多选题
题号 9 10 11
答案 ACD ABC AD
三、填空题
12．9
13．或（答案不唯一，写出任意一个即可）
14．2
四、解答题
15．(1)
(2)
【详解】（1）∵，，，，.
∵三点共线，，，解得，
即实数的值为.
（2）由（1）知，.
，，，即.
，，，，.
以△ABC的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，
故该几何体的表面积为.
16．(1)；
(2).
【详解】（1）由题意，是的中点，则，
因为，所以，
则.
所以，.
（2）因为，所以.
因为，，
所以，
又因为，
所以，，解得.
所以，，则，
所以.
17．(1)；(2)3
【详解】（1）因为，
所以，
所以，即，
所以，即，
因为，所以.
（2）选择条件①：
在△ABC中，由余弦定理，得，
即，故，
当且仅当时，等号成立，
又因为
所以
故的最大值为3.
选择条件②：
由题，平方得=，
在△ABC中，由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，故的最大值为3.
18．(1)证明见解析(2) (3)
【详解】（1）①连接AB1,-A1B交于点F
由直三棱柱ABC--A1B1C1的性质知：BC∥B1C1，
分别为AC,AB1的中点，B1C，
平面A1EB.，平面A1EB.
取中点,连接C，B1，B1C
求异面直线 A1E 与B1C 所成角的为∠CB1
B1=2，C=2，B1C=4
则
做出平面图，可得，则只需要,
即时，KE∥A1D
即EK∥平面A1AD
19．(1)
(2)
(3)证明见解析.
【详解】（1）如图1，
由题意得，，，且E是的中点，，，
所以在中，.
（2）解法一：由题意，.由于E是的中点，且，
所以，
且.
由余弦定理得
从而
即太阳高度角的正弦值为.
解法二：由题意，.由于E是的中点，且，
所以，
且，
于是 且，
从而,
即太阳高度角的正弦值为 .
（3）由题意，，
因为，都是锐角，则， 所以，
从而.
根据，
可知
因为函数在单调递增，且，
所以 ，即.
（考试时间120分钟 考试满分150分）
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．若 z=1+i ，则 iz+i2025=（ ）．
A. -1+2i B. -2+i C. -1+i D.-1
2．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．平面向量，若，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
4．如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
5．宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实．图1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm，上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm和8cm的圆台组合构成，示意图如图2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．2
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若复数，则（ ）．
A． B．z在复平面内对应的点位于第三象限
C． D．复数满足，则的最大值为
10．如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ）
B．
C． D．在上的投影向量为
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．三棱锥的体积为4
C．三棱锥的外接球表面积为
D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知平面平面，点P是平面，外一点（如图所示），且直线，分别与，相交于点A，B，C，D，若PA=6，AB=2，BD=12，则AC= ．
13．已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量 ．
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若△ABC的面积，则边a的最小值为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．在平面直角坐标系中，已知，，.
(1)若三点共线，求实数的值；
(2)若，以△ABC的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积.
16．如图，在△ABC中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，；
(1)若，试用向量，表示，；
(2)若，求的面积.
17记△ABC的内角的对边分别为,三个内角满足且为锐角，
(1)若，求；
(2)为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值．
条件①：为的角平分线； 条件②：为边上的中线．
如图，多面体ABCD-A1B1C1是由一个直三棱柱ABC--A1B1C1与一个四棱锥D-A1C1CA组成，其中BC∥AD，AD=2BC，AB=BC=CA=AA1=4，E是AC上的一点。
若E是AC中点。
①求证 B1C∥平面 A1EB； ②求异面直线 A1E 与B1C 所成角的余弦值.
若E为BD与AC交点，问 A1B上是否存在一点K，使得 EK∥平面A1AD 如果存在，请 求求出的值：若不存在，请说明理由。
19．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.
(1)若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；
(2)若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；
(3)在杆AB上有两点，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角.证明：.
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B D C C B
二、多选题
题号 9 10 11
答案 ACD ABC AD
三、填空题
12．9
13．或（答案不唯一，写出任意一个即可）
14．2
四、解答题
15．(1)
(2)
【详解】（1）∵，，，，.
∵三点共线，，，解得，
即实数的值为.
（2）由（1）知，.
，，，即.
，，，，.
以△ABC的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，
故该几何体的表面积为.
16．(1)；
(2).
【详解】（1）由题意，是的中点，则，
因为，所以，
则.
所以，.
（2）因为，所以.
因为，，
所以，
又因为，
所以，，解得.
所以，，则，
所以.
17．(1)；(2)3
【详解】（1）因为，
所以，
所以，即，
所以，即，
因为，所以.
（2）选择条件①：
在△ABC中，由余弦定理，得，
即，故，
当且仅当时，等号成立，
又因为
所以
故的最大值为3.
选择条件②：
由题，平方得=，
在△ABC中，由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时，等号成立，
故有，
从而，故的最大值为3.
18．(1)证明见解析(2) (3)
【详解】（1）①连接AB1,-A1B交于点F
由直三棱柱ABC--A1B1C1的性质知：BC∥B1C1，
分别为AC,AB1的中点，B1C，
平面A1EB.，平面A1EB.
取中点,连接C，B1，B1C
求异面直线 A1E 与B1C 所成角的为∠CB1
B1=2，C=2，B1C=4
则
做出平面图，可得，则只需要,
即时，KE∥A1D
即EK∥平面A1AD
19．(1)
(2)
(3)证明见解析.
【详解】（1）如图1，
由题意得，，，且E是的中点，，，
所以在中，.
（2）解法一：由题意，.由于E是的中点，且，
所以，
且.
由余弦定理得
从而
即太阳高度角的正弦值为.
解法二：由题意，.由于E是的中点，且，
所以，
且，
于是 且，
从而,
即太阳高度角的正弦值为 .
（3）由题意，，
因为，都是锐角，则， 所以，
从而.
根据，
可知
因为函数在单调递增，且，
所以 ，即.
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