9.3 分式方程
课时1 分式方程的概念及解法
【基础堂清】
知识点1 分式方程的概念
1下列各式中是分式方程的是 ( )
A. B.x2+1=y
C.+1=0 D.=2
2有下列方程:①=2;②=;③+=1(a,b为已知数);④+=4.其中是分式方程的是 .
3观察分析下列方程:①x+=3;②x+=5;③x+=7.请利用他们所蕴含的规律,写出这一组方程中的第n个方程是 .
知识点2 解分式方程
4分式方程+=1的根是 ( )
A.x=-1 B.x=2
C.x=3 D.x=4
5解分式方程:
(1)+=1;
(2)-1=.
知识点3 分式方程的根
6若x=2是分式方程=的根,则a的值为 .
【能力日清】
7 已知关于x的方程:=-3.
(1)当方程的根为正整数时,求整数m的值.
(2)当方程的根为正数时,求m的取值范围.
【素养提升】
8 观察下列等式:
=1-,=-,=-.
将以上三个等式两边分别相加得
++=1-+-+-=.
用你发现的规律解答下列问题:
(1)直接写出下列各式的计算结果:
①+++…+= ;
②+++…+= .
(2)仿照题中的计算形式,猜想并写出:= .
(3)解方程:++=.
参考答案
基础堂清
1.D 2.①④
3.x+=n+(n+1)
4.D
5.解:(1)方程两边同乘(x-3),
得2-x-1=x-3,
整理得x=2.
经检验,x=2是原方程的根.
(2)去分母,得x2+2x-x2+4=8,
移项合并,得2x=4,解得x=2.
经检验,x=2是增根,分式方程无解.
6.-2
能力日清
7.解:(1)去分母得x+1=mx-3(x-2),
解得x=.
因为方程的根为正整数,且x≠2,m为整数,
所以4-m=5或4-m=1,
解得m=-1或3,
所以整数m的值为-1或3.
(2)去分母得x+1=mx-3(x-2),
解得x=.
因为方程的根为正数,且x≠2,
所以>0且≠2,
解得m<4,且m≠,
所以m的取值范围为m<4且m≠.
素养提升
8.解:(1)① 提示:+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-
=;
② 提示:+++…+
=1-+-+-+…+-
=1-
=.
(2)=-.
(3)仿照(2)中的结论,原方程可变形为
-+-+-=,
即-=,
解得x=2.
经检验,x=2是原分式方程的根,
故原方程的根为x=2.课时2 分式方程的增根
【基础堂清】
1若关于x的分式方程=有增根,则a的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2 已知关于x的方程-=0的增根是1,则字母a的取值为 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
3若关于x的分式方程+=1无解,则m的值是 ( )
A.2或6 B.2
C.6 D.2或-6
4若分式方程-=-有增根,则增根是 .
5若关于x的分式方程=-3有增根,则实数m的值是 .
6若关于x的分式方程=m无解,求m的值.
【能力日清】
7若关于x的方程-=0有增根,则m的值是 ( )
A. B.- C.3 D.-3
8解方程:(1)=;
(2)+2=.
9已知关于x的方程-=-1无解,求m的值.
【素养提升】
10小华想复习分式方程,由于印刷问题,有一个数“ ”看不清楚:+3=.
(1)她把这个数“ ”猜成5,请你帮小华解这个分式方程.
(2)小华的妈妈说:“我看到标准答案是方程的增根是x=2,原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“ ”代表的数是多少
参考答案
基础堂清
1.D 2.A 3.A
4.x=0和x=-1 5.1
6.解:分式方程去分母得3m+1=m(x+1),将x=-1代入得3m+1=0,解得m=-.由mx=2m+1,方程无解,则m=0.故m的值为-或0.
能力日清
7.A
8.解:(1)由题意得5(x+2)=3(2x-1),
解得x=13.
检验:当x=13时,(x+2)(2x-1)≠0,
所以x=13是原分式方程的解.
(2)去分母,得1+2(x-2)=x-1,
解得x=2.
检验:当x=2时,x-2=0,所以x=2是增根,所以原分式方程无解.
9.解:方程两边都乘(x-3),得
3-2x-(2-mx)=-(x-3).
解这个整式方程,得x=.
①当1-m=0时,整式方程无解,原分式方程也无解,此时m=1.
②当m≠1,最简公分母x-3=0时,
原分式方程无解,解得x=3.
将x=3代入x=,得m=.
所以m=1或m=.
素养提升
10.解:(1)方程两边同时乘(x-2)得5+3(x-2)=-1,
解得x=0.
经检验,x=0是原分式方程的解.
