江苏省扬州市七校联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题(含详解)

七校联盟2024～2025学年第二学期第一次联考
高二数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.若，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2.2025年U-20男足亚洲杯足球赛于2月份在深圳举行，东道主中国所在的A组共有四支球队，四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
3.已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4.函数f(x)=的部分图象大致为(　　)
5.某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ）
A． B． C． D．
6.设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多有3个红球的概率为( )
7.已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分.
9.若函数在上单调递减，则实数的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
10.已知二项式 的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是( )
A.展开式共有6项 B.二项式系数最大的项是第4项
C.展开式的常数项为120 D.展开式中各项的系数和为1
11.已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，，则
B．若，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则______．
13.学校公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有________种．
14．已知梯形如图1所示，其中，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面⊥平面，得到如图2所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为 ．

图1 图2
四．解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数其图象在点（1，4）处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值．
16．在的展开式中，求．
（1）含项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．
17.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
①求甲学校获得冠军的概率；
②用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
18．如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
19．为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项．
（i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
（ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
七校联盟2024～2025学年第二学期第一次联考答案
单项选择题
1. 【答案】C
【详解】由得：，
故选：C
2.【答案】 B
【详解】四支球队之间进行单循环比赛，共进行的比赛的场数为
故选：B
3．【答案】A
【详解】因为三点共线，
所以，
即，
所以，解得，
所以，
故选：A
4.【答案】C　
【详解】[f(x)=，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
∵f(-x)=-=-f(x)，
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
f(1)=<1，故排除A；
∵当x>0时，f'(x)=，
又当x>1时，f'(x)>0，
∴f(x)在(1，+∞)上单调递增，故排除D.
5．【答案】C
【详解】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，，
，
由条件概率公式可得.
故选：C.
6.【答案】 D
【详解】至多有3个红球的概率为
故选: D.
7．【答案】D
【详解】根据题意以为基底表示出可得：
，，
又棱两两的夹角均为，不妨取，则；
所以；
；
又
；
所以，
因此异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D
8. 【答案】C
【详解】，则，
令，则，
如图，作出函数的图象，
由图可知函数的图象有两个交点，
即函数有两个零点，且，
令，则或，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为.
对于A，函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；
对于B，函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；
对于C，，
当或时，，当时，，
所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意；
对于D，，
则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符.
故选：C.
二、多项选择题
9．【答案】BCD
【详解】根据题意可得函数的定义域为，
又，
若函数在上单调递减，可得在上恒成立；
即在上恒成立，所以，
根据对勾函数性质可得在上单调递增，
当时，当时，所以，
所以，
结合选择可知B、C、D符合题意.
故选：BCD
10.【答案】 BD
【详解】由题知 ，得到n=6，所以展开式共有7项，故选项A错误，对于选项B，因为n=6，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第4项，所以选项B正角，
对于选项C，二项式 的展开式的通项公式为
由6-2r=0，得到r=3，所以展开式的常数项为 所以选项C错误，
对于选项D， 令x=1， 则 所以展开式中各项的系数和为1，故选项D正确，
故选: BD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，由，则与互斥，所以，故A正确；
对于B，由，则，所以，故B错误；
对于C，由，则，即与相互独立，
所以，故C正确；
对于D，由，且，，
可得，即，
解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12.【答案】 ##0.6
【详解】因为，则，
令，可得，解得.
故答案为：.
13. 【答案】　240
【详解】分两步完成：
第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有种种植方法；
第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有种种植方法．
由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有·＝240(种)．
14.【答案】/
【解析】如图，以A为坐标原点，
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∴
则，
若是平面的一个法向量，
则
可得，
若是平面的一个法向量，
则可得
由平面平面，得，
即，
解得．
故答案为：.
四．解答题
15．已知函数其图象在点（1，4）处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值
【详解】解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R）可得：f′（x）＝3x2+2ax+b，
所以f（x）在点（1，4）处切线的斜率为k＝f′（1）＝3+2a+b，
因为f（x）在点（1，4）处切线方程为y＝4，
所以切线的斜率为0，且f（1）＝4，
所以，即，
解得a＝﹣6，b＝9，
所以f（x）＝x3﹣6x2+9x；
（2）由（1）知f（x）＝x3﹣6x2+9x，
则f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），
令f′（x）＝0得x＝1或3，
所以在上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，3）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（3，5）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在x＝1处，f（x）取得极大值f（1）＝4，在x＝3处f（x）取得极小值f（3）＝0，
又因为，f（5）＝53﹣6×52+9×5＝20＞f（1），
所以f（x）在上的最大值为20，最小值为0．
16．在的展开式中，求．
(1) 含项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项．
【详解】(1)由题知展开式的通项为，
，
令,解得，
所以展开式中含项为
所以展开式中含项的系数为60.
(2) 令,.
∴
当时，
当时，
当时，
当时，
17.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
①求甲学校获得冠军的概率；
②用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
【详解】①设甲学校获得冠军的事件为A，则甲学校必须获胜2场或者3场.
P（A）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.
故甲学校获得冠军的概率为 0.6.
②X的取值可以为0，10，20，30.
P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P（X＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，
P（X＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，
P（X＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
所以E（X）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
18．如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面；
（2）由于平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则,1,，,1,，,0,，,0,，,0,，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）因为，
又平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
19．为更好的发挥高考的育才作用，部分新高考数学试卷采用了多选题这一题型．教育部考试中心通过科学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的区分度，也有利于提高学生的得分率．多选题评分规则如下：对于多选题，每个小题给出的四个选项中，有两项或三项是正确的，满分6分．全部选对得6分，有错选或全不选得0分，正确答案为两项时，选对1个得3分；正确答案为三项时，选对1个得2分，选对2个得4分．多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为（其中）．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得2分的概率；
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ：随机选一个选项； Ⅱ：随机选两个选项； Ⅲ：随机选三个选项．
（i）若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；
（ii）以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
【详解】
（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”．
，
即学生甲该题得分的概率为．
（2）（i）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，，
， ，
，
所以的分布列为
则数学期望．
（ⅱ）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则，
，
所以．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，解得：，
故的取值范围为．