山东省枣庄市市中区辅仁高级中2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷（含解析）

2025 年 4 月月考高一年级数学试卷
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）（范围：向量、复数、空间几何体、线线平行）
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1．复数 等于（ ）
A． B． C． D．
2．在 中，内角 的对边分别为 ， 为 BC 边上一点，且
，则 的面积为（）
A． B． C． D．
3．已知向量 =（0，5），向量 =（3，-1），若 与 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
4．在 中，角 ， ， ，的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在正方体 中，E 是 的中点，则异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知圆锥的底面半径为 1，高为 2，该圆锥的顶点和底面圆周上的点都在球 的表面上，则此球的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．一个侧棱长为 的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形 ，
其中 ，则该直棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．在 中， ，过点 O 的直线分别交直线 于 M，N 两个不同的点，若
，其中 m，n 为实数，则 的最小值为（ ）
A．1 B．4 C． D．5
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求
的．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
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9．如果 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方体 中， ， ， 分别为棱 ， 的中点，则下列说法正
确的是（ ）
A．直线 与直线 异面直线 B．直线 ，直线 ，直线 交于一点
C．直线 与直线 所成的角为 D．直线 与直线 所成的角的正切值为 2
11．在 中，角 所对的边分别为 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 是钝角三角形
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量为 ．
13．在正方体 中，点 是棱 的中点，则直线 与直线 的位置关系是 ．
14．在 中， ，BC= AC，则角 B 的大小为 ．
四、解答题（本大题共 5 小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15（13 分）．如图，三棱柱 内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是 ，底面直径与
母线长相等.
(1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱 的体积.
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16（15 分）．如图，在长方体 中，底面是边长为 a 的正方形，高为 ，点 M，N 分别是 和
的中点．
(1)判断四边形 的形状； (2)求四边形 的面积．
17（15 分）．在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 A 的值； （2）若 边上的中线 ，求 的面积．
18（17 分）．已知向量 ，且 与 的夹角为 ，
(1)求证： (2)若 ，求 的值；
(3)若 与 的夹角为 ，求 的值．
19（17 分）．如图，在平面四边形 中， ， ， ， .
(1)证明： ； (2)求 面积的最大值；
(3)设 为线段 的中点，求 的最大值.
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《2025 年 4 月高一月考》参考答案
1．A 解析： . 故选：A.
2．D 分析：由已知可得 ，可求 ，可求 的面积.
解析：因为在 中， ，又 为 边上一点，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 .故选:D.
3．D 分析：由向量垂直得到数量积为零，展开后利用坐标运算得到答案.
解析：因为向量 =（0，5），向量 =（3，-1）， 与 垂直，
所以 ，即 ，
，所以 ，故选：D.
点睛：本题考查向量的垂直坐标运算，公式要正确运用.
4．C 解析：由余弦定理得 ， .故选：C.
5．D 分析：根据题意分析可得异面直线 DE 与 AC 所成角为 （或 的补角），在 中利用余弦
定理运算求解.
解析：取 的中点 ，连接 ，
因为 // ，且 ，则 为平行四边形，可得 // ，
又因为 分别为 的中点，则 // ，所以 // ，
故异面直线 DE 与 AC 所成角为 （或 的补角），
设正方体的棱长为 2，则 ，
在 中，由余弦定理 ，
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所以异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值是 .故选：D.
6．D 分析：由旋转体性质知球心在圆锥的高上，由勾股定理可得．
解析：如图 中圆锥的轴截面，外接圆 是圆锥外接球的大圆．设球半径为 ，则 ，解得
．故选：D．
7．A 分析：先利用题给条件求得该直棱柱的底面积，进而求得该直棱柱的体积.
解析：该直棱柱的底面
则该直棱柱的底面为长 2 宽 1 的矩形，其面积为 ，则该直棱柱的体积为 。故选：A
8．C 分析：利用 、 表示出 ，再利用 三点共线得到 ，再把 转化为关于 的
式子，即可求出最小值.
解析：
三点共线 即
故 的最小值为 .故选：C.
9．CD 分析：根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解.
解析：因为 是两个单位向量，所以 ，但两向量的方向不能确定，
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，故 AB 错误；CD 正确.故选：CD.
10．BD 分析：连接 ，证得 ，可判定 A 不正确；直线 与直线 交于一点 ，证得
平面 且 平面 ，进而证得 ，可判定 B 正确；把异面直线 与直线 所成的角
转化成为直线 与直线 所成的角，在直角 中，可判定 C 不正确；把异面直线 与直线 所
成的角转化为直线 与直线 所成的角，在直角 中，可判定 D 正确.
