山东省临沂第一中学2024-2025学年下学期高一第五次教学检测数学试题（含解析）

山东省临沂第一中学2024 2025学年高一第五次教学检测数学试题
一、单选题（本大题共9小题）
1．为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则
A． B．
C． D．
4．已知平面上三点满足，则的形状是
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．若，，则
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在△中，，，是边上的点，且，为△的外心，则（ ）
A．12 B．13 C．18 D．9
9．下列结论正确的是
A．单位向量都相等 B．对于任意,必有
C．若，则一定存在实数，使 D．若,则或
二、多选题（本大题共2小题）
10．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，具有下面三个性质：①将的图象右移个单位得到的图象与原图象重合；②，；③在时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（ ）
A．在时单调递减
B．
C．将的图象左移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若与图象关于对称，则当时，的值域为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则 .
13．
14．已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，．
（1）求与的夹角大小；
（2）求的值．
16．已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．已知，是夹角为的两个单位向量．
(1)若，，．求证A，B，D三点共线；
(2)若，，其中，若，的夹角为钝角，求t的取值范围．
18．某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
19．已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.
(1)求的解析式.
(2)若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】函数，根据图像左加右减的变换原则，
只需把函数的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故选．
2．【答案】B
【详解】方法一：原式
．
方法二： 原式．
故选B.
3．【答案】C
【详解】试题分析：，，，其中，所以，两边平方得，所以.
4．【答案】A
【详解】
设AC的中点为D，则，
因为，即
所以，
即中线BD也为高线，所以△ABC是等腰三角形 ．
故选A.
5．【答案】A
【详解】将，利用两角和与差的正弦公式变形后，可得，，从而可得，再根据对数的运算可得答案.
【详解】，，
，，
，，
，
.
故选A.
6．【答案】D
【详解】根据向量的线性运算法则求解即可．
【详解】解：由题意，根据向量的运算法则，可得，
故选D．
7．【答案】A
【详解】根据辅助角公式，先得到，进而可得到，求解，即可得出结果.
【详解】∵，
∴，解得.
故选A.
8．【答案】B
【详解】
由于，则，取的中点为，连接，
由于为△的外心，则，
∴，
同理可得，，
∴.
故选B.
9．【答案】B
【详解】对于，单位向量的模相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量，错误；
对于B，任意根据向量加法的几何意义知，，当切仅当共线同向时取“”，B正确；
对于C，若，则不一定存在实数，使，如且时，命题不成立，C错误；
对于D，若，则或或，D错误，
故选B.
【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考向量的基本概念与基本性质，属于中档题.该题型尽管不是太难，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
10．【答案】ABC
【详解】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，
所以振幅且，可得，所以A、B正确；
又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误；
根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.A
故选ABC.
11．【答案】BCD
【详解】，
将右移个单位得到的函数解析式为，
又该函数的图象与原图象重合，所以，
所以，
又在时存在两个零点，所以，
所以，即，所以，所以，
所以，
又，，所以，
所以，所以，
又，所以，所以，
由得，
所以函数的单调递减区间为
当时，函数在上单调递减；
由得，
所以函数的单调递增区间为
当时，函数在上单调递增；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
，
，
，
所以，故B正确；
将的图象左移个单位长度后得到的图象的解析式为，
又，所以函数为奇函数，
所以的图象关于原点对称，故C正确；
关于对称的区间为，
当时，，所以，
所以当时，的值域为，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】4
【详解】在上的投影向量为，
所以4.
13．【答案】
【详解】因为
所以，
所以.
14．【答案】
【详解】函数，
因为该函数为奇函数，故，
又，所以，即，
因为在上有2个最值点和1个零点，
故，
即的范围是.
15．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由得，所以，
即，又因为，，
所以，故，又因为，
因此与的夹角为；
（2）
，所以.
16．【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）由为锐角，，得.
所以
所以
（2）
由题意及同三角函数的基本关系可得
所以.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意，，
则，可知与共线，则A，B，D三点共线.
（2）因为，是夹角为的两个单位向量，
则，
设与共线，则，即，
又，的夹角为钝角，
所以，且，
则，
则，解得且，
所以t的取值范围为．
18．【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【详解】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以
解得
因为
所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数的最大值为，所以，
又与直线的相邻两个交点的距离为，所以，所以，
则.
将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，得到，
再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.
（2），
在上有实数解，
即在上有实数解，
即在上有实数解，
令，所以，
由，所以，所以，则，
同时，所以，
所以在上有实数解，
等价于在上有解，即在上有解，
①时，无解；
②时，有解，
即在有解，即在有解，
令，，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的值域为，
所以在有解等价于.
综上：.