甘肃省定西市渭源县新寨中学2024-2025学年第二学期第二次阶段考试七年级数学试卷(含答案)

2024-2025甘肃省定西市渭源县新寨中学第二次阶段考试
七年级 数学
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．要了解某初中全校1200名学生的课外阅读情况，若采用抽样调查的方法进行调查，则下面具有代表性的调查方式是（　　）
A．调查100名女生
B．调查100名男生
C．调查九年级100名学生
D．调查七、八、九年级各100名学生
2．如果把点A（﹣1，4）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的坐标是（　　）
A．（1，7） B．（﹣1，7） C．（1，﹣7） D．（﹣1，﹣7）
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜﹣2 B．|b|＞1 C．ab＞0 D．a+b＜0
4．下列各数为无理数的是（　　）
A．0.618 B． C． D．3.14
5．如图，E为△ABC边CA延长线上一点，过点E作ED∥BC．若∠BAC＝70°，∠CED＝50°，则∠B＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．下列说法中，一定正确的是（　　）
A．如果a＞b，那么ac＞bc B．如果ac＜bc，那么a＜b
C．如果a＞b，那么ac2＞bc2 D．如果ac2＞bc2，那么a＞b
7．如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．100° B．110° C．115° D．120°
8．关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．1＜a≤2 C．a≥1 D．1≤a＜2
9．第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：
①∠D＝40°；
②2∠D+∠EHC＝90°；
③FD平分∠HFB；
④FH平分∠GFD．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，例如图，那么5*144＝　 　 ．
12．化简绝对值： 　 　 ．
13．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A（0，3），B（﹣4，﹣1），C（4，0），将△ABC的顶点A平移至点P（4，2）的位置后，那么点C的对应点的坐标是 　 　 ．
14．不等式组的解集为x＞a，请你写出一个符合条件的a的值：　 　 ．
15．某校为满足学生午餐的多样性，将学生午餐分成了A、B、C三类供学生自主选择．在前期的调研中，从全校1500人中随机抽取了100人进行问卷调查，并将问卷的结果整理后绘制成如图．根据该数据，估计全校约有　 　 人会选择C类午餐．
16．已知1.2584，2.711，则　 　 ，　 　 ．
三．解答题（共10小题，共72分）
17．（6分）（1）计算；（2）若（2x﹣1）3＝﹣8，求x的值．
18．（5分）已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）．
（1）若点M到x轴的距离为3，求点M的坐标？
（2）若点N的坐标为（5，﹣1），且MN∥x轴，求点M的坐标？
19．（6分）解方程组
（1） （2）．
（5分）求不等式组的整数解．
21．（5分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣5，4），（﹣3，0），（0，2）．
（1）在图中画出三角形ABC，并求其面积；
（2）已知三角形A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，若P（a，b）为三角形ABC内的一点，则点P在三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标是 　 　 ．
22．（8分）某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
23．（7分）某校开展了一项“最喜爱的社团活动”的调研，随机抽取部分学生进行问卷调查，本次参加调研的学生只选择一项最喜爱的社团活动，以下是根据调研结果绘制的不完整统计图，请根据图中信息解答下列问题．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的总人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生2000人，根据统计信息，估计该校对“绘画”的选择人数．
24．（6分）完成下面的证明：
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝∠D．求证：AD∥BC．
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
且∠2＝∠4（ 　 　 ），
∴∠1＝ 　 　 ．
∴AB∥CD（ 　 　 ）．
∴∠B＝ 　 　 （ 　 　 ）．
又∵∠B＝∠D，（已知）
∴∠DCG＝∠D．
∴AD∥BC（ 　 　 ）．
25．（12分）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，若∠ABC＝145°，∠EDC＝116°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，写出∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
26．（12分）综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图，∠BAP＝40°，∠APC＝75°，∠PCD＝35°，求证：AB∥CD．
【深入思考】
（2）某条河流的两岸各安置了一盏旋转探照灯．如图所示，PQ∥MN，灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度．如果灯B的光线先转动10秒，灯A的光线才开始转动，那么在灯B的光线到达BQ之前，灯A转动几秒时，两灯的光束互相平行？
【拓展延伸】
（3）如图，在（2）的条件下，“如果灯B的光线先转动10秒”改为“两灯同时转动”，在灯A的光线到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作∠ACD＝135°，CD交PQ于点D，∠MAB＝135°，则在转动过程中，请求出∠BAC与∠BCD的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C B D B B D A
二．填空题（共6小题）
11．17
12．
．（8，﹣1）
．　1（答案不唯一）
．630　
．12.584　，　﹣0.2711　
