宁夏银川市第二中学2024-2025学年高一下学期月考一数学试题（含解析）

宁夏银川市第二中学2024 2025学年高一下学期月考一数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
3．给出下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若且，则 D．若，，则
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6．已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
10．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是（ ）
A．在中，若，则
B．若，，，则有两个解
C．在中“”是“”的必要不充分条件
D．若，则角
11．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在最大值为9 D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是 ．
13．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
14．龙爪塔位于四川省通川区朝阳寺内，因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.为了测量塔的高度，选取与塔底在同一水平面的两个基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 米
.（参考数据，，最终结果需保留为整数）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，满足，，.
（1）求向量的模；
（2）若与垂直，求的值.
16．设，，.求：
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）求在区间上的最小值，并求出此时对应的的值.
17．在中，角所对的边分别为．
(1)求；
(2)若，求的面积．
18．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求的最小值.
19．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何 ”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为.
（1）若，，，求面积；
（2）用“三斜求积”公式证明；
（3）若，且，求面积的最大值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意得，，
所以．
故选B
2．【答案】C
【详解】，∴
∴.
故选 C.
3．【答案】B
【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，
对于B，若，，则，∴B正确，
对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，
对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.
故选B．
4．【答案】C
【详解】由正弦定理，则，
又，所以，所以，
所以.
故选C
5．【答案】C
【详解】函数，
因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象.
故选C.
6．【答案】B
【详解】如下图所示：

因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，
则，
由得，可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选B.
7．【答案】A
【分析】
依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：依题意在平行四边形中，，
又是的中点，与交于点，所以，所以，
所以，
所以
故选：A
8．【答案】A
【详解】根据正弦定理边角互化若，
则，
又根据诱导公式可知，
将上式可变形为，
根据三角函数两角差公式可化简，
所以
三角形内角和，代入即可求得
所以是直角三角形.
故选A
9．【答案】AC
【详解】A.，故A正确；
B.，，由图知，
则，即，
因，故，则，
当时，，故，故B错误；
C.新函数，因，故C正确；
D.新函数，故D错误.
故选AC.
10．【答案】BD
【详解】对于A，在中，由正弦定理知，，
结合大边对大角可得，故A正确；
对于B，因为，，，
由正弦定理，得，
由知，只有一解，所以有一个解，故B错误；
对于C，若，由正弦定理得：，
则，
因为，可知或，即或，
所以“”是“”的不充分条件，
若，则，，所以，
所以“”是“”的必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，因为，
由余弦定理得：，即，
因为，所以或，故D错误.
故选BD.
11．【答案】ABC
【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则，
对于A，由，得，则，A正确；
对于B，，
则
，B正确；
对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上，
设，
则，
，
由，得，则当时，取得最大值，C正确；
对于D，由，得，
即，
因此，则，
而，则当时，取得最大值，D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】向量，，与的夹角为，则，
所以在方向上的投影是.
13．【答案】且.
【详解】,
由点积大于0，得不等式：
.
排除共线情况：
若与共线，则存在实数，使得且，解得，此时.
因此，排除（此时夹角为0°，非锐角）,
综上，的取值范围为且.
14．【答案】33
【详解】在三角形中，根据正弦定理：，代入已知值：,
,,
代入正弦定理：，
最终结果保留整数：(米)
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）,
；
（2），，
,
由于与垂直，它们的点积为0：
.
计算点积：,
解方程：，则.
16．【答案】（1）的最小正周期为，单调递减区间为;
（2），
【详解】（1）因为，
由，则的周期为，
令，解得，
解得的单调减区间为，.
（2）由（1）可知，当时，的单调减区间为，
则在上，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即在处取得最小值.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由余弦定理推论及得，
因为，则，
又因为，且，
所以，则．
（2）解法一：由（1）可知，
且，
，
由正弦定理，
得，
所以．
解法二：由（1），
所以，
由正弦定理，
得，
．
解法三 : 如图，过点作交于，
因为，则，
所以，，
所以．
18．【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【详解】（1）由，得，所以.
（2）在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
（3）由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
19．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）
.
（3）因为，所以，
由正弦定理边化角得，
所以，即，
由解得，所以，
因为
，
所以当时，取得最大值.