解析：对于 A 中，连接 ，因为 分别为 的中点，可得 ，
在正方体 中，可得 ，所以 ，
所以直线 与直线 在同一个平面内，所以 A 不正确；
对于 B 中，因为 分别为 的中点，所以 ，且 ，
在正方体 中，可得 且 ，
所以 且 ，即四边形 为梯形，
假设直线 与直线 交于一点 ，
因为 平面 ，且 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，且 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 ，所以 ，
所以直线 和直线 相交一点，所以 B 正确；
对于 C 中，在正方体 中，可得 ，
所以异面直线 与直线 所成的角，即为直线 与直线 所成的角，
即为 ，在直角 中，可得 ，所以 C 不正确；
对于 D 中，在正方体 中，可得 ，
所以异面直线 与直线 所成的角，即为直线 与直线 所成的角，
即为 ，在直角 中，可得 ，所以 D 正确；故选：BD.
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11．CD 分析：A 中，由三角形内角和定理及诱导公式，可判断；B 中，由角的比值及三角形内角和定理，可
得 ，再由正弦定理可判断；C 中，由正弦定理及三角形中大边对大角的性质可判断；D 中，
由正弦定理及余弦定理可得角 C 为钝角，即可判断出三角形的形状.
解析：A 中，在三角形中， ，所以 A 不正确；
B 中， ，又因为 ，可得 ，
由正弦定理可得： ，所以 B 不正确；
C 中，在三角形中， ，由正弦定理可得 ，由大边对大角，可得 ，所以 C 正确；
D 中，因为 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
因为 ，所以 C 为钝角，即该三角形为钝角三角形，所以 D 正确.故选：CD.
12． 分析：利用投影向量定义即可求得 在 方向上的投影向量.
解析： ， ， 与 的夹角为 ，
则 在 方向上的投影向量为 故答案为：
13．异面分析：由题意画出图形，利用反证法以及点面之间的位置关系即可得解.
解析：如图所示：
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由题意在正方体 中，点 是棱 的中点，则直线 与直线 的位置关系是异面，理由
如下：若直线 与直线 共面，则 四点共面，而 三点唯一确定平面 ，
但 平面 ，产生矛盾，故假设不成立，
综上所述，直线 与直线 的位置关系是异面.故答案为：异面.
14．分析：由 ，化简得到 ，进而得到 ，再由 BC= AC，得到
求解.
解析：在 中， ，
所以 ，即 ，所以 ，则 ，
又因为 BC= AC，所以 ,则 ，即 ，
所以 或 （舍去），所以 故答案为：
15．分析：（1）根据圆柱体积公式直接计算；
（2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可.
解析：（1）设底面圆的直径为 2r，由题可知,圆柱的体积 ，
解得 ，即圆柱的底面半径为 1
（2）因为 为正三角形，底面圆的半径为 1，由正弦定理，边长 ，
所以三棱柱 的体积
16．分析：（1）根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理，可得 ，且 ，进而
可判断四边形 的形状；
（2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面积公式，可得答案.
解析：（1） 点 M，N 分别是 和 的中点， ，
， 四边形 是平行四边形，
， ，故四边形 为梯形；
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（2）由题意可得 ， ，
则 ，故梯形的高为 ，
故四边形 的面积 .
17．分析：（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得
（2）结合（1）可得 为等腰三角形，在 中利用余弦定理可求 ，从而可求 的面积.
解析：（1）由正弦定理可得 ，
整理得到 ，
因为 ，故 ，故 ，因为 ，故 .
（2）因为 ， ，故 ，故 为等腰三角形且 .
设 ，则 ，
由余弦定理可得 ，故 ，
所以 ，故 .
点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关
系式转化为边的关系式或角的关系式，另外解三角形时注意分析已知哪些条件，这样就可以选择合适的定理来
解决问题.
18．分析：（1）利用向量的数量积的定义及向量数量积的运算律，结合向量垂直的条件即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量的模公式，结合向量数量积的运算律及一元二次方程的解法即可求解；
（3）根据（1）的结论及向量的模公式，利用向量的数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解.
解析：（1）因为 与 的夹角为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知， ，因为 ，
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所以 ，即 ，
于是有 ，即
，解得 或 ,所以 的值为 或 .
（3）由（1）知， ， 因为
所以 ，
，
，
因为 与 的夹角为 ，
所以 ，即 ，且 ，
于是有 ，解得 或 （舍）,所以 的值为 .
19．分析：（1）在 中，利用正弦定理求出 的值，进而可求出 的值，即可证得结论成立；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得 的最大值，再结合三角形的面积公式可求得 面积的最
大值；
（3）设 ，利用正弦定理可得出 ， ，再利用余弦定理可得出
，结合余弦型函数的基本性质可得出 的取值范围.
解析：（1）解：由题知，在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）解：在 中， ，
由余弦定理知： ，
所以 ，所以 ，
解得 ，等号当仅当 时取等号，
所以， .
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（3）解：在 中，设 ，则 ，则 ，
由正弦定理知： ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理知 ，
所以
，
所以 ，等号当仅当 时，即当 时取等号，所以 的最大值等于 .
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