山西省晋中市经纬中学校2024?2025学年高一下学期二月校考数学试题（含解析）

山西省晋中市经纬中学校2024 2025学年高一下学期二月校考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在点与点之间(包含端点)，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．
C． D．
5．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（ ）
A．0 B． C．4 D．
8．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设是正整数，且，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数满足恒成立，且在上单调递增，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．若，则
D．将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到的图象
11．已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ）
A．
B．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．是函数图象的一条对称轴
D．若，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，且，则 .
13．将函数，图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则 .
14．定义：为实数中较小似数.已知，其中均为正实数，则的最大值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．平面内给定两个向量
(1)求夹角的余弦值.
(2)求
16．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的弧长.
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若，求扇形的弧所在的弓形的面积.
17．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
18．已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象向左平移个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，求的取值范围；
(3)若方程在上的解为，求．
19．在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，得到，所以，
又，所以，得到，
故选A.
2．【答案】D
【详解】由推不出，例如，
由可得或，当时不能推出，
例如；
所以是的既不充分又不必要条件，
故选D.
3．【答案】C
【详解】依题意得，
因为，
所以.
故选C.
4．【答案】A
【详解】由题意结合图象，可知，图象对称轴为，，.
对于A，由上分析，函数图象与x轴的另一交点为 ，即点，
故时，，故A正确；
对于B，由图知，当时，，故B错误；
对于C，由可得，又，代入解得，
因，故，即C错误；
对于D，由可得，又，所以，故D错误.
故选A．
5．【答案】A
【详解】由，，知：
∴
故选A.
6．【答案】A
【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.
令，
所以.
故选A.
7．【答案】C
【详解】由，则，
则有，解得，
则，又，则，
故.
故选C.
8．【答案】D
【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即.
当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时.
当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为.
的最大值为，最小值为，它们的差为.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因是正整数，且，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】AB
【详解】解：因为函数满足恒成立，
所以，，解得，，
当时，，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
综上可得，故A正确；
所以，则，
所以为偶函数，故B正确；
对于C：当时，，所以，即，故C错误；
对于D：将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可以得到的图象，故D错误；
故选AB.
11．【答案】ACD
【详解】依题意可得，，
所以，又，解得，所以，
对于A：由图象知过点，即，
所以，则，
又，所以，所以，故A正确；
对于B：由的图象向左平移个单位长度
得到的图象，故B错误；
对于C：因为，
所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：若，
则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
又，，
所以，所以，
则，
所以.
13．【答案】
【详解】
解：将函数，
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，
再向右平移个单位长度得到的图象，
，且，，
解得，，函数，.
14．【答案】/
【详解】均为正实数，，
当，即时，，即，
，
当时，取到最大值；
当时，；
综上所述，的最大值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，，
则夹角的余弦值.
（2）由题意可得，
则.
16．【答案】(1)
(2)时，面积最大
(3)cm2.
【详解】（1）由，则扇形的弧长(cm).
（2）由已知得，，则，
∴
当且仅当，即时扇形的面积最大，
此时圆心角.
（3）设弓形面积为，由，得，
所以.
17．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
由得，
所以的单调递增区间为．
（2）图象上的所有点向左平移个单位后，得到
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
因为，
所以当时，
令，则
，所以当时，取得最小值，最小值为
所以，解得或，故的取值范围为．
（3）因为为方程在上的两解，
在上的图象如图所示
因为，则．
由图可知，关于直线对称，所以，即
所以．
因为，所以
又因为，所以
所以
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
得.
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
（2）因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.