陕西省西安市长安区第一中学2024-2025学年高一下学期第一次质量检测数学试题（含解析）

陕西省西安市长安区第一中学2024 2025学年高一下学期第一次质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
3．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理 的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示，在“赵爽弦图”中，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．1
5．在中，满足，，，则（ ）
A． B． C．65 D．25
6．设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
7．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象关于直线对称
10．下列说法中正确的（ ）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
11．在中，角所对的边为，有如下判断，其中错误的判断是（ ）
A．若，则为等腰直角三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．在锐角三角形中，不等式恒成立
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（ ）
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
三、填空题（本大题共4小题）
13．若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ．
14．已知的半径是1，点P满足，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，设，则当 时，取得最大值．
15．已知向量，，且，若与共线，则 ．
16．在中，是边的中点，是线段的中点．设，，若，的面积为，则当 ．时，取得最小值．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知．
（1）求与的夹角；
（2）若在方向上的投影向量为，求的值．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求A﹔
（2）若，D为BC的中点，求AD.
19．如图，在直角三角形中，．点分别是线段上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数且．
（1）判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）当时，判断函数在上的单调性并说明理由；
（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．如图是函数()的部分图象，点是这部分图象的最高点且其横坐标为，点是线段的中点．
（1）若A是锐角三角形的一个内角，且，求的值；
（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．
22．已知，，其中，函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】，，
所以.
故选C
2．【答案】A
【详解】若，则，即，故，充分性成立，
不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选A
3．【答案】A
【详解】
，，则
故选A
4．【答案】B
【详解】由题意可得，
又,
则，
所以.
故选B
5．【答案】D
【详解】如图所示，
因为在中，满足，，，
所以，即，
所以.
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为是偶函数，所以，
所以，，
又时，是增函数，且，
所以，即.
故选C
7．【答案】A
【详解】由于，故，
当时，，
即当时，，故，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选A
8．【答案】A
【详解】,
且在平行四边形中，， .
以A为原点建坐标系，则
点P在边上，设,
，
，，
所以.
故选A
9．【答案】AC
【详解】对A，由图象可知，所以，所以，故A选项正确；
对B，函数的解析式为，
令得：，
故的单调增区间为，故B选项错误；
对C，因为，故C选项正确；
对D，因为，所以函数的图象不关于直线对称，故D选项错误.
故选AC
10．【答案】BD
【详解】对于A，，，且与的夹角为锐角，
，且（时，与的夹角为），所以且，故A错误；
对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；
对于D，因为，两边平方得，，又，
则，，
故，
而向量的夹角范围为，所以和的夹角为，故D正确．
综上，正确的选项为BD．
故选BD．
11．【答案】AC
【详解】A选项，，，
故或，解得或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
B选项，，由正弦定理得，
因为，
所以，
故，
因为，所以，故，，
因为，故，故B正确；
C选项，若，则，
则符合条件的有0个，故C错误；
D选项，为锐角三角形，故为锐角，
由余弦定理得，，故不等式恒成立，故D正确.
故选AC
12．【答案】BC
【详解】对于A，由奔驰定理可得，，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若是的重心，，
因为，所以，即共线，故B错误．
对于C，当为的外心时，，
所以，
即，故C错误．
对于D，当为的内心时，（为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.
故选BC.
13．【答案】2
【详解】由题意可得，
则
.
14．【答案】
【详解】由题意可知：点P在以为圆心，半径为的圆上，
因为直线PA与相切于点A，则，，
可知，，
又因为D为BC的中点，则，可得，
则
，
且，可得，
可知：当，即时，取到最大值.
15．【答案】
【详解】由向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以，，
若与共线，
∴，解得.
16．【答案】2
【详解】是边的中点，是线段的中点，
则，，
所以，
如图所示，中，，
所以的面积为，
所以，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为6，
所以此时，，，
所以，
所以．
17．【答案】（1）
（2）10
【详解】（1），
，即，
，，
.
（2），
.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
整理得，
因为，所以，则；
（2）因为，
由余弦定理得，即，解得或（舍去），
又因为D为BC的中点，所以，
则
，
所以.
19．【答案】（1）
（2）存在，
【详解】（1）在直角三角形中，．
∴，，
，
∵，∴．
（2）
令，得或（舍）.
∴存在实数，使得．
20．【答案】（1）奇函数，理由见详解
（2）单调递减，理由见详解
（3）存在；
【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：
由解得或，即函数的定义域为；
又，
所以，
因此，所以，
所以函数为奇函数.
（2）函数在上单调递减，理由如下：
令，任取，
则，
因为，，，所以，
即函数在上单调递增；
又，所以单调递减，
根据复合函数同增异减的原则，可得：在上单调递减.
（3）假设存在实数，使得当的定义域为时，值域为，由，可得；
所以，
因此是方程的两根，
即在上有两个不同解，
设，则，解得.
所以存在，使得当的定义域为时，值域为.
21．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为点是线段的中点，所以的纵坐标为2，结合图象可得；
设，由中点公式可得，解得，即.
由图可知，周期为，所以.
由五点法可知，即，所以.
因为，所以，即，
因为A是锐角，所以，
所以
.
（2）当时，，，
所以.
设，则，；
当时，即时，的最小值为，所以，解得，符合题意；
当时，即时，的最小值为，所以，解得，不符合题意；
当时，即时，的最小值为，所以，解得，不符合题意；
综上可得实数的值.
22．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为， ,
则,
，
故，
因为最小正周期为，所以，∴，
故，
由,解得，
所以的单调递增区间为.
（2）在内恒成立，
即在内恒成立，，
整理得：，
由于，，则，
故，对恒成立，
令，则，
故，
设，当时函数为单调递增函数，
故，故，即，
所以m的取值范围为．