三．解答题（共10小题）
17．解：（1）原式＝5﹣3﹣6＝﹣4；
（2）（2x﹣1）3＝﹣8，
开立方得：2x﹣1＝﹣2，
解得：x．
18．解：（1）∵点M（m﹣1，2m+3），点M到x轴的距离为3，
∴|2m+3|＝3，
解得，m＝0或m＝﹣3，
当m＝0时，点M的坐标为（﹣1，3），
当m＝﹣3时，点M的坐标为（﹣4，﹣3）；
（2）∵点M（m﹣1，2m+3），点N（5，﹣1）且MN∥x轴，
∴2m+3＝﹣1，
解得，m＝﹣2，
故点M的坐标为（﹣3，﹣1）．
19．解方程组
（1）（2）．
解：（1），
①+②得：3x＝3，即x＝1，
把x＝1代入①得：y＝3，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×4﹣②×3得：7x＝42，即x＝6，
把x＝6代入①得：y＝4，
则方程组的解为．
20．求不等式组的整数解．
解：解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
∴原不等式组的整数解为：﹣1，0，1．
21．解：（1）如图所示：△ABC即为所求，
△ABC的面积为：4×52×52×42×3＝8；
（2）由（1）可知，三角形A'B'C'可以由三角形ABC向右平移4个单位，然后向下平移3个单位得到，
∴P（a，b）为三角形ABC内的一点，则点P在三角形A'B'C'内的对应点P'的坐标是（a+4，b﹣3）．
故答案为：（a+4，b﹣3）．
22．解：（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，
由题意可得，
解方程组得，
答：篮球每个90元，排球每个65元；
（2）若按照①套餐打折购买费用为：2（5×90+5×65）×0.8+4×90+2×65＝1730（元），
若参加②满减活动购买费用为：14×90+12×65＝2040（元），
又2040＞1999，
所以2040﹣200＝1840（元）．
而1840＞1730，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．
答：选用套餐①购买更划算．
23．某校开展了一项“最喜爱的社团活动”的调研，随机抽取部分学生进行问卷调查，本次参加调研的学生只选择一项最喜爱的社团活动，以下是根据调研结果绘制的不完整统计图，请根据图中信息解答下列问题．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的总人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生2000人，根据统计信息，估计该校对“绘画”的选择人数．
解：（1）10÷20%＝50（人），
答：本次调查的总人数为50人；
（2）书法人数为：50×40%＝20（人），
补全条形统计图如下：
（3）2000600（人），
答：估计该校对“绘画”的选择人数为600人．
24．完成下面的证明：
如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝∠D．求证：AD∥BC．
证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
且∠2＝∠4（ 　对顶角相等　 ），
∴∠1＝ 　∠3　 ．
∴AB∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　 ）．
∴∠B＝ 　∠DCG　 （ 　两直线平行，同位角相等　 ）．
又∵∠B＝∠D，（已知）
∴∠DCG＝∠D．
∴AD∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　 ）．
25．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，若∠ABC＝145°，∠EDC＝116°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，写出∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
解：（1）过点C作CM∥AB，
∴∠BCM＝∠ABC＝145°，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE
∴∠DCM＝∠EDC＝116°，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM＝29°；
（2）∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥DE，
∴CN∥EF，
∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵，，
∴，
∵∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
26．1）证明：过P作PQ∥AB，
∴∠QPA＝∠BAP＝40°，
∵∠APC＝75°，
∴∠CPQ＝∠APC﹣∠APQ＝35°，
∵∠DCP＝35°，
∴∠CPQ＝∠DCP，
∴PQ∥CD，
又∵PQ∥AB，
∴AB∥CD；
（2）解：灯A的光线从AM开始顺时针旋转至AN所用时间为180÷3＝60秒，灯B的光线从BP开始顺时针旋转至BQ所用时间为180÷2＝90秒，
设灯A转动t秒时，两灯的光束互相平行，
当0＜t≤60时，设AM′与PQ交于M′，如图，
∵PQ∥MN，
∴∠PM′A＝∠MAM′＝（3t）°，
∵AM′∥BP′，
∴∠MAM′＝∠PBP′＝2（t+10）°，
∴3t＝2（t+10），
解得t＝20；
当60＜t≤90﹣10，即60＜t≤80时，设AM′与PQ交于M′，如图，
∵PQ∥MN，
∴∠PM′A＝∠MAM′＝180×2﹣3t＝（360﹣3t）°，
∵AM′∥BP′，PQ∥MN，
∴四边形AM′BP′是平行四边形，
∴∠MAM′＝∠PBP′＝2（t+10）°，
∴360﹣3t＝2（t+10），
解得t＝68；
综上，当灯A转动20或68秒时，两灯的光束互相平行；
（3）解：∵灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度，
∴∠PBC＝（2t）°，∠MAC＝（3t）°，
∵PQ∥MN，
∴∠PBA＝∠MAB＝135°（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAC＝∠MAC﹣∠MAB＝（3t﹣135）°，∠ABC＝∠PBA﹣∠PBC＝（135﹣2t）°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣（3t﹣135）°﹣（135﹣2t）°＝（180﹣t）°，
∵∠ACD＝135°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝（t﹣45）°，
又∵∠BAC＝（3t﹣135）°＝3（t﹣45）°，
∴∠BAC＝3∠BCD．