福建省莆田市莆田第五中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

莆田第五中学2024-2025学年下学期高一数学期中考试卷
（考试时间120分钟 考试满分150分）
一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1．若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）

A． B．4 C． D．8
3．已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若 则 B．若，则
C．若∥，则n∥ D．∥，，则
5．在中，角的对边分别是，若，则（ ）
A． B．3 C． D．2
6．已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．释迦文佛塔，又称广化寺塔，位于福建省莆田市城厢区广化寺东侧，建造年 代尚无法确定，但早于南宋乾道元年(1165年)，是一座仿木楼闹式石塔. .如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在广化寺的正西方向找到一座建筑物，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则广化寺塔的高度约为（ ）
A．25m B．31m C．30m D．44m
8．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则且t≠-8
10．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则a＞b
B．若a=8，b=2，A=30°则三角形有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ）
A．动点F的轨迹是一条线段
B．直线AB1与BC1的夹角为60°
C．三棱锥F-BC1M的体积是随点F的运动而变化的
D．平面AMC1截正方体所得截面的面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知复数z满足，则=
13．已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ．
14．如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是 ；若，则的值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知复数
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
16.如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：

(1)；
(2)平面平面.
17．设内角所对的边分别为，已知，且．
(1)求的面积；
(2)若为角的平分线，交于，求的长度．
18．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为与的交点，为上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若点到底面的距离为3，求三棱锥的体积．
19．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线.
(1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度；
(2)若，且为正三角形，求面积的最大值；
(3)已知，且，，求的最大值
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A D B C A
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BCD AD ABD
三、填空题
12.
13.
14.
四、解答题
15．(1)(2)
【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得.
（2）已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，
所以，
所以.
(1)由题意，因为 A1B∥ 平面 ADC1， A1B 平面A1BC
又因为平面ADC1∩ 平面 A1BC=OD，
所以由线面平行的性质得. A1B∥OD.
由(1)可知 A1B∥OD， 又因为O点为 A1C 的中点， 所以D为BC的中点，即 BD=BC，
因为D1为B1C1的中点,即D1C1=BC
又因为BC//B1C1,BC =B1C1，所以BD=D1C1,BD//D1C1所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以BD1//DC1
又因为DC1 平面ADC1,BD1 平面ADC
所以BD1//平面ADC1
又A1B//平面ADC1,AB∩BD1=B,A1B 平面A1BD1,BD1 平面A1BD1,所以平面A1BD//平面ADC1.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理可得：，即，
因为，，所以，
所以；
（2）因为为角的平分线，所以
因为，
所以，而，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由及，
可知，又，所以，
所以在中有，又平面，而平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，根据，
可知，则异面直线与所成的角即为，
又可得，则，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3）分别过点作于，于，可得，
所以四边形的面积为，的面积为，
由，可知到平面的距离为1，
所以
.
19．(1)，.
(2).
(3).
【详解】（1）如图①，因为为外接圆的直径，
所以，
因为，
所以.
因为，
所以（同弧所对的圆周角相等）.
在中，，，
所以，，.
在中，，，
由正弦定理，解得.
（2）如图②，设的边长为a，
由托勒密定理，
得，即.
因为四点共圆，
所以，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以.
（3）如图③，构造圆内接四边形，
设，，，，
由，构造，
由共圆得，
由余弦定理得，
由托勒密定理得，
即.
由三角形面积公式得
，
所以.
因为.
所以，
当且仅当时，等号成立，的最大值为.