山西省大同市阳高县第四中学校2024-2025学年下学期高一3月月考数学试题（含解析）

山西省大同市阳高县第四中学校2024 2025学年高一3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则等于（　　）
A．10 B． C．3 D．
3．已知向量，若，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
4．在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． ABC是锐角三角形 B． ABC是直角三角形
C． ABC是钝角三角形 D． ABC的形状不确定
6．向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，则角（ ）
A． B．或 C． D．或
8．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数，使得
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，可以作为基底， B．若与的夹角为，则或9
C．若，则 D．若，则
11．的内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B．
C．角A的最大值为 D．面积的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为 m/s．
13．若单位向量，满足，则向量与的夹角为 ．
14．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中角、、所对边、、满足，，，求的值.
16．已知向量，．
(1)求的坐标及；
(2)若与共线，求实数的值．
17．已知向量，满足，，且，的夹角为.
(1)求；
(2)若，求实数的值；
18．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
19．△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC的周长的值.
参考答案
1．【答案】B
【解析】根据平面向量的线性运算求解判断即可.
【详解】由平面向量的线性运算可知, .
故选B.
2．【答案】B
【详解】由向量，可得，
所以.
故选B.
3．【答案】D
【详解】解：向量，，
，
解得，
故选D
4．【答案】A
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选A.
5．【答案】C
【详解】解：因为，
所以，
所以角是钝角，
所以 ABC是钝角三角形，
故选C.
6．【答案】C
【详解】因为，，则，
所以在方向上的投影向量为．
故选C.
7．【答案】D
【详解】由正弦定理，，则，因，则或，因，故,即两解均符合题意.
故选D.
8．【答案】C
【详解】解：如图，作出，由题意可知，
海里，，则，
因为，
所以海里，
即B，C两点间的距离是海里.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】是共线的单位向量，则或，A错误；
向量相等，即大小相等，方向相同，B正确；
若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误；
若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误．
故选ACD．
10．【答案】BC
【详解】对于A，由，可得，所以，
所以，故，不能作为基底，A错误；
对于B，，
，或，
经检验，都满足方程，故B正确
对于C，若，则，，故C正确；
对于D，，
，.，
解得或，
经检验可得或都是方程的解，故D错误；
故选BC.
11．【答案】ABC
【详解】由，故A正确；
由余弦定理结合A项可得，故B正确；
由上结合基本不等式及余弦定理有
故，而，单调递减，所以由，
当且仅当时取得最大值，故C正确；
由上可得，又，所以，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】
【详解】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=2m/s平行于河岸；
静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．
∴静水速度v1=m/s．
13．【答案】
【详解】由可得，
故，故，
由于，故.
14．【答案】/
【详解】．
因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以．
又B，P，N三点共线，所以，．
15．【答案】
【详解】由得，
所以，
所以，
又，，
所以，
所以或（舍）
16．【答案】(1)
(2)1或
【详解】（1）由题意，，
所以，
所以.
（2）由题意与平行，
所以当且仅当，化简得，
解得，即实数的值为1或-1.
【关键点拨】(1)若，，则，
；
(2)若与共线，则.
17．【答案】(1)5
(2)
【详解】（1）.
（2）因为，所以，
即，
也即，
所以，解得.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在实数使得，即，
又因为是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得.
（2）由（1）可知，，
所以，
若，，则.
（3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得，
设，则，由（2）得，
所以，解得，
所以.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以，
因为，所以
（2）因为，所以，即，所以，
由（1）知，所以
又，所以，解得，
所以△ABC的周长为，
所以△ABC的周长为.