(2)设 为m,
方程两边同时乘(x-2)得m+3(x-2)=-1,
因为x=2是原分式方程的增根,
所以把x=2代入上面的等式得m+3×(2-2)=-1,解得m=-1,
所以原分式方程中“ ”代表的数是-1.课时3 分式方程的应用
【基础堂清】
1 某地水稻种植基地在A,B两个面积相同的试验田里种植不同品种的水稻,分别收获18吨和16吨,已知B试验田的水稻比A试验田的水稻每公顷少收2吨.设A试验田每公顷产量为x吨,则可列方程 ( )
A.= B.=
C.= D.=
2 新能源车的技术越来越成熟,而且更加环保节能.小松同学的爸爸准备换一台车,通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车,发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,已知燃油车的油箱容积为40升,燃油价格为9元/升,新能源车的电池容量为60千瓦时,电价为0.6元/千瓦时,则小松爸爸对比的两台汽车的续航里程是 ( )
A.600千米 B.500千米
C.450千米 D.400千米
3甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务,已知乙比甲每天多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米 设甲每天铺设x米,根据题意可列出方程: .
4某水果店搞促销活动,对某种水果打8折出售,若用60元钱买这种水果,可以比打折前多买3斤.设该种水果打折前的单价为x元,根据题意可列方程: .
【能力日清】
5 A,B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆流返回A地,逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍,已知水流速度为4千米/时.问该轮船在静水中的速度是多少千米/时
【素养提升】
6 为有效落实“双减”工作,切实做到减负提质,很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目.某体育用品商店得知后,第一次用900元购进乒乓球若干盒,第二次又用900元购进该款乒乓球,但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍,购进数量比第一次少了30盒.
(1)第一次每盒乒乓球的进价是多少元
(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元,则每盒乒乓球的售价至少是多少元
参考答案
基础堂清
1.D 2.A
3.= 4.=-3
能力日清
5.解:设该轮船在静水中的速度为x千米/时,可得×2=,
解得x=12.
经检验,x=12是原分式方程的解.
答:该轮船在静水中的速度是12千米/时.
素养提升
6.解:(1)设第一次购进的每盒乒乓球的进价是x元,则第二次购进的每盒乒乓球的进价是1.2x元,
由题意得=+30
解得x=5,
经检验,x=5是原分式方程的解,且符合题意.
答:第一次购进的每盒乒乓球的进价是5元.
(2)设每盒乒乓球的售价为y元,
第一次购进的每盒乒乓球的进价为5元,则第二次购进的每盒乒乓球的进价为5×1.2=6(元),
由题意得×(y-5)+×(y-6)≥510,
解得y≥7.
答:每盒乒乓球的售价至少是7元.第9章复习课
【基础堂清】
知识点1 分式运算
1若分式的值为0,则 ( )
A.x=±1 B.x=1
C.x=-1 D.x=0
2计算的结果为 .
知识点2 分式化简求值
3先化简,后求值:-a-2÷,其中a=-.
知识点3 分式方程
4方程=的解为 ( )
A.x=0 B.x=20
C.x=70 D.x=50
5若关于x的分式方程=3的解不小于1,则m的取值范围是 .
【能力日清】
6①=-1的解x= ;
②=-1的解x= ;
③=-1的解x= ;
④=-1的解x= .
……
(1)根据你发现的规律直接写出第⑤⑥个方程及它们的解.
⑤ ;
⑥ .
(2)请根据你发现的规律直接写出第n个方程及它的解,并通过计算判断这个结论是否正确.
【素养提升】
7 “绿水青山就是金山银山”,某村为了绿化荒山,计划在植树节当天种植柏树和杉树.经调查,购买1棵柏树比购买1棵杉树多50元,且花费900元购买杉树与花费1 200元购买柏树的数量相同.
(1)分别求柏树和杉树的单价.
(2)本次绿化荒山,需购买柏树和杉树共80棵,且柏树的棵数不少于杉树的2倍.为完成这次绿化任务,村里筹措了资金15 000元,问该村完成这次绿化任务有几种方案
参考答案
基础堂清
1.B 2.1
3.解:原式=-×
=×
=2a+4,
当a=-时,原式=2×-+4=3.
4.C 5.m≥-8且m≠-6
能力日清
6.解:①=-1的解x=0;
②=-1的解x=1;
③=-1的解x=2;
④=-1的解x=3.
(1)⑤=-1的解x=4;
⑥=-1的解x=5.
(2)=-1的解x=n-1.
方程两边同时乘(x+1),
得n=2n-(x+1),
解得x=n-1.
经检验,x=n-1是原方程的解.
故答案为0;1;2;3;(1)⑤=-1的解x=4;⑥=-1的解x=5.
素养提升
7.解:(1)设杉树的单价是x元,则柏树的单价是(x+50)元,
依题意得=,
解得x=150,
经检验,x=150是原方程的解,且符合题意,
所以x+50=150+50=200.
答:柏树的单价是200元,杉树的单价是150元.
(2)设购买柏树m棵,则购买杉树(80-m)棵,
依题意得
解得≤m≤60.
又因为m为正整数,
所以m可以取54,55,56,57,58,59,60,
所以该村完成这次绿化任务有7种方案.
