宁夏银川市第六中学2024-2025学年高一下学期月考一数学试题（含解析）

宁夏银川市第六中学2024 2025学年高一下学期月考一数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知是第一象限角，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
4．（ ）
A． B． C． D．
5．中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物，如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“马”“帅”“炮”“兵”分别位于A，B，C，D四点，则（ ）
A． B． C． D．3
6．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列各式计算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为，在的仿射坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
13．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则的最小值为 ．
14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，为第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．设向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求证：A，，三点共线.
17．已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
18．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．在平行四边形中，，为中点．
（1）若，且满足，求的长；
（2）若，求的最大值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】，
故选B
2．【答案】D
【详解】因为是第一象限角，所以，
所以，
当时，，所以是第三象限角；
当时，，所以是第一象限角；
又，所以是第三象限角，所以，
所以.
故选D.
3．【答案】A
【详解】因为，
当，即时，函数取到最大值2.
故选A.
4．【答案】B
【详解】．
故选B
5．【答案】A
【详解】由题得．
故选A．
6．【答案】D
【详解】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，
所以，解得.
故选D.
7．【答案】A
【详解】，
因为，即，，
解得又，，
所以.
故选A．
8．【答案】A
【详解】取中点为，连接，显然，
所以
.
故选A
9．【答案】ACD
【详解】对A：，故A满足；
对B：，故B不满足；
对C：，故C满足；
对D：，故D满足.
故选ACD
10．【答案】BD
【详解】因为，，
所以，
选项A，因为，所以与不垂直，所以A错误，
选项B，因为，，所以，所以，所以B正确，
选项C，因为，所以，所以，所以C错误，
选项D，因为，所以，所以，所以D正确.
故选BD
11．【答案】AB
【详解】，，故A正确，
，故B正确，
，故C错误，
，故D错误，
故选AB
12．【答案】
【详解】向量在向量上的投影向量为．
13．【答案】
【详解】的图象向左平移个单位后，得到，
从而，解得，
又，故当时，取得最小值，最小值为.
14．【答案】2
【详解】因为，，所以.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），为第二象限角，
，
则；
（2）.
16．【答案】（1）1
（2）2
（3）证明见解析
【详解】（1），；
（2），所以，解得：，所以；
（3）因为，所以，所以A，，三点共线.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，解得，
所以.
（2）因为，则，
则，可得，
所以，
则，
又因为，则，
所以.
18．【答案】（1）
（2）存在，
【详解】（1）在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
（2）
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
19．【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）因为为中点，
因为四边形为平行四边形，
所以，
因为,
因为，，
所以，
，
解得，
所以，
（2）因为，
所以,
，
所以,
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以的最大值为